מבוא לגיאומטריה אנליטית- תרגילים

הפונקציה

תרגיל 1

השדכנית לאה לב-טוב קובעת פגישות בין לקוחותיה. הלקוחות הגברים שלה הם: {דניאל, רון, אורי}, לקוחותיה הנשיים הן: {יערה, אלנה, יעל} .

  1. לוח הדייטים שלאה קבעה לשבוע הקרוב נראה כך:
    • דניאל ויערה
    • רון ויערה
    • אורי ואלנה
    אם נגדיר את קבוצת הגברים בתור התחום ואת הנשים בתור הטווח, האם התאמה זו היא פונקציה? ואם נגדיר את הנשים בתור התחום והגברים בתור הטווח?
  2. כתוב התאמה בין הגברים והנשים שתהיה פונקציה בין אם נגדיר את הנשים או הגברים בתור תחום. (שאלה אתגר: כמה פונקציות כאלה קיימות?)
  3. ללאה לב-טוב הגיע לקוחה חדשה בשם מאיה. לפיכך עדכנה השדכנית את לוח הפגישות שלה, הלוח החדש נראה כך:
    • מאיה ודניאל
    • יערה ורון
    • אלנה ואורי
    • יעל ורון
    אם נגדיר את קבוצת הנשים בתור התחום והגברים בתור הטווח, האם התאמה זו היא פונקציה? ואם נגדיר את הגברים בתור התחום והנשים בתור הטווח?
  4. האם ישנה התאמה בין הגברים והנשים שתהיה פונקציה בין אם נגדיר את הנשים או הגברים בתור התחום? אם כן כתוב התאמה כזו, ואם לא הסבר מדוע.

פתרון:

  1. כן, לא.
    • דניאל ויערה
    • רון ואלנה
    • אורי ויעל
  3. כן, לא.
  4. לא, מאחר ומספר הנשים והגברים לא זהה.

תרגיל 2

נתונים ארבעה גרפים המסומנים באותיות a-d.

  1. קבע עבור כל גרף האם הוא מייצג פונקציה או לא.
  2. נהפוך את התחום והטווח, כך שכעת שיעורי ה- x מייצגים את הטווח ושיעורי ה- y את התחום. מי מהגרפים מייצג פונקציה כעת?

פתרון:

    1. כן
    2. לא
    3. כן
    4. לא
    1. לא
    2. לא
    3. כן
    4. כן

תרגיל 3

קבע עבור כל אחת מהנקודות הבאות, האם היא על ציר ה- x , ציר ה- y , או באחד הרביעים ובמקרה זה ציין את הרביע.

  1. (1,3)
  2. (2,-4)
  3. (-2,-5)
  4. (2,0)
  5. (-1,0)
  6. (-3,3)
  7. (0,-12)

פתרון:

  1. רביע ראשון
  2. רביע רביעי
  3. רביעי שלישי
  4. ציר x
  5. ציר x
  6. רביע שני
  7. ציר y

תרגיל 4

קבע את תחומי העלייה והירידה של גרף הפונקציה.

פתרון:

  • עלייה: $ x < -4 $   או $ -3 < x < 1 $   או $ x > 5 $
  • ירידה: $ -4 < x < -3 $   או $ 1 < x < 5 $

תרגיל 5

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציות הבאות:

  1. $ f(x) = \frac{1}{x} $
  2. $ f(x) = \frac{2-x}{x-1} $
  3. $ f(x) = \frac{1}{x^2 - x - 2} $
  4. $ f(x) = \frac{2-x}{x^2 - 4} $
  5. $ f(x) = \sqrt{x} $
  6. $ f(x) = \sqrt{x-2} $
  7. $ f(x) = \sqrt{x^2-9} $
  8. $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-9}} $

פתרון

  1. $ x \neq 0 $
  2. $ x \neq 1 $
  3. $ x \neq -1,2 $
  4. $ x \neq 2,-2 $
  5. $ x \geq 0 $
  6. $ x \geq 2 $
  7. $ x \geq 3 $ וגם $ x \leq -3 $
  8. $ x \gt 3 $ וגם $ x \lt -3 $

תרגיל 6

מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציות הבאות:

  1. $ f(x) = x - 1 ~~~ g(x) = 2x + 3 $
  2. $ f(x) = 4x - 3 ~~~ g(x) = 2x + 3 $
  3. $ f(x) = x^2 + 2x ~~~ g(x) = x^2 + 3x + 3 $
  4. $ f(x) = 2x^2 - 3x - 4 ~~~ g(x) = x^2 - 2x - 2 $
  5. $ f(x) = x^2 ~~~ g(x) = 4 $
  6. $ f(x) = x^2 -2 ~~~ g(x) = -4 $
  7. $ f(x) = x^3 - 4x - 2 ~~~ g(x) = x^2 - 3x + 2x - 2 $
  8. $ f(x) = \frac{x^2-4}{x-2} ~~~ g(x) = 14-x^2 $
  9. $ f(x) = \frac{6}{x-3} - \frac{5}{x} ~~~ g(x) = \frac{32}{x^2-9} $
  10. $ f(x) = \sqrt{10x + 4} ~~~ g(x) = \sqrt{2x-3} + 5 $

פתרון:

  1. $ x=-4 $
  2. $ x=3 $
  3. $ x=-3 $
  4. $ x_1=2 ~~~ x_2 = -1 $
  5. $ x_1=2 ~~~ x_2 = -2 $
  6. אין
  7. $ x_1 =0 ~~~ x_2 = 2 ~~~ x_3 = -1 $
  8. $ x_1=-4 ~~~ x_2 = 3 $
  9. $ x_1=5 ~~~ x_2 = 9 $
  10. $ x = 6 $

תרגיל 7

קבע עבור כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא זוגית, אי-זוגית, או לא זוגית ולא אי-זוגית:

  1. $ f(x) = x^2 $
  2. $ f(x) = x^3 $
  3. $ f(x) = x^2 - 2 $
  4. $ f(x) = x^3 - 2 $
  5. $ f(x) = x^3 + x $
  6. $ f(x) = x^3 - x^2 $
  7. $ f(x) = \frac{x^2}{1-x^4} $
  8. $ f(x) = \frac{x^3}{x - x^3} $
  9. $ f(x) = \sqrt{x^2 - 4} $

פתרון:

  1. זוגית
  2. אי-זוגית
  3. זוגית
  4. לא ולא
  5. אי-זוגית
  6. לא ולא
  7. זוגית
  8. זוגית
  9. זוגית

תרגיל 8

קבע עבור כל אחד מהגרפים הבאים האם הם מתארים פונקציה זוגית, אי-זוגית, או לא זוגית ולא אי-זוגית.

פתרון

  1. אי-זוגית
  2. זוגית
  3. לא ולא
  4. זוגית

תרגיל 9

הוכח כי אם פונקציה $ f(x) $   אי-זוגית אז היא מקיימת: $ f(0) = 0 $ .

הקו הישר

תרגיל 1

מצא את משוואות הישרים העוברים דרך כל צמד נקודות:

  1. $ A(2,3), ~~ B(4,1) ~~~~~ ( y = -x + 5 ) $
  2. $ A(8,2), ~~ B(5,11) ~~~~~~ (y=-3x + 26)$
  3. $ A(3,0), ~~ B(6,2) ~~~~~~ (y = \frac{2}{3} x - 2) $
  4. $ A(0,-2), ~~ B(2,6) ~~~~~~ (y = 4x-2) $

תרגיל 2

נתון הישר: $y= 3x + 4 $ .
מצא את משוואת הישר שמאונך לישר שלעיל וחותך אותו בנקודה ב- $x = 0$ .

$ y = -\frac{1}{3}x + 4 $)

תרגיל 3

נתונה משוואת הישר: $ y = 4x + 2 $ .
מצא את משוואת הישר שמקביל לישר שמעיל וחותך את ציר ה-y בנקודה הנמוכה ב-3 יחידות מנקודת החיתוך של הישר שלמעלה.

$ y = 4x - 1 $)

תרגיל 4

צייר במערכת צירים את הישרים הבאים:

  1. $ y = 2x $
  2. $ y = -0.5x + 2$
  3. $ y = x - 2 $
  4. $ y = \frac{x}{3} -3 $

תרגיל 5

התאם בין הישר למשוואה

  1. $ y = -\frac{1}{3}x $
  2. $ y = \frac{1}{2}x + 2 $
  3. $ y = x+ 2 $
  4. $ y = \frac{x}{3} +5 $


$(1. B ~~;~~ 2. C ~~;~~ 3.D ~~;~~ 4. A)$

תרגיל 6

נתונים שני ישרים: $$ y = 2x - 1 $$ $$ y = -x + 5 $$ חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני הישרים וציר ה- x .

פתרון

6.75

תרגיל 7

נתונים שני ישרים: $$ y = x - 1 $$ $$ y = \frac{1}{2} x + 1 $$ חשב את שטח המשולש הנוצר בין שני הישרים וציר ה- y .

פתרון

4

תרגיל 8

נתון הישר $ l_1 $   שמשוואתו : $$ y = -2x + 4 $$
  1. מצא את משוואת הישר $ l_2 $   שמאונך לישר $ l_1 $   ועובר בראשית הצירים.
  2. מצא את הנקודות על הישר $ l_2 $   שנמצאות במרחק 5 מנקודת החיתוך עם ציר ה- y של הישר $ l_1 $   .

פתרון

  1. $ y = \frac{1}{2} x $
  2. $(4.72,2.36) ~~~ (-1.52,-0.76) $

הפרבולה

תרגיל 1

נתונה הפרבולה: $$ f(x) = x^2 - x - 2 $$

  1. האם הפרבולה צוחקת או בוכה?
  2. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים
  3. מצא את הקודקוד של הפרבולה
  4. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפרבולה.
  5. מצא את ציר הסימטריה של הפרבולה
  6. שרטט את הפרבולה

פתרון

  1. צוחקת
  2. ציר ה- x: $ (2,0) ~;~ (-1,0) $
    ציר ה- y: $ (0,-2) $
  3. $ (0.5, -2.25) $
  4. עלייה: $ x \gt 0.5 $
    ירידה: $ x \lt 0.5 $
  5. $ x = 0.5$

תרגיל 2

נתונה הפרבולה: $$ f(x) = -x^2 + x + 6 $$

  1. האם הפרבולה צוחקת או בוכה?
  2. מצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם הצירים
  3. מצא את הקודקוד של הפרבולה
  4. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפרבולה.
  5. מצא את ציר הסימטריה של הפרבולה
  6. שרטט את הפרבולה

פתרון

  1. צוחקת
  2. ציר ה- x: $ (3,0) ~;~ (-2,0) $
    ציר ה- y: $ (0,6) $
  3. $ (0.5, 6.25) $
  4. ירידה: $ x \gt 0.5 $
    עלייה: $ x \lt 0.5 $
  5. $ x = 0.5$

תרגיל 3

הקודקוד של פרבולה הוא $ (3,0) $   , וה- a שלה הוא 4.
מצא את משוואת הפרבולה.

פתרון

$ f(x) = 4(x-3)^2 $

תרגיל 4

נתונה נקודה על הפרבולה (3,4) . ידוע ששיעור ה- x של הקודקוד הוא 2 . מצא נקודה נוספת על הפרבולה ששיעור ה- y שלה הוא 4.

פתרון

(1,4)

תרגיל 5

הקודקוד של פרבולה נמצא בנקודה $ (0.5, -6.25) $ , ונקודת החיתוך שלה עם ציר ה- y היא $ (0, -6) $ . מצא את הפרבולה.

פתרון

$ x^2 - x - 6 $