מבוא לגיאומטריה אנליטית- הישר

הגדרת משוואת הישר מציאת משוואת הישר משמעות השיפוע והחותך מצב הדדי בין ישרים

מציאת משוואת הישר

עובדה ידועה בגיאומטריה היא כי דרך כל שתי נקודות עובר קו ישר אחד, כלומר שתי נקודות מגדירות קו ישר . בחלק זה נראה כיצד ניתן בהינתן שתי נקודות, למצוא את משוואת הישר שעובר דרכן. מאחר וכל משוואת ישר מאופיינת בשני פרמטרים: השיפוע והחותך, הרי שכל הבעיה מתמצה בחישובם. נתחיל בכך שנפתח נוסחא לחישוב השיפוע. נתון ישר $$y = mx + n$$ אם הנקודות P₁(x₁,y₁) ו- P₂(x₂,y₂) נמצאות על הישר הרי שהן חייבות לקיים את המשוואה: $$y_1 = mx_1 + n $$ $$y_2 = mx_2 + n$$ נחסר בין שתי המשוואת ונקבל: $$y_2 - y_1 = m(x_2-x_1)$$ נפתור עבור m ונקבל: $$m = \frac{y_2 - y_1 }{x_2-x_1}$$ כלומר, בהינתן שתי נקודות על הישר נוכל לחשב את השיפוע שלו באמצעו הנוסחא לעיל. כעת כשיש לנו דרך לחשב את השיפוע כל שנותר הוא לחשב את החותך. הדרך הראשונה לחישוב החותך היא פשוט על ידי הצבה של אחת הנקודות במשוואת הישר. $$y_1 = mx_1 + n$$ $$n = y_1-mx_1$$ שימו לב כי השיפוע כבר חושב (באמצעות הנוסחא שפיתחנו לעיל) וכי x₁ ו- y₁ נתונים. דרך שנייה לחישוב החותך היא באמצעות השימוש בעובדה שכל נקודה (x, y) על הישר מקיימת: $$ \frac{y - y_1}{x - x_1} = m $$ ומכאן שנוכל לקבל: $$ y - y_1 = m(x - x_1) $$

חישוב משוואת ישר-דוגמא

מצא את משוואת הישר העוברת דרך הנקודות: P₁(1 , 2) ו- P₂(3, 8)

שלב ראשון: חישוב השיפוע

נציב בנוסחא: $$m = \frac{y_2 - y_1 }{x_2-x_1} = \frac{8-2}{3-1} = 3$$ שימו לב, שכאשר נותנים לנו שתי נקודות אין זה משנה מי מהן מסומנת בתור נקודה ראשונה ומי בתור שנייה.

שלב שני: חישוב החותך

ראינו שתי דרכים לחישוב החותך. נדגים את שתי השיטות, ונותיר לקורא לבחור בדרך המועדפת עליו. הדרך הראשונה הייתה הצבה של אחת הנקודות (לא משנה איזו) במשוואת הישר. אנחנו יודעים שמשוואת הישר היא מהצורה: $$y = 3x + n$$ נציב את הנקודה P₂(3 , 8) (אפשר לבחור גם את הנקודה השנייה זה לא ישנה את הפתרון) $$8 = 3*1 + n$$ $$n = -1$$ לסיכום, משוואת הישר היא $$y = 3x - 1$$ הדרך השנייה היא להשתמש בנוסחה: $$ y - y_1 = m(x-x_1) $$ נציב את השיפוע ואת אחת הנקודות: $$ y - 2 = 3(x-1) $$ $$ y = 3x - 3 + 2 $$ $$ y = 3x - 1 $$

משמעות השיפוע והחותך

משמעות השיפוע

השיפוע אומר לנו בכמה יחידות ישתנה שיעור ה- y אם נגדיל את שיעור ה- x ביחידה אחת.
כלומר, אם השיפוע הוא 3 אזי שכל פעם שנגדיל את ה- x ביחידה אחת, שיעור ה- y יגדל ב-3 יחידות. שימו לב שכאשר השיפוע שלילי, המשמעות היא ששיעור ה- y יקטן כאשר שיעור - x יגדל ביחידה. לדוגמא אם השיפוע הוא (-2) אזי ששיעור ה- y ירד ב-2 יחידות כל פעם ששיעור ה- x יגדל ביחידה.

הוכחה:

נניח שיש לנו ישר שמשוואתו היא $$y = mx + n$$ נחשב את שיעור ה- y עבור שני ערכי x שונים : $$y(a) = ma + n$$ $$y(a+1) = m(a+1) + n = ma + m + n = y(a) + m$$ כפי שניתן לראות אם מגדילים את שיעור ה- x בדיוק ביחידה מ a ל- (a+ 1) שיעור ה- y משתנה בדיוק ב- m .

כלומר, אם השיפוע חיובי אז כאשר x גדל y גדל, ומכאן שהישר עולה. ואם השיפוע שלילי אז הקו יורד. ניתן ללמוד לפיכך מהשיפוע על ההצגה הגרפית של הישר:

משמעות החותך

למדנו איך מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים באופן כללי. נשתמש בכללים שלמדנו על מנת למצוא את נקודות החיתוך של ישר כללי: y = mx + n . על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x נציב y= 0 ונקבל: $$0 = mx + n$$ $$x = -\frac{n}{m}$$ כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y נציב x=0 ונקבל: $$y = m*0 + n = n$$ כלומר נקודת החיתוך עם ציר ה- y הינה (0,n) ולכן הקבוע n מכונה החותך.

דוגמאות

דוגמא 1:

התאם בין המשוואה לבין הגרף שמתאים לה


פתרון:

נסתכל על קו מספר 1. מאחר והוא קו יורד, המשוואה שלו חייבת להיות בעלת שיפוע שלילי, ומכאן שזו חייבת להיות משוואה מספר 2. ניתן היה להסיק זאת גם מהעובדה שנקודת החיתוך של הישר עם ציר ה- $y$ הוא 1 ומכאן שהחותך של משוואתו חייב להיות 1.
נעבור לקו מספר 2. מאחר והוא קו עולה המשוואה שמתארת אותו חייבת להיות בעלת שיפוע חיובי, כלומר משוואות 1 או 3. נקודת החיתוך שלו עם ציר ה- y היא שלילית ומכאן שזו חייבת להיות משוואה עם חותך שלילי, כלומר משוואה 1.
הקו השלישי הוא בעל שיפוע אפס ומכאן שהוא חייב להיות מתאים למשוואה 4.
הקו האחרון, קו מספר 4, הוא בעל שיפוע חיובי ועם חותך אפס ומכאן שהוא מתאים למשוואה 3.

דוגמא 2:

ציירו את הישרים המתוארים על ידי המשוואות הבאות:

1. $y = -x - 3$
2. $y = 2x $
3. $y = -2$
4. x= 3

פתרון:

ניתן לגשת לפתרון בשתי דרכים שונות.
הדרך הראשונה היא חישוב של שתי נקודות על הישר והעברת ישר דרכן. נוכל למצוא שתי נקודות על הישר פשוט על ידי הצבה של שיעור x במשוואה וחישוב שיעור ה- y המתאים לו.
דרך שנייה לציור הישר, היא שימוש בפרמטרים של המשוואה. השיפוע אומר לנו בכמה משתנה שיעור ה- y עבור גידול של יחידה אחת בשיעור ה- x . לדוגמא, אם השיפוע הוא 3 ניתן להסיק שכל תזוזה של משבצת ימינה הישר יעלה 3 משבצות מעלה. החותך יגיד לנו מהי נקודת החיתוך עם ציר ה- y .

נתחיל עם הישר הראשון. נמצא שתי נקודות על הישר:
נציב x=0 ונקבל $$y(0) = -1*0 - 3 = -3$$ נציב x=1 ונקבל: $$y(1) = -1*1 - 3 = -4$$ נעביר ישר דרך הנקודות ונקבל:

השיפוע של הישר השני הוא 2 ומכאן שכל התקדמות של משבצת יחידה ימינה בכיוון ציר ה- x שיעור ה- y יגדל ב-2 .
החותך הוא אפס ומכאן שהישר יעבור בראשית הצירים.
נצייר את הישר: השיפוע של הישר הוא אפס, כלומר הוא אינו עולה או יורד, והחותך שלו הוא -2 לפיכך הגרף שלו יראה כך:
הישר המתואר על ידי המשוואה הרביעית אינו יכול להיות מאופיין על ידי שיפוע או חותך. שימו לב שכדי שנקודה תהיה על ישר כלשהו, שיעוריה צריכים לקיים את המשוואה. במקרה של המשוואה הרביעית כל נקודה ששיעור ה- x שלה שווה ל-3 תהיה על הישר, לא משנה מה שיעור ה- y .שלה

מצב הדדי בין ישרים

ישנם שלושה מצבים הדדיים אפשריים בין שני ישרים:
מה שמבדיל בין המצבים ההדדיים הוא מספר נקודות החיתוך בין הישרים.
ישרים מקבילים לעולם אינם נחתכים, לשני ישרים נחתכים יש נקודה משותפת אחת ולישרים מתלכדים יש אינסוף נקודות חיתוך. לפיכך אם ברצוננו למצוא את המצב ההדדי בין ישרים כל שעלינו לעשות הוא למצוא את מספר נקודות החיתוך ביניהם.

נניח שנתונים לנו שני ישרים: $$y = m_1x + n_1$$ $$y = m_2x + n_2 $$ נמצא את נקודת החיתוך בין הישרים: $$m_1x + n_1 = m_2x + n_2$$ $$(m_1-m_2)x = n_2-n_1$$ יש לנו פה חקירת משוואה ליניארית. כזכור לכם, ייתכנו שלושה מצבים: אין פתרון, פתרון יחיד ואינסוף פתרונות. כל אחד מהמצבים האלה מתאים כמובן למצב הדדי אחר בין הישרים.
נבחן את כל המצבים:

1.$m_1 \neq m_2$ ואז הפיתרון הוא: $$x= \frac{n_2-n_1}{m_1-m_2}$$ במצב זה הישרים נחתכים.

2.$m_1=m_2$   $n_1 \neq n_2 $
במקרה זה המשוואה היא: $$0x = n_2-n_1$$ ואין פיתרון. זאת מאחר ואגף שמאל שווה ל-0 עבור על ערך של $x$ ואגף שמאל תמיד שונה מאפס, ומכאן שאין שום מספר שנוכל להציב במשוואה כך שהאגפים ישתוו.
מכאן שהישרים יהיו מקבילים.

3.$m_1 = m_2$   $n_1 = n_2 $
במקרה זה המשוואה תהיה: $$0x = 0$$ למשוואה זו יש אינסוף פתרונות משום שאגף שמאל ואגף ימין תמיד יהיו שווים ל-0 לא משנה איזה מספר נציב במקום $x$ .
מצב זה מתאים לישרים מתלכדים.

ניתן לסכם זאת בתרשים הזרימה הבא:
מצב מיוחד של ישרים נחתכים הוא המצב בו הישרים מאונכים זה לזה. חשוב להכיר את הקשר הבא:
נתונים שני ישרים: $$y = m_1x+n_1$$ $$y=m_2x+n_2$$ הישרים מאונכים זה לזה אם ורק אם: $$m_1m_2=-1$$

מערכת משוואות מנקודת מבט גיאומטרית

המקרה הכללי

מערכת משוואות היא קבוצה של מספר משוואות עם מספר נעלמים. לדוגמא: $$ \begin{cases} y+2x=6 \\ 3y+x^2+5x-24=0 \end{cases} $$ ניתן להתסכל על כל אחת מהמשוואות כעל פונקציה.
המשוואה הראשונה לדוגמא מייצגת קו ישר. עובדה זו עלולה להפתיע אתכם מאחר ואנחנו רגילים לראות משוואות של ישרים בצורה הזו: $$y = mx + n$$ אך חשוב להבין שאם נכפיל את המשוואה הזו בקבוע או נעביר אגפים, היא עדיין תייצג את אותה הפונקציה.
נוכל להציג את המשוואה הראשונה בהצגה הסטנדרטית של קו ישר אם פשוט נעביר את 2x לאגף ימין: $$y = -2x + 6$$ המשוואה השנייה מייצגת פרבולה. גם כאן נוכל לראות זאת בבירור אם נעביר אגפים: $$3y = -x^2 -5x +24$$ נחלק ב-3 : $$y = -\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{3}x + 8$$ כל צמד מספרים (x,y) המקיים את אחת המשוואות מייצג נקודה הנמצאת על גרף הפונקציה.
פתרון המערכת הוא צמד (x,y) שמקיים את שתי המשוואות, כלומר זוהי נקודה הנמצאת על הגרפים של שתי הפונקציות, או במילים אחרות: נקודת החיתוך ביניהם.

נפתור את המערכת שלעיל: $$ \begin{cases} y = -2x + 6 \\ y = -\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{3}x + 8 \end{cases} $$ נציב את הביטוי ל- y מהמשוואה הראשונה במשוואה השנייה: $$-2x + 6 = -\frac{1}{3}x^2-\frac{5}{3}x + 8$$ נכפול את כל המשוואה ב-3 , נעביר אגפים ונקבל את המשוואה הריבועית הבאה: $$x^2-x-6 = 0;$$ נשתמש בנוסחת השורשים ונקבל: $$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+24} }{2} =\frac{1 \pm 5}{2} $$ ושני הפתרונות יהיו: $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -2$$
כלומר, למערכת יש שני פתרונות. הפתרונות הללו הם נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות המיוצגות על ידי כל אחת מהמשוואות. נחשב את שיעור ה- y של שתי הנקודות על ידי הצבה באחת הפונקציות: $$y(3) = -2*3 + 6 = 0$$ $$y(-2) = -2*(-2) + 6 = 10$$ שתי נקודות החיתוך תהיינה: (3,0) (-2,10)

מערכת ליניארית

במערכת משוואות לינארית שתי המשוואות מתארות קווים ישרים.
למערכת ליניארית ייתכנו שלוש מצבים: אפס פתרונות, פתרון יחיד ואינסוף פתרונות.
מאחר ופתרונות המערכת הם נקודות חיתוך בין הישרים ניתן לקשור כל אחד מהמצבים למצב הדדי בין הישרים.
אין למערכת פתרון ← ישרים מקבילים .
פתרון יחיד ← ישרים נחתכים .
אינסוף פתרונות ← ישרים מתלכדים .