אי-שיוויונים

x > 3 וגם x > 2

אי שיוויון ריבועי

אי שיוויון ריבועי הוא כל אי-שיוויון מהצורה: $$ax^2 + bx + c \lessgtr 0$$ הביטוי הריבועי הוא פרבולה, לפיכך נוכל לצייר אותה ולראות באילו ערכי $x$ היא חיובית או שלילית.

דוגמא 1:

פתור את אי השיוויון הריבועי: $$x^2 - x - 6 \gt 0$$

פתרון:

נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ על ידי פתרון המשוואה: $$x^2-x-6=0$$ $$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}$$ הפתרונות יהיו: $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -2$$ הפרבולה מחייכת מאחר ו- $$a = 1 \gt 0$$ ולפיכך הפרבולה תראה כך: לפי הכיוון של אי השיוויון אנחנו מחפשים את התחום בו הפרבולה חיובית. כלומר הפתרון שלנו יהיה:

דוגמא 2:

פתור את אי השיוויון הריבועי: $$3x^2 - x + 6 \lt 0$$

פתרון:

נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$3x^2-x+6=0$$ $$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 -72}}{2} $$ מאחר והביטוי בתוך השורש שלילי, למשוואה הריבועית אין פתרון , ומכאן שלפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה- x .
הפרבולה מחייכת מאחר ו- $$a = 3 \gt 0$$ ולפיכך הפרבולה תראה כך: מאחר ואנחנו מחפשים את התחום בו הפרבולה שלילית, ברור מהגרף שלעיל שלאי השיוויון אין כלל פתרון, מאחר הפרבולה מרחפת מעל ציר ה- x .

אי-שיוויון ממעלה גבוהה

בקטגוריה זו נכלול כל אי-שיוויון עם פולינום ממעלה גבוהה יותר מ- $2$ .
לדוגמא: $$x^3-3x^2+x \geq 0$$ נפתור אי-שיוויון ממעלה גבוהה באופן הבא:

1. נמצא את השורשים של הביטוי
2. נציב את השורשים על גבי ציר המספרים בסדר עולה
3. נציב נקודות בוחן בביטוי עבור כל אחד מהתחומים אליהם חילקנו את ציר המספרים בסעיף הקודם ונבדוק את סימנו .

האתגר האמיתי בפתרון אי-שיוויונים ממעלה גבוהה הוא השלב הראשון, מאחר ואין דרך כללית למציאת שורשים עבור פולינומים ממעלה גבוהה. אנחנו נתקל רק בבעיות בהם ניתן באמצעות פירוק כלשהו לגורמים לחשב את השורשים.
כעת נביא דוגמאות, כשכל אחת מהן מדגימה שיטה שונה לחישוב השורשים.

דוגמא- גורם משותף

פתור את אי השיוויון: $$x^3-x^2 - 6x \geq 0$$

פתרון:

ראשית שימו לב שאסור לחלק את אי השיוויון ב- x . במשוואות יש להימנע מחלוקה כזאת מאחר והנעלם יכול להיות שווה אפס, ואם אנחנו מחלקים בו אנחנו מתעלמים מהפתרון האפשרי הזה. במקרה של אי-שיוויונים, נוספת לכך העובדה ש- x יכול להיות שלילי, וידוע שאם מחלקים או כופלים בביטוי שלילי יש להפוך את כיוונו של אי-השיוויון.
נוציא את x בתור גורם משותף: $$x(x^2-x-6) \geq 0$$ נמצא את השורשים של הביטוי: $$x(x^2-x-6) = 0$$ כדי שהמשוואה תתקיים צריך אחד הביטויים במכפלה להתאפס. כלומר שצריל להתקיים: $$x= 0$$ או $$x^2-x-6 = 0$$ הפתרונות של המשוואה הריבועית הינם: $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -2$$ נציב את שלושת המספרים לפי הסדר על ציר המספרים. ציר המספרים מחולק לתחומים לפי השורשים שמצאנו. נבחר בכל תחום נקודת בוחן (כלומר איזשהו ערך של x ) נציב אותו בביטוי שבאי-שיוויון: $$x(x^2-x-6)$$ ונמצא אם הוא חיובי או שלילי. שימו לב שהמספרים מעל כל אחד מהתחומים הן נקודות הבוחן שבחרנו. מאחר ואנחנו מחפשים ערכים בהם הביטוי יהיה גדול או שווה לאפס אזי שהפתרון שלנו הוא:

דוגמא-שימוש בנוסחת כפל מקוצר

פתור את אי השיוויון הבא: $$x^4-6x^2+9 \geq 0$$

פתרון:

בשלב הראשון נפתור את המשוואה: $$x^4-6x^2+9 = 0$$ נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר: $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ ונפרק את הביטוי באופן הבא: $$(x^2 - 3)^2 = 0$$ $$x^2 - 3 = 0$$ $$x^2 = 3$$ $$x = \pm \sqrt{3}$$ שימו לב שמאחר וניתן לכתוב את אי השיוויון כך: $$(x^2 - 3)^2 \geq 0$$ ברור כי אי השיוויון יתקיים לכל x מאחר וכל ביטוי בריבוע הוא תמיד חיובי. אך אם לא שמנו לב לכך, נמשיך בדרך הסטנדרטית ונקבל: וכפי שניתן לראות קיבלנו כי הביטוי חיובי לכל x .

אי שיוויון עם שברים

אי שיוויון עם שברים הוא כל אי-שיוויון שבו הנעלם נמצא במכנה.
נפתור אי-שיוויונים מצורה זאת באופן הבא:

1. כינוס כל האיברים באגף אחד
2. מכנה משותף לכל האיברים
3. נמצא את כל הערכים עבורם המונה והמכנה מתאפסים
4. נציב את הערכים מהסעיף הקודם על ציר המספרים
5. נציב נקודות בוחן ונבדוק את הסימן

שימו לב לתחום ההצבה, כל איבר שמאפס את המכנה אינו נמצא בתחום ההצבה ולפיכך לא יכול להיות בקבוצת הפתרון שלנו!

דוגמא:

פתור את אי השיוויון הבא: $$-2 \leq \frac{x + 3}{x - 1}$$

פתרון:

נכנס את כל האיברים באגף ימין: $$0 \leq 2 + \frac{x + 3}{x - 1}$$ ניצור מכנה משותף: $$ 0 \leq \frac{2x - 2 + x + 3}{x - 1} $$ $$ 0 \leq \frac{3x + 1}{x - 1} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את המונה: $$3x + 1 = 0$$ $$x = -\frac{1}{3}$$ נמצא את האיברים שמאפסים את המכנה: $$x-1 = 0$$ $$x = 1$$ נציב את הערכים שמצאנו על ציר המספרים ונחשב את הסימן של הביטוי עבור נקודות בוחן שונות: מאחר ועל פי כיוונו של אי השיוויון אנחנו מחפשים את הערכים עבורם הביטוי חיובי הפתרון הוא:

אי שיוויון עם שורשים

בחלק זה נלמד שתי דרכים שונות לפתרון של אי-שיוויון עם שורשים.
בשתי הדרכים נחשב בתחילה את תחום ההצבה, נפתור את אי השיוויון ונמצא לבסוף את הפתרון הסופי שהוא חיתוך הפתרון עם קבוצת ההצבה.

דרך א':

נפתור את אי השיוויון על ידי העלאה של שני האגפים בריבוע כך שניפטר מהשורשים. כאשר משתמשים בדרך זו חייבים לזכור שני דברים:

1. יש להעביר אגפים כך שכאשר נעלה את אי השיוויון בריבוע ניפטר מהשורש
2. מותר להעלות את שני האגפים בריבוע רק אם שני האגפים חיוביים לכל $x$

דוגמא:

פתור את אי השיוויון: $$\sqrt{x-1} \lt \sqrt{5-x}$$

פתרון:

ראשית נמצא את קבוצת ההצבה.
מספר יהיה בתחום ההצבה רק אם הוא יקיים: ראשית נפתור את כל אחד מהאי שיוויונים במערכת. הפתרון של אי השיוויון הראשון יהיה: $$x \geq 1 $$ והפתרון של אי השיוויון השני: $$x \leq 5 $$ ולפיכך קבוצת ההצבה תהיה: $$1 \leq x \leq 5 $$ כעת נעבור לפתרון אי השיוויון עצמו.
שני האגפים חיוביים ולכן נוכל להעלות בריבוע: $$x-1 \lt 5-x$$ $$x \lt 3$$ כדי שמספר יהיה פתרון הוא חייב להיות בקבוצת ההצבה וגם בקבוצת הפתרון שקיבלנו לעיל. כלומר המערכת שלנו היא: הפתרון של המערכת הינו: $$1 \leq x \lt 3 $$

דרך ב':

נפתור את אי השיוויון לפי השלבים הבאים:

1. כינוס כל האיברים באגף אחד כך שנקבל אי שיוויון מהצורה $$f(x) \lessgtr 0$$
2. נפתור את המשוואה: $$f(x) = 0$$
3. נציב את הערכים מהסעיף הקודם על ציר המספרים
4. נציב נקודות בוחן ב- f(x) ונבדוק את הסימן שלה

דוגמא:

פתור את אי השיוויון: $$\sqrt{x-1} \lt \sqrt{5-x}$$

פתרון:

אנחנו כבר יודעים שקבוצת ההצבה היא: $$1 \leq x \leq 5 $$ כעת נעבור לפתרון אי השיוויון עצמו.
נכנס את כל האיברים באגף שמאל: $$\sqrt{x-1} - \sqrt{5-x} \lt 0$$ נפתור את המשוואה: $$\sqrt{x-1} - \sqrt{5-x} = 0$$ נפתור על ידי העברת אגפים והעלאה בריבוע: $$\sqrt{x-1} = \sqrt{5-x}$$ $$x-1 = 5-x$$ $$x = 3$$ חייבים לבדוק אם הפיתרון נכון על ידי הצבה שלו במשוואה המקורית. אם תעשו זאת תגלו שזהו אכן פתרון של המשוואה.
נציב את הפתרונות על ציר מספרים ונציב נקודות בוחן: (שימו לב שניתן להציב רק נקודות בתחום ההצבה) מאחר ואנחנו מחפשים את התחום בו הביטוי שלילי אזי שפתרון המשוואה יהיה: $$x \lt 3$$ כדי שמספר יהיה פתרון הוא חייב להיות בקבוצת ההצבה וגם בקבוצת הפתרון שקיבלנו לעיל. כלומר המערכת שלנו היא: הפתרון של המערכת הינו: $$1 \leq x \lt 3 $$

אי שיוויון עם ערך מוחלט

כדי לפתור אי-שיוויון עם ערך מוחלט נמיר אותו במערכת של אי-שיווינוים ללא ערך מוחלט .

דוגמא:

פתור את אי השיוויון: $$|x+2| \gt 3$$

פתרון:

נשתמש בהגדרה של הערך המוחלט עבור ביטויים אלגבריים: $$ |x+2| = \left. \begin{cases} ~~~(x+2), ~~~ x \geq -2 \\ -(x+2),~~~ x \lt -2 \end{cases} \right. $$ ישנם שני מצבים בהם אי השיוויון יתקיים.
במצב הראשון $x \geq -2$ ואז אי השיוויון יהפוך ל: $x + 2 \gt 3$ .
במצב השני $x \lt -2$ ואז אי השיוויון יהיה: $-(x + 2) \gt 3$ .

נכתוב זאת באופן מדוייק:



נפתור את המערכת הימנית: $$\downarrow$$ $$x \gt 1$$
נפתור את המערכת השמאלית: $$\downarrow$$ $$x \lt -5$$

x > 1   או   x < -5

x > 1   או   x < -5

אי-שיוויונים גישה כללית

השיטה

נניח שנתון לנו אי-שיוויון מהצורה: $$f(x) \geq 0$$ אם $f(x)$ היא פונקציה רציפה בתחום הגדרתה (כלומר ניתן לצייר את הגרף שלה מבלי להרים את היד מהדף) אזי שנוכל להשתמש בשיטה הבאה על מנת לפתור את אי השיוויון:

1. נפתור את המשוואה: $$f(x) = 0$$
2. נציב את הערכים מהסעיף הקודם על ציר המספרים
3. נציב נקודות בוחן ב- f(x) ונבדוק את הסימן שלה בתחומים השונים

למעשה, כבר השתמשנו בשיטה הזאת במקרים מסויימים כמו עבור אי-שיוויונים ממעלה גבוהה מבלי לציין את הכלליות של השיטה או את הסיבות לכך שהיא עובדת. ראשית נסתכל על דוגמא לשימוש בשיטה על מנת לוודא שאנחנו מבינים כיצד היא עובדת, לאחר מכן נסביר מדוע היא עובדת ולבסוף נדבר על מידת הכלליות שלה.

דוגמא:

פתור את אי השיוויון: $$(x+3)(x-2)(x+4)^2(x-5) \geq 0 $$

פתרון:

נפתור את המשוואה: $$(x+3)(x-2)(x+4)^2(x-5) = 0$$ ישנם ארבעה פתרונות: $$x_1 = -3$$ $$x_2 = 2$$ $$x_3 = -4$$ $$x_4 = 5 $$
נציב את הפתרונות על ציר המספרים ונבדוק את הסימן של הפונצקיה בתחומים השונים: $$\downarrow$$

למה זה עובד?

הרעיון של השיטה הוא לחלק את כל ציר המספרים לתחומים באמצעות הערכים שמאפסים את הפונקציה. לאחר מכן באמצעות הצבה של נקודת בוחן בתחום אנחנו מסיקים את הסימן של הפונקציה בכל אותו התחום. כלומר אם הצבנו נקודת בוחן בתחום מסויים וקיבלנו ערך חיובי אז אנחנו מניחים שהיא חיובית בכל התחום. כך למעשה אנחנו מוצאים את הסימן של הפונקציה עבור כל ערך על ציר המספרים.
אך האם ההנחה הזו נכונה?

נניח שנתונה פונקציה רציפה f(x) .
נסמן את פתרונות המשוואה f(x) = 0 על ידי : $$x_1, x_2, x_3, ... , x_N$$

האם הגישה שלנו כללית?

בחלק זה תיארנו שיטה לפתרון של אי-שיוויונים מהצורה: $$f(x) \geq 0$$ אך רבים מהאי-שיוויונים בהם נתקלנו אינם מצורה זאת. לדוגמא: $$4x^2 -x \geq x$$ אך זו אינה בעיה מאחר ותמיד ניתן, על ידי העברת אגפים, להעביר כל אי שיוויון לצורה: f(x) > 0 . נסתכל על הדוגמא שלעיל, אם נעביר אגפים נקבל: $$4x^2 - 2x \geq 0 $$ ואם נסמן : $$f(x) = 4x^2 - 2x$$ אזי שאי השיוויון הוא מהצורה: $$f(x) \geq 0$$

באופן כללי ניתן לתאר כל אי-שיוויון על ידי: $$ g(x) \geq h(x) $$ אם נעביר אגפים: $$g(x) - h(x) \geq 0$$ נסמן: $$f(x) = g(x) - h(x) $$ ונקבל: $$f(x) \geq 0$$ כלומר, ניתן להשתמש בגישה שלנו לכל אי-שיוויון, כל עוד הפונקציה f(x) רציפה.