מבוא לגיאומטריה אנליטית

פונקציה מספרית

הגדרה

פונקציה מספרית היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם קבוצות מספרים.

לדוגמא:
התחום הוא {3,4,7} הטווח הוא {2,5,14,27} נגדיר את הפונקציה F באופן הבא:

  F
3     2
4     5
7     14

הפונקציה F היא פונקציה מספרית מאחר והתחום והטווח שלה הם קבוצות מספריות.

תיאור של פונקציה מספרית

ראינו בדוגמא שלמעלה תיאור של פונקציה מספרית באמצעות טבלה. בצידה האחד היו כל המספרים מהתחום ובצד השני המספרים שהפונקציה מתאימה להם. אך כיצד נוכל לתאר פונקציה שהתחום שלה הוא אינסופי?
דוגמא פשוטה לפונקציה כזו היא הפונקציה המתאימה לכל מספר, מספר הגדול ממנו באחד. כלומר ל-1 היא תתאים את 2 ל-5.5 את 6.5 וכך הלאה. נוכל לתאר את הפונקציה באמצעות משוואה כזאת:
$$ f(x)=x+1 $$ יש להבין זאת באופן הבא: הפונקציה f מתאימה למספר x את המספר (x+1) . כאשר נתונה פונקציה בהצגה זו ניתן לחשב את המספר בטווח המתאים לכל מספר בתחום פשוט על ידי הצבה של המספר במקום $x$ . לדוגמא:
למספר $0$ מתאימה הפונקציה את המספר $$f(0) = 0 + 1 = 1$$ למספר 33 מתאימה הפונקציה את המספר $$f(33) = 33 + 1 = 34$$ באמצעות ההצגה האלגברית ניתן לתאר כל פונקציה שניתן לדמיין (וגם כאלה שאינכם מסוגלים ) . לדוגמא: $$f(x)= 3x+14$$ או $$g(x) = 7x-\frac{1}{x}$$ נוכל לחשב את הערך שמתאים לכל מספר בתחום פשוט על ידי הצבה של המספר במקום x . נסתכל על הטבלה הבאה המראה את הערך של הפונקציה g(x) עבור ערכים שונים של x:

x       g(x)
6             1
13.5       2
27.75     4

נדגים את החישוב: $$g(1) = 7*1-\frac{1}{1} = 6$$
$$g(2) = 7*2 - \frac{1}{2} = 13.5$$
$$g(4) = 7*4 - \frac{1}{4} = 27.75$$

תחום הגדרה

במהלך הלימודים שלנו נעסוק באופן בלעדי בפונקציות מספריות. הן ייוצגו באמצעות משוואה כמו הפונקציות שראינו למעלה. התחום שלהן לא יוגדר באופן ישיר, וההנחה תהיה שהתחום הוא קבוצת כל המספרים מלבד אלה שאם נציב אותם נקבל ביטויים בלתי חוקיים מתמטית, כמו חלוקה באפס או הוצאת שורש ממספר שלילי. התחום של הפונקציה מכונה לעיתים קרובות תחום ההגדרה וזהו המונח בו נשתמש גם אנחנו במהלך הקורס הזה.

לעיתים נידרש למצוא את תחום ההגדרה של פונקציה. כדי לעשות זאת נזכור כי התחום כולל כל מספר שנוכל להציב בפונקציה מבלי לקבל ביטוי בלתי חוקי מתמטית.
ישנם למעשה שלושה ביטויים בלתי חוקיים מתמטית שאנו עלולים להיתקל בהם במהלך הלימודים שלנו בתיכון:

1. חלוקה באפס
2. שורש של מספר שלילי
3. לוגריתם של מספר לא חיובי

כלומר בשביל שמספר כלשהו יהיה בתחום ההגדרה של פונקציה נצטרך לדרוש כי כאשר נציב אותו לא נקבל אף אחד מהמצבים לעיל.

לדוגמא: מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $$f(x) = \frac{1}{x-2}$$ פתרון:

הפונקציה תהיה מוגדרת לכל מספר מלבד אלה שמאפסים את המכנה. נשווה את המכנה ל-0 ונמצא את הערכים הללו: $$x-2=0$$ $$x=2$$ ומכאן שתחום ההגדרה של הפונקציה יהיה: $$x \neq 2$$ כלומר הפונקציה מוגדרת לכל מספר מלבד 2 .

מערכת צירים קרטזית

מערכת צירים מורכבת משני ישרים מאונכים זה לזה המכונים צירים.
הציר האופקי מכונה ציר ה- x .
בעוד שהציר האנכי מכונה ציר ה-y .
נקודת החיתוך בין הצירים מכונה ראשית הצירים.




דרך נוחה למצוא את שיעוריה של נקודה הוא להוריד אנכים מהנקודה לצירים. מערכת הצירים מחלקת את המרחב ל-4 רבעים, אותם אנחנו ממספרים נגד כיוון השעון.

מרחק בין שתי נקודות

אחת הנוסחאות השימושיות והחשובות ביותר בגיאומטריה אנליטית היא היא נוסחת המרחק בין שתי נקודות.
נניח שנתונות לנו שתי נקודות $P(x_1,y_1)$ ו- $P_2(x_2,y_2)$ . נסמן את המרחק בין הנקודות בתור d ואז מתקיים: $$ d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} $$ שימו לב שאין כל חשיבות לסדר של האיברים בתוך הסוגריים, ובניגוד לחישוב שיפוע כאן אפילו אין חשיבות לעקביות.

קטעים

קטע הוא אוסף כל המספרים בתחום מסויים. נסמן קטע באמצעות שני מספרים, המספר הראשון הוא הגבול התחתון של הקטע והשני הוא הגבול העליון . הקטע מורכב מכל המספרים שנמצאים מעל הגבול התחתון ומתחת לעליון. לדוגמא, הקטע [2,5] הוא קבוצת המספרים x המקיימים : $$2 \leqslant x \leqslant 5 $$ נוכל לסמן את הקטע על ציר המספרים באופן הבא: ניתן לסמן קטע עם סוגריים רגילים () ועם סוגריים מרובעים [] . ההבדל ביניהם הוא שקטע עם סוגריים מרובעים [] מכיל את נקודות הקצה בעוד שקטע עם סוגריים רגילים () אינו. לדוגמא, הקטע [4,7] הוא קבוצת המספרים x המקיימים : $$ 4 \leqslant x \leqslant 7$$ נקודות הקצה 4 ו-7 מוכלות בקטע.

לעומת זאת הקטע (4,7) הוא קבוצת המספרים x המקיימים : $$4 \lt x \lt 7 $$ נקודות הקצה 4 ו-7 אינן מוכלות בקטע.

קטע יכול להיות להכיל רק קצה אחד, נתאר קטע כזה באמצעות סוגריים מרובעים בקצה שמוכל בקטע. לדוגמא, הקטע [3,6) הוא קבוצת על המספרים x המקיימים: $$3 \lt x \leqslant 6 $$

גרף הפונקציה

הגדרה: הגרף של הפונקציה f(x) הוא אוסף כל הנקודות מהצורה: (x,f(x)) .

נניח שנתונה לנו הפונקציה: f(x) = 2x - 1 . נחשב את הערך של הפונקציה עבור ערכי x שונים.



אם נתייחס לכל צמד (x,f(x)) כאל נקודה, ונשרטט את כל הנקודות במערכת צירים קרטזית נקבל:

שימו לב, כי הגרף של הפונקציה לא יהיה אוסף של נקודות בדידות אלא עקומה רציפה. במקרה שלנו קל לראות שנקבל קו ישר.

תחומי עלייה וירידה

עלייה בקטע- הגדרה

ירידה בקטע- הגדרה

דוגמא

נקודות חיתוך עם הצירים

נוכל למצוא את נקודות החיתוך עם הצירים של כל פונקציה אם נזכור כי:

1. שיעור ה- y של נקודת חיתוך עם ציר ה- x הוא 0, לפיכך כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה- y נמצא את כל שיעורי ה- x עבורם f(x) = 0 .

2. שיעור ה- x של נקודת חיתוך עם ציר ה- y הוא 0, לפיכך נקודת החיתוך עם ציר ה- x היא
(0,f(0)) .

שימו לב שהדרך למציאת נקודות החיתוך עם הצירים היא כללית לחלוטין ואינה תלוייה בפונקציה עצמה.

דוגמא 1: מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה: $$y = 2x + 6$$ נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$y = 2*0 +6 = 6$$ כלומר נקודת החיתוך עם ציר ה- y היא (0,6) .
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x על ידי הצבה של y = 0 בפונקציה: $$0 = 2x + 6$$ $$-6 = 2x$$ $$ x = -3 $$ כלומר נקודת החיתוך עם ציר ה- x הינה: (-3 , 0) .

דוגמא 2: מצא את נקודות החיתוך עם הצירים של הפונקציה: $$y = x^2 + x - 6$$ נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$y = 0^2 + 0 - 6 = -6$$ נקודת החיתוך עם ציר ה- y היא (0,-6) .
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x על ידי הצבה של y = 0 בפונקציה: $$0 = x^2 + x - 6$$ $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2-4*1*(-6)}}{2*1} = \frac{-1 \pm 5}{2} $$ הפתרונות של המשוואה הם : $$x_1 = 2$$ $$x_2 = -3$$ לפיכך נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן: (2,0) ו- (-3 , 0) .

שאלה למחשבה: כמה נקודות חיתוך ייתכנו עם ציר ה- x ועם ציר ה- y ?

עם ציר ה- y ייתכן שלפונקציה לא תהיה שום נקודת חיתוך או שתהיה נקודת חיתוך בודדת. לפונקציה לא תהיה נקודת חיתוך עם ציר ה- y אם הפונקציה לא מוגדרת עבור x= 0 . לא ייתכן שיהיו לפונקציה יותר מנקודת חיתוך אחת עם ציר ה- y מאחר ולא ייתכן, של- x= 0 יתאים יותר מערך y אחד, אחרת זו לא תהיה פונקציה.
נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן כל הפתרונות של המשוואה: $$f(x) = 0$$ למשוואה יכולים להיות כל מספר של פתרונות, אפילו אינסוף. ומכאן שכל מספר של נקודות חיתוך עם ציר ה- x הוא אפשרי.

נקודות חיתוך בין פונקציות

דוגמא: מצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות: $$f(x) = 3x^3 + x$$ ו- $$g(x) = 3x^3 - 2$$

נפתור את המשוואה: $$f(x) = g(x)$$ $$3x^3 + x = 3x^3 - 2$$ $$x = -2$$ מצאנו את שיעור ה- x של נקודת החיתוך וכעת נמצא את שיעור ה- y על ידי הצבה באחת הפונקציות: $$f(-2) = 3*(-2)^3 - 2$$ $$f(-2) = -26$$ ולפיכך נקודת החיתוך הינה : (-2,-26) .

פונקציה זוגית ואי זוגית

פונקציה זוגית, הגדרה:

פונקציה f(x) זוגית אם ורק אם מתקיים f(-x) = f(x)

פונקציה אי זוגית, הגדרה:

פונקציה f(x) אי זוגית אם ורק אם מתקיים f(-x) = -f(x)

שאלה 1: ידוע כי הפונקציה f(x) אינה זוגית, האם ניתן להסיק כי היא אי זוגית?

תשובה: לא! פונקציה יכולה להיות לא זוגית ולא אי-זוגית. כלומר, אם בדקנו את התנאי לזוגיות של פונקציה וקיבלנו כי f(-x) ≠ f(x) לא ניתן להסיק כי הפונקציה אי-זוגית ויש לבדוק בנפרד את התנאי לאי-זוגיות, כלומר האם f(-x) = -f(x) .

שאלה 2: האם פונקציה יכולה להיות גם זוגית וגם אי-זוגית?

תשובה: נניח כי ישנה פונקציה f(x) שהיא גם זוגית וגם אי זוגית. מאחר והיא זוגית היא חייבת לקיים: $$f(-x) = f(x)$$ מאחר והפונקציה אי-זוגית היא חייבת לקיים: $$f(-x) = -f(x)$$ ומכאן ש: $$f(x) = -f(x)$$ יש לנו משוואה שהנעלם שלה הוא f(x) . נפתור אותה ונקבל: $$2f(x) = 0$$ $$f(x) = 0$$ כלומר ישנה פונקציה אחת שהיא גם זוגית וגם אי זוגית: f(x) = 0 .

דוגמא 1: בדוק זוגיות של הפונקציה: f(x) = x²

הגישה לבדיקת זוגיות היא קבועה: מציבים בפונקציה (-x) במקום x ובודקים אם הפונקציה המתקבלת שווה ל- f(x) , -f(x) או לאף אחד מהם. $$f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$$ ומכאן ש- f(x) זוגית.

דוגמא 2: בדוק זוגיות הפונקציה: $$f(x) = x^3$$

$$f(-x) =(-x)^3 = -x^3 = -f(x) $$ ומכאן שהפונקציה אי-זוגית.

דוגמא 3: בדוק זוגיות הפונקציה: $$g(x) =x^3 + x^2 $$

$$g(-x) =(-x)^3 + (-x)^2 = -x^3 + x^2 $$ קל לראות כי: $$g(-x) \neq g(x) $$ $$ g(-x) \neq -g(x) $$ ומכאן שהפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית.

דוגמא 4: בדוק זוגיות הפונקציה: $$h(x) = \frac{x^3}{x^2+1}$$

$$h(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2+1} = \frac{-x^3}{x^2+1} = -\frac{x^3}{x^2+1} = -h(x) $$ ומכאן שהפונקציה אי-זוגית.

הרכבה של פונקציות

הרכבה של פונקציות, אותה נסמן ב- ∘ , היא פעולה הלוקחת שתי פונקציות f ו- g ויוצרת מהן פונקציה חדשה h(x) כך שמתקיים: $$h(x) = (f \circ g)(x) = f(g(x)) $$ כלומר, הפונקציה החדשה שקולה להפעלת הפונקציות מהן היא מורכבת אחת אחרי השנייה.

דוגמא:

נתונות שתי פונקציות $$f(x) =2x-1 $$ $$g(x) = x^2 $$ חשב את $$h = f \circ g$$ ו- $$\phi = g \circ f$$

פתרון:

$$h(x) = (f \circ g)(x) =f(g(x)) = 2x^2-1 $$ $$\phi (x)= (g \circ f)(x) = g(f(x)) = (2x-1)^2 $$
שימו לב! הסדר של פעולת ההרכבה חשוב.