תרגילים בהסתברות

הסתברות בסיסית

תרגיל 1

מטילים מטבע הוגן פעמיים.

  1. מהו הגודל של מרחב המדגם?
  2. מהי ההסתברות שנקבל את אותה התוצאה בשתי ההטלות?
  3. מהי ההסתברות שנקבל פלי בהטלה הראשונה?
  4. מהי ההסתברות שנקבל פלי בהטלה הראשונה ועץ בשנייה?
  5. מהי ההסתברות שנקבל תוצאות שונות בשתי ההטלות?

פתרון:

  1. 4
  2. 1/2
  3. 1/2
  4. 1/4
  5. 1/2

תרגיל 2

מטילים מטבע הוגן 3 פעמים.

  1. כמה תוצאות אפשריות ישנן?
  2. מהי ההסתברות שנקבל את אותה התוצאה בכל ההטלות?
  3. מהי ההסתברות שנקבל פעמיים פלי?
  4. מהי ההסתברות שנקבל יותר פעמים פלי מעץ?
  5. מהי ההסתברות שנקבל פלי לפחות פעם אחת?

פתרון:

  1. 8
  2. 0.25
  3. 3/8
  4. 0.5
  5. 7/8

תרגיל 3

מטילים מטבע n פעמים.

  1. הבע במונחים של n את מספר התוצאות האפשריות?
  2. הבע באמצעות n את ההסתברות שנקבל תוצאה זהה בכל ההטלות?
  3. הבע באמצעות n את ההסתברות שנקבל בדיוק פעם אחת פלי?

פתרון

  1. $ 2^n $
  2. $ \frac{2}{2^n} $
  3. $ \frac{n}{2^n} $

תרגיל 4

מטילים קובייה הוגנת 3 פעמים.

  1. כמה תוצאות אפשריות ייתכנו?
  2. מהי ההסתברות לקבל את אותה התוצאה בכל ההטלות?
  3. מהי ההסתברות לקבל תוצאה זוגית בכל ההטלות?
  4. מהי ההסתברות לקבל תוצאה גבוהה מ-4 בכל ההטלות?

פתרון

  1. 216
  2. 1/36
  3. 1/8
  4. 1/27

תרגיל 5

מטילים קוביה הוגנת פעמיים.

  1. כמה תוצאות אפשריות ישנן?
  2. מהי ההסתברות שסכום התוצאות הוא 7?
  3. חשב את ההסתברות עבור כל סכום אפשרי של תוצאות ומצא איזה ערך הוא הנפוץ ביותר.
  4. השתשמש בחישובים שלך מהסעיף הקודם וחשב את ההסתברות שסכום המספרים גדול מ-4.
  5. החציון של פונקציית הסתברות הוא הערך שההסתברות שהתוצאה תהיה מתחתיו שווה להסתברות שהיא תהיה מעליו. מצא את החציון של פונקציית ההסתברות שמצאתם בסעיף ג'.

פתרון

  1. 36
  2. 1/6
  3. הערך הנפוץ ביותר הוא 7
  4. 5/6
  5. 7

תרגיל 6

מטילים קובייה הוגנת פעמיים.

  1. מהי ההסתברות שהתוצאה הראשונה גדולה מ-4?
  2. מהי ההסתברות שהתוצאה השנייה שווה ל-3?
  3. מהי ההסתברות שהתוצאה הראשונה גדולה מ-4 וגם התוצאה השנייה שווה ל-3.
  4. מהי ההסתברות שהתוצאה הראשונה גדולה מ-4 או שהתוצאה השנייה שווה ל-3?

פתרון

  1. 1/3
  2. 1/6
  3. 1/18
  4. 4/9

עצים

תרגיל 1

בשכבת יב' 55% מהתלמידים הם בנים ו-45% הן בנות. ל-30% מהבנים יש רישיון נהיגה בעוד שרק ל-10% מהבנות יש רישיון נהיגה. בוחרים באקראי תלמיד (בן או בת) .

  1. מהי ההסתברות שנבחרה בת עם רישיון נהיגה?
  2. מהי ההסתברות שנבחר בן עם רישיון נהיגה?
  3. מה ההסתברות שנבחר תלמיד (בן או בת) עם רישיון נהיגה?

פתרון

  1. 0.045
  2. 0.165
  3. 0.21

תרגיל 2

בכד יש כדורים ב-3 צבעים: 3 אדומים, 2 כחולים ו-5 כתומים. שולפים שני כדורים מהכד עם החזרה.

  1. מהי ההסתברות שנקבל את אותו הצבע בשתי השליפות?
  2. מהי ההסתברות שנקבל כדורים בצבעים שונים בשתי השליפות?
  3. חשב את ההסתברות שנשלוף כדור אדום לפחות פעם אחת.
  4. מהי ההסתברות שנשלוף כדור אחד כחול ואחד כתום?

פתרון

  1. 0.38
  2. 0.62
  3. 0.63
  4. 0.2

תרגיל 3

בכד יש כדורים ב-3 צבעים: 3 אדומים, 2 כחולים ו-5 כתומים. שולפים שני כדורים מהכד ללא החזרה.

  1. מהי ההסתברות שנקבל את אותו הצבע בשתי השליפות?
  2. מהי ההסתברות שנקבל כדורים בצבעים שונים בשתי השליפות?
  3. חשב את ההסתברות שנשלוף כדור אדום לפחות פעם אחת.
  4. מהי ההסתברות שנשלוף כדור אחד כחול ואחד כתום?

פתרון

  1. 14/45
  2. 31/45
  3. 8/15
  4. 2/9

תרגיל 4

בכד יש 3 כדורים ירוקים ומספר בלתי ידוע של כדורים כתומים. שולפים שני כדורים מהכד עם החזרה. אם נתון כי ההסתברות לשלוף כדור אחד מכל סוג היא 0.42, כמה כדורים כתומים בכד?

פתרון

7

תרגיל 5

בכד יש 3 כדורים ירוקים ומספר בלתי ידוע של כדורים כתומים. שולפים שני כדורים מהכד ללא החזרה. אם נתון כי ההסתברות לשלוף כדור אחד מכל סוג היא $ \frac{7}{15} $ , כמה כדורים כתומים בכד?

פתרון

7

תרגיל 6

בכד יש 4 כדורים שחורים ו-6 לבנים.
שולפים מהכד שני כדורים לפי הכלל הבא: אם נשלף כדור שחור הוא מוחזר לכד, אם נשלף כדור לבן משאירים אותו בחוץ.

  1. מה הסיכוי לשלוף כדורים בצבע שונה?
  2. מה הסיכוי לשלוף כדורים בצבע זהה?
  3. מה הסיכוי שבסוף הניסוי יהיו בכד אותו מספר של כדורים שחורים ולבנים?

פתרון

  1. 38/75
  2. 37/75
  3. 1/3

טבלה דו-מימדית

תרגיל 1

בכיתה ד' בבית הספר המקיף על שם עוגיפלצת ערכו סקר בקרב התלמידים. מתוך כלל התלמידים 80% שותים חלב, ו-10% אינם שותים חלב ואינם אוכלים עוגיות. מתוך התלמידים שאוכלים עוגיות 6/7 שותים חלב.

  1. מהי ההסתברות שתלמיד שותה חלב ואוכל עוגיות?
  2. ידוע שתלמיד שותה חלב, מה הסיכוי שאינו אוכל עוגיות?
  3. ידוע כי ישנם 400 תלמידים ששותים חלבים, כמה מתוכם אינם אוכלים עוגיות?

פתרון

  1. 0.6
  2. 0.25
  3. 100

תרגיל 2

במאפייה של מוש ישנם שני סוגי מאפים: עוגות ועוגיות. המאפים באים בשני טעמים שונים: שוקולד וקינמון. 70% מכלל המאפים הם בטעם שוקולד. $\frac{4}{7}$   מתוך מאפי השוקולד הם עוגות. 20% מהמאפים הן עוגות קינמון.

  1. איזה אחוז מהוות עוגות שוקולד מכלל המאפים?
  2. בחרתי באקראי בעוגייה, מה הסיכוי שהיא בטעם שוקולד?
  3. אם ידוע כי המאפה בטעם קינמון, מה הסיכוי שמדובר בעוגייה?

פתרון

  1. 40%
  2. 0.75
  3. 1/3

תרגיל 3

בחנות תכשיטים קטנה מוכרים טבעות וצמידים העשויים מזהב או מכסף. ידוע שחצי מהתכשיטים בחנות הן טבעות זהב, ו-30% הן טבעות כסף. מתוך תכשיטי הזהב $ \frac{5}{6} $   הן טבעות.

  1. איזה אחוז מכלל התכשיטים בחנות עשוי מזהב?
  2. אם נבחר באקראי תכשיט מהחנות, מה הסיכוי שזה יהיה צמיד זהב?
  3. איזה אחוז מהצמידים עשוי כסף?

פתרון

  1. 80%
  2. 0.1
  3. 50%

תרגיל 4

בתיכון בקריות ניגשו תלמידים באותו שבוע לבחינה במתמטיקה ובמחשבים. מתוך כלל הניגשים 60% עברו לפחות את אחת הבחינות. מתוך התלמידים שעברו את המבחן 62.5% נכשלו במתמטיקה. מתוך התלמידים שעברו את הבחינה במתמטיקה 3/7 עברו את המבחן במחשבים.

  1. איזה אחוז מהתלמידים נכשלו בשתי הבחינות?
  2. בוחרים באקראי תלמיד, מה הסיכוי שהוא עבר בדיוק בחינה אחת?
  3. בוחרים באקראי תלמיד, מה הסיכוי שנכשל בדיוק בבחינה אחת?
  4. ידוע שדפנה עברה בדיוק בחינה אחת, מה הסיכוי שעברה את הבחינה במתמטיקה?

פתרון

  1. 40%
  2. 0.45
  3. 0.45
  4. 4/9

תרגיל 5

בשוויץ נערך משאל עם בנוגע להעלאת מיסים. נחלק את האוכלוסייה ל-3 קבוצות גיל: צעירים, בוגרים ומבוגרים. ההצעה נדחתה ברוב משמעותי, והיו לה פי 4 יותר מתנגדים מאשר תומכים. חצי מהאוכלוסייה מורכבת מאנשים מבוגרים, וישנם פי 1.5 יותר צעירים מבוגרים. אין תלות בין תמיכה בהצעה לבין גיל צעיר. מתוך כלל האוכלוסייה 4% הם בוגרים שתומכים בהצעה.

  1. חשב איזה אחוז מהאוכלוסייה שייך לכל קבוצת גיל.
  2. מה הייתה תוצאה ההצבעה?
  3. האם יש תלות בין תמיכה בהצעה והגיל של המצביע?
  4. ידוע כי מישהו אינו צעיר, מה הסיכוי שתמך בהחלטה?
  5. האם היה צורך בביצוע חישוב על מנת לפתור את הסעיף הקודם?

פתרון

  1. 30% צעירים, 20% בוגרים ו-50% מבוגרים
  2. 20% תומכים ו-80% מתנגדים.
  3. לא
  4. 0.2
  5. לא, מאחר וידענו שאין תלות.

תרגיל 6

במאפיית "לחם וחמאה" מוכרים עוגות שמרים ועוגות בחושות. חלק מהעוגות חלביות וחלקן פרווה.
ידוע כי 60% מהעוגות הבחושות חלביות, 40% מהעוגות החלביות הן בחושות ו-20% מעוגות הפרווה הן עוגות שמרים.

  1. במאפייה יש 300 עוגות סה"כ, כמה עוגות יש מכל סוג? (שמרים חלביות, שמרים פרווה, בחושות חלביות ובחושות פרווה)
  2. בחרתי עוגה באקראי. ידוע כי העוגה עשוייה שמרים או חלבית, מה הסיכוי שהיא פרווה?
  3. בחרתי עוגה באקראי. ידוע כי העוגה עשוייה שמרים או חלבית, מה הסיכוי שהיא עוגת שמרים חלבית?

פתרון

  1. שמרים חלביות: 135, שמרים פרווה: 15, בחושה חלבית: 90, בחושה פרווה: 60.
  2. 0.0625
  3. 0.5625

התפלגות בינומית

תרגיל 1

צלף יורה למטרה 6 יריות ברצף. ההסתברות של הצלף לפגוע בירייה בודדת היא 0.9. היריות בלתי תלויות אחת בשנייה.

  1. מה הסיכוי שהצלף יפגע בכל היריות שלו?
  2. מה הסיכוי שהצלף יפגע בחצי מהיריות שלו?
  3. מה הסיכוי שהצלף לא יפגע במטרה כלל?

פתרון

  1. 0.53
  2. 0.014
  3. 1/1,000,000

תרגיל 2

בתחרות שירה בערוץ מסחרי כלשהו, הסיכוי של מועמד שירה לעבור את שלב האודישנים הוא 0.05 .
בכל יום נבחנים 8 אנשים.

  1. מה הסיכוי שבדיוק אדם אחד התקבל ביום ראשון?
  2. מה הסיכוי שלכל היותר אדם אחד התקבל ביום ראשון?
  3. מה הסיכוי שלכל הפחות שני אנשים יתקבלו?
  4. אם מגדילים את מספר הנבחנים ביום ל-25, מה הסיכוי ששלושה או חמישה אנשים יתקבלו?

פתרון

  1. 0.28
  2. 0.94
  3. 0.06
  4. 0.1

תרגיל 3

חגית היא רשמת משפטית בבית המשפט. ההסתברות שחגית תטעה בכתיבה של מילה היא 1%. חגית כתבה שני מסמכים, הראשון באורך 100 מילים והשני באורך 50.

  1. מה הסיכוי שהיא לא עשתה אף טעות במסמך הראשון? ובמסמך השני?
  2. מה הסיכוי שהיא לא עשתה אף טעות בשני המסמכים?
  3. מה הסיכוי שעשתה טעות אחת במסמך הראשון ואף טעות במסמך השני? ולהפך, אחת בראשון ואפס בשני?
  4. מה הסיכוי שסך הטעויות שעשתה בשני המסמכים עמד על טעות בודדת?

פתרון

  1. בראשון 0.36 , בשני 0.6 .
  2. 0.216
  3. אפשרות ראשונה: 0.22. אפשרות שנייה: 0.11 .
  4. 0.33

תרגיל 4

במשחק הראשון בסדרת גמר המערב בפלייאוף ה-NBA בין פיניקס סאנס ולוס אנג'לס קליפרס מובילה פיניקס סאנס בשתי נקודות שנייה אחת לסיום. מתבצעת עבירה על שחקן הקליפרס פול ג'ורג' והוא מקבל שלוש זריקות עונשין. ידוע שפול ג'ורג' קולע ב-85% מקו העונשין.
(לכל מי שלא יודע, כל קליעה מקו העונשין מזכה את הקבוצה בנקודה אחת )

  1. מה הסיכוי שפול ג'ורג' יתן לקבוצה שלו את היתרון במשחק?
  2. מה הסיכוי שאחרי הזריקות לפיניקס יהיה את היתרון במשחק?

פתרון

  1. 0.61
  2. 0.06075

תרגיל 5

במפעל לייצור מחשבים 25% מהמחשבים המיוצרים פגומים, כאשר קו הייצור תקין. לעיתים יש תקלה תקלה בקו הייצור שגורמת לייצור של מחשבים פגומים בלבד. על מנת לבדוק אם יש בעיה בקו הייצור, לחברה יש מערכת של בקרת איכות שבודקת מדגם מתוך המחשבים וקובעת לפי התוצאה אם יש תקלה בקו הייצור.

  1. נניח שלקחו שלושה מחשבים לבדיקה. האם יש תוצאה שתאפשר לקבוע בוודאות שקו הייצור תקין? האם יש תוצאה שתאפשר לקבוע בוודאות שהוא תקול?
  2. מנהל בקרת האיכות החליט שיש לקחת שלושה מחשבים לבדיקה ואם כולם פגומים יש לקבוע שהקו פגום.
    אם הקו בעצם תקין, מהי ההסתברות שיוחלט בטעות שהוא פגום?
  3. אם ברצוננו שההסתברות לטעות במידה וקו הייצור תקין, תהיה נמוכה מ-0.001, מה צריך להיות גודל המדגם?

פתרון

  1. ניתן לקבוע שהקו אינו תקול אם נקבל תוצאה בה לא כל המחשבים פגומים. לעומת זאת, לעולם לא נוכל לקבוע בוודאות שהקו תקול, מאחר וגם אם כל המחשבים שנבדוק פגומים זוהי תוצאה אפשרית גם אם הקו תקין.
  2. 1/64
  3. 5

תרגיל 6

בבר בתל-אביב נערך טורניר זריקת חצים למטרה. כל מתמודד זורק למטרה חצים ברצף עד שהוא מפספס ואז מסתיים תורו. כל פגיעה מזכה את המתמודד בנקודה אחת.

  1. לדניאל יש סיכוי של 80% לפגוע בזריקה בודדת. מה הסיכוי שישיג 6 נקודות?
  2. אם משנים את החוקים כך שתורו של מתמודד מסתיים רק כאשר הוא מחטיא פעמיים, מה הסיכוי שדניאל ישיג 6 נקודות?
  3. אם מאפשרים למתמודד x , מהי ההסתברות של מתמודד בעל הסתברות P לפגוע בירייה בודדת להשיג s נקודות? (במונחים של p ו-s)

פתרון

  1. 0.052
  2. 0.073
  3. $ P(s, x) = {{s+x-1}\choose{s}} \cdot p^s \cdot (1-p)^x $

תרגילים מעורבים

תרגיל 1

באגם קטן בארץ רחוקה שוחים שלושה סוגי דגים: סלמון, טונה ובורי. כל בוקר קם דיג ויוצא את ביתו לעבר האגם. הדיג דג עד שהוא תופס שני דגים. ידוע שההסתברות שיתפוס פעמיים טונה גדולה פי ארבע מהסיכוי שיתפוס פעמיים בורי. ההסתברות שיתפוס את אותו הדג פעמיים שווה ל-0.36. כמו כן ידוע שאחוז דגי הטונה באגם קטן מ-45%.

  1. מהו הרכב הדגים באגם?
  2. מה הסיכוי שיתפוס ביום נתון שני דגים שונים?
  3. ידוע שביום נתון הדיג תפס פעמיים את אותו המדגם, מה הסיכוי שזה טונה?
  4. מה הסיכוי שבמשך שבוע רק פעם אחת תפס הדיג שני דגים מאותו סוג?

פתרון

  1. טונה: 40%, בורי: 20%, סלמון: 40%.
  2. 4/9
  3. 0.16
  4. 0.03

תרגיל 2

בכד יש סה"כ 10 כדורים חלקם אדומים ורובם כחולים.
שולפים ללא החזרה שני כדורים. בכל שליפה, אם יוצא כדור אדום מחזירים אותו לכד, ואם יוצא כדור כחול משאירים אותו בחוץ. ידוע כי ההסתברות שישלפו שני כדורים בצבעים שונים היא 133/300.

  1. כמה כדורים כחולים יש בכד?
  2. מה ההסתברות שיצא לפחות כדור כחול אחד?
  3. ידוע שיצא לפחות כדור כחול אחד, מה הסיכוי שהכדור השני היה כחול?

פתרון

  1. 7
  2. 0.91
  3. 29/39

תרגיל 3

בכד מכושף יש 5 כדורים אדומים ו-7 כחולים. שולפים מהכד כדור ללא החזרה. כל פעם שנשלף כדור כחול ישנה הסתברות של 50% שהכד המכושף יעלים כדור נוסף. אם הכד מעלים כדור נוסף ההסתברות לכל צבע היא לפי מספר הכדורים מכל סוג. שולפים מהכד כדור אחד.

  1. מה הסיכוי שלאחר הניסוי ישארו בכד 5 כדורים אדומים?
  2. ידוע כי בסוף הניסוי ישנם 11 כדורים בכד, מה הסיכוי ש-5 מתוכם אדומים?
  3. ידוע כי בסוף הניסוי היו פחות מ-7 כדורים כחולים בכד, מה הסיכוי שבכד נשארו בדיוק 5 כדורים אדומים?

פתרון

  1. 119/264
  2. 7/17
  3. 17/22

תרגיל 4

בדיקה לגילוי מחלה מסוימת נותנת תשובה נכונה בהסתברות של 90% אם האדם באמת חולה, ותשובה נכונה ב-95% אם האדם אינו חולה.

  1. הלכתי להיבדק וקיבלתי תוצאה חיובית, האם ניתן לחשב את הסיכוי שאני באמת חולה?
  2. אם המחלה נדירה, כך שרק 1% מהאוכלוסייה סובל ממנה, מה הסיכוי שאני חולה אם קיבלתי תוצאה חיובית?
  3. אם המחלה נדירה, כך שרק 1% מהאוכלוסייה סובל ממנה, מה הסיכוי שאני חולה אם קיבלתי תוצאה שלילית?
  4. מה הסיכוי שתוצאת הבדיקה תחזיר תשובה שגוייה?
  5. בודקים אדם שלוש פעמים. מה הסיכוי שנקבל שחלק מהבדיקות תהיינה חיוביות וחלק שליליות?

פתרון

  1. לא, מאחר ואין לנו את אחוז החולים באוכלוסיה
  2. 19/217
  3. 1/1783
  4. 0.0995
  5. 0.27

תרגיל 5

בכד אחד ישנם 3 כדורים אדומים ו-9 כחולים.
בכד שני ישנם 7 כדורים אדומים ו-3 כחולים.

  1. מטילים מטבע, אם יוצא פלי שולפים כדור מהכד הראשון, אחרת שולפים כדור מהכד השני. מה הסיכוי לשלוף כדור כחול?
  2. שולפים שני כדורים מהכד הראשון. בכל שליפה, אם הכדור כחול מעבירים אותו לכד השני, ואם הוא אדום מחזירים אותו לכד הראשון. בסוף שולפים כדור מהכד השני. מה הסיכוי שהכדור שנשלוף מהכד השני יהיה כחול?
  3. בהמשך לסעיף 2, אם ידוע כי נשלף כדור כחול, מה הסיכוי שמהכד הראשון נשלפו שני כדורים כחולים?

פתרון

  1. 0.525
  2. 0.39
  3. 0.58

תרגיל 6

בשעשועון יש 15 שאלות טריוויה שמי שעונה על כולן זוכה במיליון שקלים. לשעשועון הגיע מתחרה מבריק שהסיכוי שיענה על שאלת טריוויה מסויימת היא 95%.

  1. מה הסיכוי שיזכה במיליון השקלים אם אסור לטעות אפילו פעם אחת בשביל לזכות?
  2. נניח שמותר לטעות 3 פעמים ועדיין לזכות בפרס הגדול. מה הסיכוי שיזכה עכשיו?
  3. נניח שהשעשועון מחולק ל-3 חלקים כשבכל אחד מהם 5 שאלות. בשביל לנצח המתמודד צריך לנצח בכל אחד מהשלבים. בכל שלב יכול המתמודד לעשות טעות אחת ועדיין לנצח. מה הסיכוי שהמתמודד יזכה כעת?

פתרון

  1. 0.46
  2. 0.98
  3. 0.91

תרגיל 7

בבית ספר המקיף ד בבאר שבע 5% מהתלמידים הם מצטיינים. מתוך התלמידים שעושים 5 יחידות במתמטיקה 60% אינם מצטיינים.

  1. משה עושה חמש יחידות במתמטיקה, מה הסיכוי שהוא מצטיין?
  2. נתון כי מתוך כלל התלמידים 11% הם מצטיינים או עושים חמש יחידות במתמטיקה. איזה אחוז מהתלמידים ניגשים לחמש יחידות במתמטיקה?
  3. ברצוננו לבחור תלמיד שהוא גם מצטיין וגם עושה חמש יחידות מתמטיקה. לפנינו שלוש דרכי פעולה:
    • לבחור באקראי תלמיד מרשימת המצטיינים
    • לבחור באקראי תלמיד מכיתה של 5 יחידות מתמטיקה
    • לבחור באקראי תלמיד מבית הספר
    באיזו דרך הסיכוי שלנו יהיה הגבוה ביותר?
  4. בוחרים באקראי 3 תלמידים מרשימת המצטיינים. מה הסיכוי שלפחות אחד מהם יהיה גם בחמש יחידות מתמטיקה?

פתרון

  1. 0.4
  2. 0.1
  3. לבחור מבין המצטיינים
  4. 0.992