המורה שלך ברשת

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

נקודות קיצון מקומיות וגלובליות

נקודות קיצון הוא שם כולל לנקודות מקסימום ומינימום. בחלק זה נגדיר שני סוגים של נקודות קיצון- מקומיות וגלובליות.

נקודות קיצון גלובליות

הגדרות
  1. מקסימום גלובלי- פונקציה $f(x)$ מקבלת מקסימום גלובלי ב- $x_0$ אם לכל $x$ בתחום ההגדרה שלה מתקיים: $f(x_0) \gt f(x) $
  2. מינימום גלובלי- פונקציה $f(x)$ מקבלת מינימום גלובלי ב- $x_0$ אם לכל $x$ בתחום ההגדרה שלה מתקיים: $f(x_0) \lt f(x) $
במילים פשוטות נקודות קיצון גלובליות הן פשוט הנקודות הקיצוניות ביותר על הגרף, המקסימום הגלובלי היא הנקודה הגבוהה ביותר, בעוד שהמינימום הגלובלי היא הנקודה הנמוכה ביותר.
דוגמא:

מצא את נקודות הקיצון הגלובליות של הפונקציה המתוארת בגרף משמאל .

פתרון

המקסימום הגלובלי הוא הנקודה הגבוהה ביותר על הגרף. במקרה הזה הנקודה הגבוהה ביותר היא $(-6, 5) $ .
המינימום הגלובלי הוא הנקודה הנמוכה ביותר על הגרף. במקרה הזה הנקודה הנמוכה ביותר היא $(-2.8, -3) $ .

נקודות קיצון מקומיות

הגדרות
  1. מקסימום מקומי- לפונקציה $f(x) $ יש מקסימום מקומי ב- $x_0$ אם קיימת סביבה של $x_0$ כך שלכל $x$ בסביבה מתקיים $f(x_0) \gt f(x) $ .
  2. מינימום מקומי- לפונקציה $f(x) $ יש מינימום מקומי ב- $x_0$ אם קיימת סביבה של $x_0$ כך שלכל $x$ בסביבה מתקיים $f(x_0) \lt f(x) $ .
נקודת קיצון מקומית היא נקודה שאם נסתכל על סביבה מספיק מצומצמת שלה היא תהיה הנקודה הכי גבוהה או נמוכה בתוך הסביבה. במילים פשוטות יותר כאשר מסתכלים על גרף הפונקציה, כל "פסגה" היא מקסימום מקומי וכל "עמק" הוא מינימום מקומי. הסתכל על הנקודה בה $x = a$ . בקטע המצומצם מסביב ל $x= a$ שסימנו בגרף, כל $x$ שנבחר יקיים $f(a) \gt f(x) $ ומכאן שזוהי נקדות מקסימום מקומית. שימו לב שזוהי אינה הנקודה הכי גבוהה בגרף, אך זוהי עדיין נקודת מקסימום מקומית.
דוגמא:

עבור כל הנקודות המסומנות בגרף משמאל קבע האם הן נקודות קיצון ומאיזה סוג.

פתרון

A- לא נקודות קיצון
B- נקודת מקסימום מקומית
C- נקודת מינמום מקומית וגלובלית
D- נקודת מקסימום גלובלית שימו לב כי נקודה יכולה להיות גם נקודת קיצון מקומית וגם גלובלית.

נקודות קיצון והנגזרת

משפט

אם $f(x) $ ונגזרתה $f'(x) $ הן פונקציות רציפות, (כלומר ניתן לצייר את הגרף שלהן בלי להרים את היד מהדף) ול- $f(x) $ יש נקודת קיצון מקומית ב- $x= a$ אזי שחייב להתקיים $f'(a) = 0 $ .

הסבר ראשון למשפט:

בנקודת קיצון מקומית הפונקציה משנה את המגמה שלה. בנקודת מקסימום היא עוברת מעלייה לירידה, ובנקודת מינימום מירידה לעלייה. אנחנו יודעים כי סימנה של הנגזרת קובע את המגמה של הפונקציה, כאשר היא חיובית הפונקציה עולה וכאשר היא שלילית הפונקציה יורדת. משתי עובדות אלה ניתן להסיק כי סביב נקודת הקיצון הנגזרת משנה את הסימן שלה. במקרה של נקודת מינימום מקומית הנגזרת הופכת משלילית לחיובית, בעוד שבנקודת מקסימום מקומית היא הופכת מחיובית לשלילית. מאחר והנגזרת רציפה (שימו לב שזהו תנאי במשפט) אזי שהיא חייבת לעבור דרך האפס בדיוק בנקודת הקיצון.

הדרך הטובה ביותר להבין זאת היא באמצות זוג גרפים
הגרף משמאל מתאר פונקציה עם מקסימום מקומי ב- $x=1$ . הגרף מימין מתאר את הנגזרת של הפונקציה.
בתחום שלפני נקודת הקיצון הפונקציה עולה ולכן הנגזרת תהיה חיובית כמו שניתן לראות בגרף מימין. בתחום לאחר המקסימום הפונקציה יורדת ולכן הנגזרת שלילית כפי שניתן לראות בגרף מימין. מאחר והנגזרת רציפה לא ייתכן שהיא תקפוץ מערכים חיוביים לשליליים בלי לעבור באפס. ומכאן שהיא חייבת להתאפס בדיוק בשיעור ה- $x$ בו מתקבל המקסימום.

הסבר שני למשפט

משיק לנקודת קיצון מקומית תמיד יהיה קו מקביל לציר ה- $x$ , כלומר בעל שיפוע אפס. מאחר ושיפוע המשיק שווה לערך של הנגזרת בנקודת ההשקה, אזי שהנגזרת חייבת להתאפס.
שימו לב!

המשפט ההפוך אינו נכון, כלומר אם מתקיים $f'(a) = 0 $ לא ניתן להסיק שישנה נקודת קיצון מקומית ב- $x = a$ .
נדגים זאת באמצעות הפונקציה $f(x) = x^3$ .
אם נגזור אותה נקבל: $$f'(x) = 3x^2$$ הנגזרת מתאפסת ב- $x = 0$ אך אין אין שם נקודת קיצון, למעשה אם נסתכל על הנגזרת קל לראות שהיא תמיד חיובית מה שאומר שהפונקציה תמיד עולה. הגרף של הנגזרת נראה כך:
כפי שניתן לראות הנגזרת מתאפסת ב- $x = a$ אך משם היא עולה ונשארת חיובית, ומכאן שהפונקציה לא משנה את מגמתה וממשיכה לעלות. לפיכך לפונקציה אין נקודת קיצון.

מצא נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

השיטה

נוכל למצוא תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון של כל פונקציה על פי השלבים הבאים:
  1. נחשב את הנגזרת $f'(x) $
  2. נפתור את המשוואה: $f'(x) = 0 $
  3. נמצא את כל הנקודות בהן הפונקציה והנגזרת לא מוגדרות.
  4. נצייר את הטבלה:
    הערכים: $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ הם הערכים שמאפסים את הנגזרת (כלומר הערכים שמצאנו בשלב 2) , והערכים שבהם הפונקציה והנגזרת אינן מוגדרות (כלומר הערכים שמצאנו בשלב 3) . אם הפונקציה או הנגזרת אינן מוגדרות בקטע מסויים נציב בטבלה את גבולות הקטע.
  5. בכל אחד מהקטעים $(-\infty, x_1), (x_1,x_2), (x_2,x_3) ... (x_n, \infty) $ נציב נקודת בוחן בנגזרת ונבדוק את סימנה.
  6. בכל קטע בו הנגזרת חיובית הפונקציה עולה ובכל קטע בו היא שלילית הפונקציה יורדת. נזהה את הערכים בהם מתקבל קיצון על פי שינוי הסימן של הנגזרת סביבם. שימו לב שהפונקציה חייבת להיות מוגדרת בשיעור $x$ מסויים בשביל שתהיה בו נקודת קיצון.
    אם הנגזרת הופכת מחיובית לשלילית סביב נקודה $\leftarrow$ זוהי נקודת מקסימום.
    אם הנגזרת הופכת משלילית לחיובית סביב נקודה $\leftarrow$ זוהי נקודת מינימום.

הערות ודגשים

  1. אנחנו מציבים בטבלה את הערכים בהם הפונקציה והנגזרת אינן מוגדרות. כאשר הן אינן מוגדרות על פני תחום מסויים, נציב את גבולות התחום הזה. לדוגמא, אם נתונה לנו הפונקציה $f(x) = \sqrt{x^2-4} $ , המוגדרת ל- $-2 \leq x \leq 2$ נציב בטבלה את הערכים $2$ ו- $-2$ . זיכרו שאין צורך לבדוק את הסימן של הנגזרת בין הנקודות הללו מאחר והפונקציה אינה מוגדרת שם.
  2. זיכרו כי בכל נקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת הנגזרת אינה מוגדרת אך ההפך אינו נכון, כלומר ייתכן שהנגזרת לא תהיה מוגדרת בנקודה בה הפונקציה מוגדרת. לפיכך נוכל למצוא את כל הערכים הרלוונטיים לבניית הטבלה על ידי חישוב הערכים בהם הנגזרת אינה מוגדרת, משום שהם יכילו כבר את הערכים בהם הפונקציה אינה מוגדרת. מדוע אם כן, אנחנו צריכים למצוא את תחום ההגדרה של הפונקציה והנגזרת בנפרד? הסיבה העיקרית לכך היא שהפונקציה לא מקבלת ערכי קיצון בנקודות בהן היא לא מוגדרת, אך יכולה לקבל ערכי קיצון בנקודות בהן רק הנגזרת שלה אינה מוגדרת ולפיכך חשוב להבחין בין הערכים הללו.

דוגמאות

דוגמא: מצב את תחומי העלייה והירידה ונקודות הקיצון של הפונקציה: $$f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2-6x+8} $$

פתרון

נעקוב אחרי השלבים המתוארים למעלה. ראשית נגזור את הפונקציה: $$f'(x) = \frac{(2x-2)(x^2-6x+8) - (x^2-2x+1)(2x-6) }{(x^2-6x+8)^2} $$ נפתח סוגריים ונחבר איברים דומים: $$f'(x) = \frac{-4x^2+14x-10}{(x^2-6x+8)^2} $$ נמצא את הנקודות שמאפסות את הנגזרת: $$\frac{-4x^2+14x-10}{(x^2-6x+8)^2} = 0$$ $$-4x^2+14x-10 = 0$$ פתרונות המשוואה הריבועית: $x_1 = 2.5 ~~~x_2 = 1$ .

נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $$x^2-6x+8 = 0$$ פתרונות המשוואה הם: $x_1 = 4 ~~~x_2 = 2$ ומכאן שתחום ההגדרה יהיה: $x_1 \neq 4 ~~~x_2 \neq 2$ . תחום ההגדרה של הנגזרת זהה.

נצייר את הטבלה:

בטבלה ציינו את ערכי נקודות הבוחן שהצבנו בנגזרת.
מהטבלה ניתן ללמוד כי הפונקציה מקבלת מינימום ב- $x = 1$ ומקסימום ב- $x = 2.5$ .
שימו לב כי בשביל שתהיה נקודת קיצון בערך מסויים הנגזרת חייבת לשנות את סימנה סביב הערך הזה והפונקציה צריכה להיות מוגדרת בו.