הסתברות מותנית

הסתברות מותנית

ראינו שדיאגרמת עץ יכולה להיות כלי שימושי במיפוי האפשרויות השונות של ניסוי, אך בתיאור שלנו למעלה התעלמנו במכוון מפרטים מסוימים, כמו מהי בדיוק המשמעות של ההסתברויות המופיעות בעץ.

עץ זה מתאר את הניסוי בדוגמא שראינו למעלה, כאשר ההבדל היחיד הוא שסימנו שלוש נקודות בעץ, אלו הן שלוש נקודות ההתפצלות בגרף. ההסתברות על הענף מייצגת את הסיכוי שאם אני עומד בנקודת ההתפצלות ממנה הוא יוצא, הוא יבחר. לדוגמא אם אני עומד בנקודה מספר 1 (הנקודה הכחולה) הסיכוי שנתקדם שמאלה הוא 0.8 בעוד שההסתברות שנלך ימינה היא 0.2 .
בדיוק באותו אופן אם בירייה הראשונה הצלף פספס , אנחנו נגיע לנקודה מספר 2 (הנקודה האדומה) ומשם ההסתברות של הענף הימני (פספוס) היא 0.2 וההסתברות להתקדם בענף השמאלי (פגיעה) היא 0.8 .

שימו לב שבכל נקודה אנחנו נמצאים בשלב אחר בניסוי, בנקודה מספר 1 עוד לא נורתה אף ירייה, בעוד שבשתי הנקודות האחרות כבר נורתה ירייה אחת, וכל נקודה מתאימה לאחת התוצאות של השלב הראשון.
הימצאות בנקודה מסוימת לאורך הגרף מייצגת מידע שיש לי לגבי התוצאה של הניסוי.

הסתברות כזכור לכם מתארת את התדירות של התרחשות מאורע כלשהו. ההסבר שלנו למעלה למשמעות ההסתברויות המופיעות בעץ לא מזכיר כלל מאורעות. בואו ננסה להעמיק את ההבנה שלנו באמצעות הדוגמא הבאה.

דוגמא:

במפעל מסוים 70% מהעובדים הם גברים ו-30% נשים. מתוך הגברים 20% מעשנים בעוד שרק 10% מהנשים מעשנות. בוחרים באקראי אדם מהמפעל.

1. מהי ההסתברות שנבחר גבר שמעשן?
2. מהי ההסתברות שנבחרה אישה שמעשנת?
3. מהי ההסתברות שנבחר אדם שמעשן (גבר או אישה) ?

פתרון:

נתאר את הניסוי באמצעות עץ עם שני שלבים. שימו לב שניתן לעשות זאת למרות שאין בניסוי מספר שלבים עם סדר ברור.

1. המאורע כולל רק תוצאה אחת (גבר, מעשן) . נחשב את ההסתברות של תוצאה זו על ידי מכפלת ההסברויות במורד העץ ונקבל: $$ P = 0.7 \cdot 0.2 = 0.14 $$
2. המאורע כולל רק תוצאה אחת (אישה, מעשנת) . נחשב את ההסתברות של תוצאה זו על ידי מכפלת ההסברויות במורד העץ ונקבל: $$ P = 0.3 \cdot 0.1 = 0.03 $$ .
3. המאורע כולל שתי תוצאות: (גבר, מעשן) , (אישה,מעשנת) . נחשב את ההסתברות על ידי חיבור של ההסתברות של שתי התוצאות: $$ P = 0.14 + 0.03 = 0.17 $$

על מנת להבין את המשמעות של ההסתברויות בעץ, ננתח את הניסוי בצורה מדוייקת. ראשית נכתוב את מרחב המדגם של הניסוי :

נגדיר את המאורעות הבאים:

כל אחד מהמאורעות מכיל בדיוק שתי תוצאות:

אם נחזור ונסתכל על העץ, קל לראות שההסתברות בשלב הראשון של העץ היא פשוט ההסתברות של המאורעות $A$ ו- $\overline{A}$ , זאת מאחר ונקבל את המאורע A אם ורק אם נבחר בענף השמאלי בהתפצלות הראשונה (ואותו הדבר נכון למאורע המשלים) . בתחתית העץ ההסתברויות הן של כל אחת מהתוצאות הסופיות וקל לראות שכל אחת מהתוצאות הסופיות היא חיתוך של שניים מתוך המאורעות שהגדרנו לעיל. כלומר המבנה הכללי של עץ הסתברות יראה כך:

השאלה היחידה שעוד נותרה היא לגבי ההסתברויות בשלב השני של העץ. קל לטעות ולחשוב שההסתברות שם תהיה $ P(B) $   אך זה כמובן שגוי לחלוטין, כמו שניתן לראות לדוגמא מהעץ הקודם שם ההתסברויות על הענפים בשלב השני היו שונות בין הצד של הגברים לצד של הנשים. אם זו אכן הייתה $ P(B) $   היינו מצפים לראות הסתברויות זהות בשלב השני לעישון עבור הגברים והנשים.
מעבר לכך חישבנו למעלה בסעיף השלישי של הדוגמא כי: $$ P(B) = 0.17 $$ בעוד שההסתברויות בשלב השני של העץ היו שונות גם בצד של הגברים וגם בזה של הנשים.
בשביל להבין את ההסתברות בשלב השני של העץ נגדיר מושג חדש- הסתברות מותנית.

הסתברות מותנית, הגדרה:
בהנתן שני מאורעות A ו- B , ההסתברות המותנית של A ב- B, תסומן בתור $ P(A/B) $ , והיא ההסתברות של התרחשות המאורע A אם נתון שהתרחש המאורע B . ההסתברות המותנית מקיימת: $$ P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

תוך כדי שימוש בהגדרה החדשה העץ שלנו יראה כך:

אמרנו שכאשר אנחנו נמצאים על נקודת התפצלות בשלב השני משמעות הדבר שיש לנו כבר מידע לגבי התוצאה. בעץ שלעיל, כאשר אנחנו נמצאים בנקודה 2 (הנקודה האדומה) אנחנו יודעים שהמאורע $ \overline{A} $   התרחש, כלומר נבחרה אישה. ההסתברות על הענפים היוצאים מנקודה זו היא הסיכוי, שהאדם שנבחר מעשן בהינתן שאנחנו כבר יודעים שהאדם הזה הוא אישה. מאחר ואנחנו יודעים ש-0.1 מהנשים מעשנות הרי שאנחנו יודעים שזהו הסיכוי שהאישה שבחרנו מעשנת.
אותו ההיגיון עובד כמובן על הצד השמאלי של העץ בנקודה מספר 3 (הירוקה) , שם אנחנו יודעים כי האדם שנבחר הוא גבר.

דרך נוחה לחשוב על הסתברות מותנית, היא שברגע שאנחנו יודעים שמאורע מסויים מתרחש, יש לנו ניסוי חדש שמרחב המדגם שלו הוא המאורע. לדוגמא במקרה שלעיל אם ידוע שנבחר גבר, מרחב המדגם שלנו מצטמצם בעצם ל:

ההסתברות למעשן כעת היא רק מתוך קבוצת הגברים, והיא שונה כמובן ממהסתברות למעשן בכלל האוכלוסייה.

אי-תלות

אי תלות בין מאורעות היא מושג שאנחנו משתמשים בו באופן תדיר בחיי היום יום שלנו. בדרך כלל כשאנחנו אומרים שמאורעות בלתי תלויים אנחנו מתכוונים שהעובדה שמאורע אחד התרחש, אינה משנה את הסבירות לכך שמאורע אחר בלתי תלוי יתרחש. בשפה היומיומית אנחנו הרבה פעמים לא עושים הבחנה בין תלות לסיבתיות, שני מונחים שקשורים האחד לשני אך אינם זהים.
בחלק זה נגדיר באופן מדויק אי-תלות, ונדון בקצרה במשמעות של המונח ובהבדל בין תלות וסיבתיות.

הגדרה 1:
שני מאורעות A ו- B אינם תלויים זה בזה אם מתקיים: $$ P(A / B) = P(A) $$

הגדרה 2:
שני מאורעות A ו- B אינם תלויים זה בזה אם מתקיים: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ שתי ההגדרות שקולות לחלוטין, אם כי ההגדרה הראשונה בניגוד לשנייה , מביעה בצורה מדויקת את המשמעות של אי-תלות.
שימו לב שאם שני מאורעות אינן מקיימים את ההגדרה אז נגיד שהם מאורעות תלויים.

הוכחת השקילות (סעיף רשות):
על מנת להוכיח את השקילות של שתי ההגדרות אני אצטרך להראות שאם ההגדרה הראשונה מתקיימת אז השנייה מתקיימת בהכרח ולהפך.
נתונים שני מאורעות A ו- B שהם בלתי תלויים לפי ההגדרה הראשונה. כלומר מתקיים: $$ P(A / B) = P(A) $$ לפי ההגדרה של הסתברות מותנית מתקיים: $$ P(A \cap B ) = P(A / B) \cdot P(B) $$ נשתמש בעובדה שהם בלתי תלויים ואז: $$ P(A \cap B ) = P(A) \cdot P(B) $$ ומכאן שהמאורעות בלתי תלויים לפי גם לפי ההגדרה השנייה.
כעת נוכיח בכיוון ההפוך, נניח שהמאורעות בלתי תלויים לפי ההגדרה השנייה, כלומר מתקיים: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ ומפה אפשר לקבל: $$ P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ לפי הנוסחה של הסתברות מותנית מתקיים: $$ P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$ ומכאן שמתקיים: $$ P(A / B) = P (A) $$ והמאורעות בלתי תלויים לפי ההגדרה הראשונה.

אי-תלות בשאלות

אי-תלות מופיעה בשאלות בכמה אופנים.
לעיתים היא תופיע בתור נתון, כשיגידו לנו במפורש ששני מאורעות בלתי תלויים. במצב כזה פשוט נוכל להסיק שההגדרה מתקיימת ונשתמש בזה בתור עוד נתון. לפעמים האי-תלות אינה מצויינת באופן מפורש. לדוגמא בניסוי בו מטילים מטבע מספר פעמים, התוצאה של ההטלה השנייה אינה תלויה בראשונה אך זה לא מצויין באופן מפורש.
דרך נוספת בה אי-תלות מופיעה לעיתים, היא כשתתבקשו להוכיח אי-תלות בין מאורעות. במצב כזה פשוט תצטרכו להראות שההסתברויות מקיימות את ההגדרה.

סימטריה

אי-תלות בדומה לשיוויון היא יחס סימטרי.
אם אנחנו יודעים ש- a שווה ל- b אז ניתן להסיק ש- b שווה ל- a .
בדיוק באותן האופן אם A אינו תלוי ב- B אז ניתן להסיק כי B אינו תלוי ב- A .
ההגדרה השנייה סימטרית לחלוטין בין A ל-B כך ששם לא יכול להיווצר בלבול. לעומת זאת בהגדרה הראשונה זה לא ברור מיידית שאם $ P(A / B) = P(A) $   אז חייב להקיים $ P(B / A) = P(B) $   . כאשר אומרים לכם בשאלה ששני מאורעות A ו- B בלתי תלויים ניתן להניח ששני השיוויונים שלעיל נכונים. למעשה אפשר להוכיח (נשאיר לכם להוכיח את זה) שאם השוויון הראשון נכון אז גם השני חייב להיות נכון.

אי-תלות של מאורעות משלימים

נניח שאנחנו יודעים שני מאורעות A ו- B בלתי תלויים. האם ניתן להסיק מזה לגבי היחס בין המאורעות המשלימים?
התשובה היא בהחלט כן!
אם ידוע כי A ו-B בלתי תלויים ניתן להסיק כי:

1. המאורעות $ \overline{A} $   ו- B בלתי תלויים.
2. המאורעות $ \overline{B} $   ו- A בלתי תלויים.
3. המאורעות $ \overline{A} $   ו- $ \overline{B} $   בלתי תלויים.

ההוכחה פשוטה למדי ונשאיר לכם לעשות זאת בתור תרגיל.

תלות לעומת סיבתיות (סעיף רשות)

בחינת סיבתיות היא נושא חשוב מאד בניתוח נתונים. כאשר בודקים תרופה לדוגמא, ברצוננו לבדוק את הקשר הסיבתי בין מתן התרופה להחלמה או לתופעות לוואי שונות.
אחת הטעוית הנפוצות שאנשים עושים בניתוח נתונים היא בלבול בין תלות לבין סיבתיות. אם לדוגמא נגדיר את המאורעות הבאים:

המאורעות הללו כמובן יהיו תלויים האחד בשני. אם מישהו התאשפז בביה"ח סביר להניח שההסתברות שהוא נפטר ($ P(B/A) $ )   גבוהה יותר מאשר ההסתברות שמישהו בכלל האוכלוסייה ילך לעולמו ($ P(B) $) , מאחר ורק מצב בריאותי מדורדר מביא לאשפוז . אך מכאן לא ניתן להסיק סיבתיות, כלומר אי אפשר להסיק שהאשפוז בביה"ח גרם למוות. ישנו גורם שלישי, מצב בריאותי גרוע, שגורם לאשפוז ואז לעיתים למוות. הגורם המשותף הזה יוצר את התלות בין שני המאורעות הללו .
נושא הסיבתיות חשוב ומעניין, אך הוא מעבר לרמה של הבגרות, לפיכך נסיים כאן את הדיון. אם ברצונכם להעמיק בנושא אתם מוזמנים לקרוא עוד על סיבתיות .

טבלה דו-מימדית

כלי חשוב לפתרון בעיות בהסתברות היא הטבלה הדו-מימדית. הטבלה נראית כך:

הטבלה מאפשרת לנו לחשב במהירות וביעילות את ההסתברות של המאורעות השונים והחיתוכים שלהם. בכל שורה הסכום של שני האיברים הראשונים שווה לאיבר הימני ביותר , ובכל עמודה הסכום של שני האיברים הראשונים שווה לאיבר בתחתית הטבלה .
אם נסתכל לדוגמא על השורה הראשונה של הטבלה אז מתקיים: $$ P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B}) = P(A) $$ עבור העמודה הראשונה יתקיים: $$ P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(B) $$ ניתן להבין בקלות את הנוסחאות הללו באמצעות דיאגרמת ון:

המלבן החיצוני הוא מרחב המדגם של הניסוי . ניתן לחלק את כל מרחב המדגם לשני חלקים, המאורע A (החלק השמאלי בדיאגרמה) והמאורע המשלים שלו (הצד הימני בדיאגמרה) .
המאורע B מיוצג על ידי המלבן הפנימי, אותו ניתן לחלק לשני חלקים: השמאלי שחופף ל- A והימני שחופף למוארע המשלים. ומכאן שמתקיים: $$ B = (B \cap A) \cup (B \cap \overline{A}) $$ כלומר B הוא איחוד של שני חלקים, האחד הוא החיתוך עם A והשני החיתוך עם המאורע המשלים של A . ההסתברות של B תקיים לפיכך: $$ P(B) = P((B \cap A) \cup (B \cap \overline{A})) $$ נשתמש בנוסחה של הסתברות של איחוד ובעובדה שהמאורעות באיחוד זרים ונקבל: $$ P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A}) $$ וקיבלנו את השוויון מהעמודה הראשונה של הטבלה. ההיגיון עבור כל השורות והעמודות בטבלה זהה. שימו לב שהסכום של העמודה האחרונה והשורה האחרונה הוא 1 מאחר ואנו סוכמים הסתברות של מאורעות משלימים.

בואו נדגים שימוש בטבלה באמצעות השאלה הבאה.

דוגמא:

מתוך הניגשים לבחינת הבגרות במתמטיקה 65% עוברים את הבחינה. מתוך התלמידים שניגשו לבחינה 20% לא נעזרו במורה פרטי. מתוך התלמידים שעברו את הבחינה $ \frac{3}{13} $   לא נעזרו במורה פרטי.

1. אם בוחרים תלמידים באקראי, מהי ההסתברות שהוא עבר את הבחינה ללא עזרה של מורה פרטי?
2. איזה אחוז מתוך הנכשלים נעזרו במורה פרטי?
3. ידוע שדן נעזר במורה פרטי. מהי ההסתברות שדן עבר את הבחינה?

פתרון:

ראשית נזהה את המאורעות הרלוונטיים ונסמן אותם:

כעת נתרגם כל משפט מהשאלה לנתון מספרי. המשפט "מתוך הניגשים לבחינת הבגרות במתמטיקה 65% עוברים את הבחינה." אומר שמתקיים: $$ P(A) = 0.65 $$ המשפט "מתוך התלמידים שניגשו לבחינה 20% לא נעזרו במורה פרטי." אומר שמתקיים: $$ P(\overline{B}) = 0.2 $$ המשפט " מתוך התלמידים שעברו את הבחינה $ \frac{3}{13} $   לא נעזרו במורה פרטי. " אומר שמתקיים: $$ P(\overline{B}/A) = \frac{3}{13} $$ נשתמש בנוסחא של הסתברות מותנה ונקבל: $$ P(\overline{B}/A) = \frac{P(\overline{B} \cap A )}{P(A)} $$ נציב את הנתונים שלנו ונקבל: $$ \frac{3}{13} = \frac{P(\overline{B} \cap A )}{0.65} $$ נפתור את המשוואה ונקבל: $$ P(\overline{B} \cap A) = 0.15 $$ נציב את כל הנתונים שלנו בטבלה ונקבל:

נשתמש בקשרים בין האיברים בטבלה על מנת למלא אותה ונקבל:

כעת כשהשלמנו את הטבלה האתגר היחידי שנשאר לנו הוא להבין מה מבקשים מאיתנו לחשב בכל אחד מהסעיפים.

1. בסעיף הראשון אנחנו מתבקשים לחשב את ההסתברות שמישהו גם עבר את הבחינה וגם לא נעזר במורה פרטי, כלומר אנחנו צריכים לחשב את ההסתברות של החיתוך של שתי המאורעות: $$ P(A \cap \overline{B}) = 0.15 $$
2. כשמדברים על אחוז מתוך קבוצה מסויימת ולא מתוך כלל האוכלוסייה זה תמיד תהיה הסתברות מותנית: $$ P(B/\overline{A}) = \frac{ P( B \cap \overline{A} ) }{P( \overline{A} )} $$ נציב את הנתונים מהטבלה ונקבל: $$ P(B/\overline{A}) = \frac{0.3}{0.35} = \frac{6}{7} $$ ואם נמיר לאחוזים נקבל 85.7% .
3. אם נותנים לנו מידע על התוצאה זו תמיד תהיה הסתברות מותנית. בדרך כלל שימוש בביטויים כמו "ידוע כי..." או "נתון ש..." מעיד על הסתברות מותנית. במקרה זה נותנים לנו את המידע שדן נעזר במורה פרטי, ומבקשים מאיתנו לחשב את ההסתברות שהוא עבר את המבחן. לפיכך נחשב את ההסתברות לעבור את המבחן בהינתן שהתלמיד נעזר במורה פרטי, כלומר: $$ P(A / B) = \frac{A \cap B}{P(B)} $$ נציב את הנתונים מהטבלה: $$ P(A / B) = \frac{0.5}{0.8} = \frac{5}{8} $$

שלבי הפתרון

שימו לב למבנה הכללי של תהליך הפתרון:

1. זיהוי המאורעות השונים וסימונם באותיות
2. מעבר קפדני על השאלה ותרגום הנתונים להסתברויות של המאורעות השונים .
3. שימוש בנתונים על מנת לנסות למלא את הטבלה.
4. מעבר על הסעיפים וזיהוי ההסתברות שמבקשים מאיתנו לחשב.
5. שימוש בנתונים מהטבלה על מנת לחשב את ההסתברוית המתבקשת.

עבודה מסודרת היא קריטית בפתרון בעיות הסתברות. הקפידו עליה.

נקודות חשובות

להלן מספר נקודות חשובות שכדאי שתקחו לתשומת לבכם כשאתם פותרים שאלות מסוג זה:

1. בלבול בין חיתוך להסתברות מותנית-
   אחת הטעויות הנפוצות ביותר שתלמידים עושים היא להתבלבל בין הסתברות של חיתוך להסתברות מותנית. בשני המקרים יזכירו שני מאורעות ולכן קל להתבלבל בין שני המצבים האלו.
   ההבדל הוא שבחיתוך מציינים הסתברות מתוך כלל האוכלוסייה בעוד שבהסתברות מותנית האחוז הוא תמיד מתוך קבוצה מסוימת. לדוגמא, המשפט "30% מהתלמידים עברו את המבחן ונעזרו במורה פרטי" הוא חיתוך, בעוד שמשפט כמו: "30% מהתלמידים שעברו את המבחן נעזרו במורה פרטי " הוא הסתברות מותנית.
   דרך נוספת לזהות הסתברות מותנית היא אם נותנים לך מידע על התוצאה הסופית.
   לדוגמא, אם שואלים אותך: "מהי ההסתברות שתלמיד עבר את המבחן ונעזר במורה פרטי?" יהיה חיתוך מאחר ואין שום מידע על התוצאה. לעומת זאת אם שואלים אתכם: "ידוע שהתלמיד עבר את המבחן, מהי ההסתברות שהוא נעזר במורה פרטי?" , זאת תהיה הסתברות מותנית מאחר ונותנים לנו מידע- התלמיד עבר את המבחן.
2. לא חייבים למלא את הטבלה-
   לא תמיד יש מספיק נתונים למלא את הטבלה. במצבים כאלה תלמידים נוטים לחשוב שהם מפספסים משהו ונתקעים. מה שחשוב להפנים זה שגם אם לא ניתן למלא את הטבלה ייתכן ואתם יכולים לפתור את השאלה עם הנתונים החלקיים שיש לכם.
3. שימוש בנעלמים-
   לעיתים תהיו חייבים להשתמש בנעלמים על מנת לפתור את הבעיה, שימו לב שאתם יכולים להשתמש בטבלה על מנת לבטא את ההסתברויות השונות במונחים של הנעלם.

דוגמא עם נעלמים

במפעל סוסיתא מייצרים מכוניות יוקרה ומכוניות פשוטות. כל מכונית יכולה לבוא עם גיר אוטומטי או ידני. המפעל מייצר פי 6 יותר מכוניות פשוטות מאשר מכוניות יוקרה עם גיר ידני. חצי מהמכוניות עם גיר אוטומטי הן מכוניות יוקרה. אחוז המכוניות עם גיר ידני מתוך מכוניות היוקרה זהה לאחוז מכוניות היוקרה מתוך המכוניות עם גיר ידני.

1. ידוע שדניאל נוסע בסוסיתא יוקרתית, מהי ההסתברות שיש לה גיר אוטומטי?
2. איזה אחוז מבין המכוניות הן יוקרתיות עם גיר אוטומטי?

פתרון:

ראשית נסמן את המאורעות:

נכתוב את הנתונים: $$ P(A) = 6 \cdot P(\overline{A} \cap B) $$ $$ P(\overline{A}/ \overline{B}) = 0.5 $$ $$ P(B / \overline{A}) = P(\overline{A}/B) $$ נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית במשוואה השלישית ונקבל: $$ \frac{P(\overline{A} \cap B )}{P(\overline{A})} = \frac{P(\overline{A} \cap B )}{P(B)} $$ $$ P(\overline{A}) = P(B) $$ נסמן $ P(\overline{A} \cap B) = x $   נציב בטבלה ונקבל:

במשוואה השנייה נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית ונקבל: $$ \frac{ P(\overline{A} \cap \overline{B}) }{ P(\overline{B}) } = \frac{1}{2} $$ נציב לפי הטבלה ונקבל משוואה בנעלם אחד: $$ \frac{1-7x}{6x} = \frac{1}{2} $$ $$ 10 \cdot x = 1 $$ $$ x = 0.1 $$ נציב בטבלה ונקבל:

כעת כל מה שנותר לנו הוא לזהות מהי ההסתברות שמבקשים מאיתנו לחשב בכל סעיף.

1. בשאלה נותנים לנו מידע לגבי התוצאה- ידוע שהמכונית יוקרתית. לפיכך זוהי ההסתברות שיש למכונית גיר אוטוממטי בהינתן שהיא יוקרתית. $$ P( \overline{B} / \overline{A} ) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B} )}{P(\overline{A})} $$ נציב את הנתונים מהטבלה ונקבל: $$ P( \overline{B} / \overline{A} ) = \frac{0.3}{0.4} = \frac{3}{4} $$
2. מאחר ואנחנו מתבקשים למצוא אחוז מתוך כלל המדגם אזי שמדובר בחיתוך ולא בהסתברות מותנית. נסתכל על הטבלה ונראה כי מתקיים: $$ P(\overline{A} \cap \overline{B} ) = 0.3 $$ כלומר מכוניות יוקרתיות עם גיר אוטומטי מהוות 30% מכלל התוצרת של מפעל סוסיתא.

מאורעות משלימים והסתברות מותנית

מאורעות משלימים נשארים משלימים גם כשהם מותנים במאורע אחר. כלומר מתקיים באופן כללי: $$ P(A / B) + P(\overline{A} / B) = 1 $$ שימו לב ששניהם צריכים להיות מותנים באותו המאורע.
נוכיח במהירות את הנוסחא ונדבר על המשמעות שלה והיכן ניתן להשתמש בה.
הוכחה:
נחשב את הערך של הסכום: $$ P(A / B) + P(\overline{A} / B) $$ נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית ונקבל: $$ \frac{P(A \cap B)}{P(B)} + \frac{P(\overline{A} \cap B)}{P(B)} $$ מאחר והמכנה זהה נכניס אותם תחת קו שבר אחד ונקבל: $$ \frac{P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B )}{P(B)} $$ נזכור כי: $$ P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B ) = P(B) $$ ואז הסכום יהיה: $$ \frac{P(B)}{P(B)} = 1 $$ וסיימנו את ההוכחה.
ההגיון מאחורי הנוסחא הזו פשוט מאד, לא משנה מה המידע שיש לנו, התוצאה תמיד חייבת להיות ב- A או ב- $ \overline{A}$   ולכן סכום ההסתברויות שלהם יהיה 1.
כבר השתמשנו בנוסחא הזאת מבלי לשים לב, ואנחנו משתמשים בה באופן קבוע כאשר אנחנו משתמשים בעצים.

בשלב השני של העץ סכום ההסתברויות על שני ענפים היוצאים מאותה נקודה הוא תמיד 1, מאחר ואלה שתי האפשרויות היחידות שישנן, ימינה או שמאלה.