חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

הגדרת הפרבולה

פרבולה היא כל פונקציה מהצורה: $$y = ax^2 + bx + c$$ כאשר a , b ו- c הם קבועים.
הפרמטרים של הפרבולה יכולים לקבל כל ערך, עם יוצא דופן אחד: a ≠ 0 , שכן אחרת הפונקציה תהיה קו ישר ולא פרבולה.

דוגמאות: קבע עבור על אחת מהפרבולות הבאות את הערכים של a , b ו- c . $$y = 3x^2- 6x + 2 \rightarrow a=3 ~~ b = -6 ~~ c = 2$$ $$y = 7x^2 + 3 \rightarrow a=7 ~~ b = 0 ~~ c = 3$$ $$y = 10x^2 \rightarrow a=10 ~~ b = 0 ~~ c = 0$$ $$y = -x^2 + x \rightarrow a=-1 ~~ b = 1 ~~ c = 0$$

פרבולה צוחקת ובוכה

ניתן לחלק את הפרבולות לשני סוגים: פרבולה צוחקת ובוכה. השם, צוחקת ובוכה, מתאר את ההצגה הגרפית של כל אחת מהפרבולות.
ניתן לזהות אם המשוואה מתארת פרבולה צוחקת או בוכה על פי הכלל הפשוט הבא:
הפרבולה צוחקת כאשר a > 0 ובוכה כאשר a < 0 .

דוגמאות:

קבע עבור הפרבולות הבאות אם הן צוחקות או בוכות
  1. $y = 3x^2+6x+7$
  2. $y = 4x^2$
  3. $y = -x^2 + 7$

פתרון:

1. פרבולה צוחקת מאחר ו- a=3 > 0
2.פרבולה צוחקת מאחר ו- a = 4 > 0
3. פרבולה בוכה מאחר ו- a=-1 < 0

פרבולה- נקודות החיתוך עם הצירים

נשתמש במה שלמדנו על מציאת נקודות חיתוך של פונקציות עם הצירים עבור הפרבולה.

ציר ה -x

נתונה פרבולה: $$y = ax^2 + bx + c $$ נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי הצבה של y = 0 במשוואת הפרבולה: $$0=ax^2+bx+c$$ קיבלנו משוואה ריבועית. בפתרון משוואה ריבועית ייתכנו שלושה מצבים כל אחד מהם מתאים למספר שונה של נקודות חיתוך עם הצירים:
  1. אם אין פתרון למשוואה אז לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה- x
  2. אם למשוואה יש פתרון יחיד, אזי שלפרבולה יש נקודת חיתוך בודדת עם ציר ה- x .
  3. אם למשוואה יש שני פתרונות אזי שלפרבולה יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- x .


ציר ה-y

נתונה הפרבולה: $$y = ax^2 + bx + c $$ נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x=0 במשוואת הפרבולה : $$y(0) = a*0^2+b*0 + c = c$$ קיבלנו שנקודת החיתוך עם ציר ה- y הינה: (0,c) . כלומר האיבר החופשי של הפרבולה c תמיד יהיה נקודת החיתוך עם ציר ה- y .

פרבולה תחומי עלייה וירידה

לפרבולה תמיד יש נקודת קיצון אחת, במקרה של פרבולה צוחקת זו נקודת מינימום ובמקרה של פרבולה בוכה נקודת מקסימום. נקודת הקיצון של הפרבולה מכונה לעיתים קרובות קודקוד הפרבולה. אם נתונה לנו פרבולה: $$y = ax^2+bx+c$$ ניתן לחשב את שיעור ה- x של קודקוד הפרבולה באמצעות הנוסחא: $$x_{min/max} =- \frac{b}{2a}$$ שימו לב שאם אנחנו יודעים את קודקוד הפרבולה, ניתן לומר בקלות מהם תחומי העלייה והירידה של הפרבולה. פרבולה צוחקת יורדת עד לקודקוד ועולה אחריו, בעוד שפרבולה בוכה עולה עד לקודקוד ויורדת אחריו.

דוגמא:

נתונה הפרבולה: $$y = x^2+x-6$$ מצא את נקודת המינימום של הפרבולה ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

פתרון:

ראשית נמצא את הקודקוד של הפרבולה: $$x_{min} = -\frac{1}{2*1} = -\frac{1}{2}$$ שימו לב שמאחר וזו פרבולה צוחקת, הקודקוד הוא נקודת מינימום. נמצא את שיעור ה- y של נקודת המינימום על ידי הצבה בפונקציה: $$y(-\frac{1}{2}) =(-\frac{1}{2})^2 + -\frac{1}{2} -6 = -6.25 $$
לפיכך נקודת המינימום היא: (-1/2,-6.25) .
הפרבולה יורדת עבור $x \lt -\frac{1}{2}$ ועולה עבור $x \gt -\frac{1}{2}$ .

ציר הסימטריה של הפרבולה

ציר הסימטריה של הפרבולה: $$y = ax^2+bx+c$$ הוא הישר $$x = -\frac{b}{2a}$$ .
הישר עובר דרך קודקוד הפרבולה ומחלק אותה לשני חלקים שמהווים שיקוף האחד של השני.
לכל נקודה על הפרבולה יש נקודה המתאימה לה מהצד השני של ציר הסימטריה. הנקודה המתאימה היא הנקודה השנייה על הפרבולה עם אותו שיעור ה- y . מה שמאפיין שתי נקודות מתאימות הוא שהן נמצאות באותו המרחק מציר הסימטריה. דרך אחרת לנסח זאת, היא שציר הסימטריה נמצא בדיוק באמצע הדרך בין כל שתי נקודות מתאימות על הפרבולה.
בגרף למטה לדוגמא, סימנו שתי נקודות מתאימות, קל לראות שהמרחק שלהן מציר הסימטריה הוא זהה.
אם x1 ו- x2 הם שיעורי ה- x של שתי נקודות מתאימות על הפרבולה ו- x = xm ציר הסימטריה, אז מתקיים: $$x_m = \frac{x_1+x_2}{2}$$

דוגמא:

נתונות לנו שתי עובדות על פרבולה מסויימת:
  1. אחת מנקודות החיתוך עם ציר ה -x היא (8,0) .
  2. קודקוד הפרבולה נמצא ב- x = 6 .
מצא את נקודת החיתוך השנייה עם ציר ה- x אותה נסמן ב- (x,0) .

פתרון:

מאחר וציר הסימטריה עובר דרך הקודקוד אז הוא חייב להיות: x = 6 . נזכור כי לכל נקודה על הפרבולה יש נקודה מתאימה מהצד השני של ציר הסימטריה שהיא בעלת אותו שיעור y . הנקודה המתאימה ל- (8,0) תהיה לפיכך נקודת החיתוך השנייה עם ציר ה- x . ציר הסימטריה נמצא בדיוק באמצע בין שתי הנקודות ולכן: $$6 = \frac{x + 8}{2} $$ $$x = 4$$

חקירת פרבולה

דוגמא 1:

נתנונה הפרבולה הבאה: $$y = x^2 - x - 6$$
  1. האם הפרבולה צוחקת או בוכה?
  2. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים.
  3. מצא את נקודת הקיצון של הפרבולה, האם זו נקודת מקסימום או מינימום?
  4. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה
  5. מצא את ציר הסימטריה של הפרבולה
  6. צייר את גרף הפונקציה

פתרון:

  1. הפרבולה צוחקת מאחר ו: a = 1 > 0
  2. נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x= 0 : $$y(0) = 0^2-0-6 = -6 \rightarrow (0,-6)$$ נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x על ידי הצבה של y = 0 ונקבל: $$0 = x^2 - x - 6$$ $$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2}$$ ונקבל שני פתרונות: $$x_1 = 3 \rightarrow (3,0)$$ $$x_2 = -2 \rightarrow (-2,0)$$
  3. מאחר ומדובר בפרבולה צוחקת נקודת הקיצון שלה תהיה נקודת מינימום. נמצא את שיעור ה- x של נקודת המינימום: $$x_{min} =- \frac{b}{2a} =-\frac{-1}{2*1} = \frac{1}{2}$$ נמצא את שיעור ה- y של נקודת המינימום על ידי הצבה: $$y(\frac{1}{2}) =(\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 6 = -6.25 $$ לסיכום, נקודת המינימום היא: (1/2, -6.25)
  4. הפונקציה יורדת בתחום: $$x \lt \frac{1}{2}$$ ועולה בתחום: $$x \gt \frac{1}{2}$$
  5. ציר הסימטריה הוא: $$x =- \frac{b}{2a} =-\frac{-1}{2*1} = \frac{1}{2}$$


דוגמא 2:

נתונה הפרבולה: $$y = -x^2 + 4x -4$$
  1. האם הפרבולה צוחקת או בוכה?
  2. מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים.
  3. מצא את נקודת הקיצון של הפרבולה, האם זו נקודת מקסימום או מינימום?
  4. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה
  5. מצא את ציר הסימטריה של הפרבולה
  6. צייר את גרף הפונקציה
פתרון:

  1. הפרבולה בוכה מאחר ו- a = -1 < 0 .
  2. נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x על ידי הצבה של y= 0 במשוואת הפרבולה: $$0 = -x^2+4x-4$$ $$0 = x^2-4x +4$$ $$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-16}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2$$ נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 במשוואת הפרבולה ונקבל: $$y(0) = -0^2+4*0-4 = -4$$
  3. הפרבולה בוכה ומכאן שנקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. נמצא את שיעור ה- x של נקודת הקיצון: $$x_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2*(-1) } =2$$ נמצא את שיעור ה- y של נקודת המקסימום על ידי הצבה: $$y(2) = -2^2+4*2-4 =0 $$ נקודת הקיצון תהיה: (2,0) .
  4. הפונקציה עולה עבור: $$x \lt 2$$ ויורדת עבור: $$x \gt 2$$
  5. ציר הסימטריה הוא הישר: $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2*(-1) } =2$$

נקודות חיתוך בין פרבולה לישר

נתונה פרבולה: $$y = ax^2 + bx + c$$ וישר: $$y = mx + n$$ נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות באמצעות פתרון המשוואה: $$mx + n = ax^2 + bx + c$$ זוהי משוואה ריבועית, וכמו בכל משוואה ריבועית ייתכנו שני פתרונות, פתרון בודד או אף לא פתרון אחד.

דוגמא 1:

מצא את נקודות החיתוך בין הישר: $$y = 3x$$ לבין הפרבולה: $$y = 2x^2 + 3x -8$$

פתרון:

נקודות החיתוך יהיו פתרונות המשוואה: $$3x = 2x^2 + 3x - 8$$ $$ 0 = 2x^2-8$$ $$-2x^2 = -8 $$ $$x^2 = 4$$ ושני הפתרונות הם: $$x_1 = 2$$ $$x_2 = -2$$ כלומר בין הישר והפרבולה יש שתי נקודות חיתוך. נוכל למצוא את שיעור ה- y של נקודות החיתוך על ידי הצבה באחת הפונקציות (לא משנה באיזו, מאחר והפונקציות שוות בערכי x הללו) : $$y(2) = 3*2 = 6$$ $$y(-2) = 3*(-2) = -6$$ ונקודות החיתוך תהיינה: (2,6) (-2,-6) .

דוגמא 2:

מצא את נקודות החיתוך בין הישר: $$y = 3x - 8$$ לבין הפרבולה: $$y = 2x^2 + 3x -8$$

פתרון:

נקודות החיתוך יהיו פתרונות המשוואה: $$3x -8 = 2x^2 + 3x - 8$$ $$ 0 = 2x^2$$ $$ x = 0 $$ כלומר בין הישר והפרבולה יש שתי נקודת חיתוך אחת. נוכל למצוא את שיעור ה- y של נקודת החיתוך על ידי הצבה באחת הפונקציות (לא משנה באיזו, מאחר והפונקציות שוות בערכי x הללו) : $$y(0) = 3*0 - 8 = -8$$ ונקודת החיתוך תהיה: (0,-8) .

נקודות חיתוך בין הפרבולות

נתונות שתי פרבולות. משוואת הפרבולה הראשונה הינה: $$y = a_1x^2 + b_1x + c_1$$ משוואת הפרבולה השנייה היא: $$y = a_2x^2 + b_2x + c_2$$ נמצא את נקודות החיתוך ביניהן על ידי פתרון המשוואה: $$a_1x^2 + b_1x + c_1 = a_2x^2 + b_2x + c_2$$ זוהי משוואה ריבועית, וכמו בכל משוואה ריבועית ייתכנו שני פתרונות, פתרון בודד או אף לא פתרון אחד.

דוגמא:

מצא את נקודת החיתוך בין הפרבולות $$y = x^2 + 6x + 8$$ $$y = x^2 + 2x + 16$$

פתרון:

נקודות החיתוך הן פתרון המשוואה: $$x^2 + 6x + 8 = x^2 + 2x + 16$$ $$4x = 8$$ $$x = 2$$ כלומר ישנה נקודות חיתוך אחת, שאת שיעור ה- y שלה, נוכל לחשב על ידי הצבה באחת הפרבולות: $$y(2) = 2^2 + 6*2 + 8 = 24 $$ לפיכך נקודת החיתוך תהיה: (2,24) .