הסתברות- היסודות

מבוא לתורת הקבוצות

קבוצה, הגדרה: קבוצה היא אוסף של אובייקטים.

הגדרה עמומה זאת איתה נולדה תורת הקבוצות מובילה לפרדוקסים , ונדרש מאמץ רב מצדם של מתמטיקאים לתת הגדרה שתעמיד את תורת הקבוצות על בסיס יציב. לשמחתנו הגדרה פשוטה ואינטואיטיבית זאת מספיקה בהחלט לצרכינו.

נתאר קבוצה באמצעות סוגריים מסולסלים { } ביניהם נכתוב את איברי הקבוצה מופרדים זה מזה בפסיק. לדוגמא: {דן, מיכאל, יעל} היא קבוצה המכילה שלוש שמות.
נוהג לסמן קבוצות באותיות גדולות באנגלית, לדוגמא: $$ A = \{1,2,3\} $$ נמשיך להגדרת השיוויון בין קבוצות.

שיוויון בין קבוצות, הגדרה: שתי קבוצות A ו- B שוות זו לזו אם ורק אם כל איבר מ- A נמצא ב- B , וכל איבר מ- B נמצא ב- A .

דוגמא 1

נתונות שתי סדרות: $$ A = \{1, 2, 3\} $$ $$ B = \{3, 2, 1\} $$ האם הסדרות שוות זו לזו?

פתרון

נבדוק האם מתקיים שיוויון בין הקבוצות לפי ההגדרה שלעיל. לשם כך נבדוק עבור כל איבר ב- A האם הוא נמצא ב- B, ולאחר מכן נעשה אותו הדבר עם הקבוצה B.
קל לראות שכל אחד מהאיברים ב- A נמצאים גם ב- B .
באותו אופן אם נבחן את האיברים ב- B קל לראות שהם נמצאים ב- A .
לפיכך לפי ההגדרה שתי הקבוצות שוות זו לזו, כלומר: $ A = B $

מסקנה:

סדר ההופעה של האיברים בקבוצה חסר חשיבות, אלא רק האיברים הנמצאים בקבוצה. לפיכך, כל הקבוצות שלהלן שוות: $$ \{1,2,3\} = \{1,3,2\} = \{2,1,3\} = \{2,3,1\} = \{3,2,3\}... $$

דוגמא 2

נתונות שתי הקבוצות: $$ A = \{ 1,2,3 \} $$ $$ B = \{ 1,2,3,3 \} $$ האם הקבוצות שוות זו לזו?

פתרון:

כן, שתי הקבוצות שוות זו לזו. כל אחד מהאיברים ב- A נמצאים גם ב- B ולהפך .

מסקנה:

אין חשיבות למספר ההופעות של איבר בקבוצה.

קבוצה ריקה, הגדרה:

קיימת קבוצה מיוחדת המכונה הקבוצה הריקה שאינה מכילה אף איבר ושמסומנת בתור: $ \emptyset $

הגדרה חשובה נוספת היא זו של תת הקבוצה.
תת קבוצה, הגדרה: קבוצה B היא תת קבוצה של A אם ורק אם כל איבר ב- B נמצא גם ב- A .

דוגמא:

נתונה הקבוצה: $$ A = \{1,2,3,4\} $$ קבע עבור כל אחת מהקבוצות הבאות האם הן תת קבוצה של A.

1. $ B = \{1,2,7\} $
2. $ C = \{1,2,3,4,5,6,7\} $
3. $ D = \{1\} $
4. $ E = \{2,3\} $

פתרון:

1. לא מאחר והיא מכילה את 7 שאינו נכלל בקבוצה המקורית
2. לא, מאחר והיא מכילה מספר איברים כמו 5 שאינם נמצאים בקבוצה המקורית
3. כן, מאחר וכל האיברים שלה (האיבר היחיד שלה ליתר דיוק) נמצא בקבוצה המקורית
4. כן, מאחר וכל האיברים שלה נמצאים בקבוצה המקורית

פעולות בין קבוצות

בדיוק כפי שקיימות פעולות בין מספרים כמו חיבור וחיסור, כך קיימות פעולות בין קבוצות. בקורס זה נעסוק בשתי פעולות חשובות בין קבוצות: חיתוך ואיחוד.

חיתוך בין קבוצות, הגדרה: חיתוך קבוצות היא פעולה בין שתי קבוצות A ו- B , שהתוצאה שלה היא קבוצה חדשה C . נסמן את פעולת החיתוך באופן הבא: $$ C = A \cap B $$ הקבוצה החדשה C מכילה רק את האיברים שנמצאים גם ב- A וגם ב- B .

דוגמא:

נתונות שתי קבוצות: $$ A = \{1, 2, 3, 4 \} $$ $$ B = \{ 3, 4, 5, 6 \} $$ מצא את החיתוך בין הקבוצות.

פתרון:

קבוצת החיתוך תכיל רק איברים שנמצאים בשתי הקבוצות. דרך פשוטה לעשות זאת, היא פשוט לקחת את אחת הקבוצות, ועבור כל אחד מהאיברים שלה לבדוק האם הוא נמצא גם בקבוצה השנייה. אם כן אז האיבר נמצא בקבוצת החיתוך ואחרת לא.
לפיכך: $$ C = A \cap B = \{3, 4\} $$

איחוד בין קבוצות, הגדרה: איחוד קבוצות היא פעולה בין שתי קבוצות A ו- B , שהתוצאה שלה היא קבוצה חדשה C . נסמן את פעולת האיחוד באופן הבא: $$ C = A \cup B $$ הקבוצה החדשה C מכילה את האיברים שנמצאים ב- A או ב- B .

דוגמא:

נתונות שתי קבוצות: $$ A = \{1, 2, 3, 4 \} $$ $$ B = \{ 3, 4, 5, 6 \} $$ מצא את האיחוד בין הקבוצות.

פתרון:

כל איבר שנמצא ב- A יהיה גם באיחוד וכל איבר שנמצא ב- B נמצא באיחוד. לפיכך, בשביל למצוא את קבוצת האיחוד כל שיש לעשות זה לעבור על האיברים בשתי הקבוצות ולהכניס כל אחד מהם לקבוצת האיחוד (שימו לב שאין טעם לחזור על אותו איבר פעמיים): $$ C = A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $$

דיאגרמת ון

דיאגרמת ון היא כלי גרפי לתיאור קבוצות, שיכול לעזור לנו לדמיין ביתר קלות את התוצאה של פעולות שונות בין הקבוצות והיחסים בין הקבוצות השונות.

כל אליפסה מתארת קבוצה . אזור החפיפה בין הקבוצות הוא בדיוק החיתוך שלהן, שכן הוא כולל בדיוק את האיברים שנמצאים גם ב- A וגם ב- B . לעומת זאת קבוצת האיחוד תהיה מורכבת בדיאגרמה זו מכל האיזור עם הצבוע, גם הורוד וגם התכלת שכן האיחוד כולל כל איבר מ- A כמו גם מ- B .

דוגמא:

נתונות הקבוצות הבאות: $$ A = \{1,2,3,4,5,6\} $$ $$ B = \{3,4,5\} $$ תאר את הקבוצות בדיאגרמת ון, ומצא את האיחוד והחיתוך ביניהן.

פתרון

נתחיל עם החיתוך: $$ C = A \cap B = \{3,4,5\} $$ שימו לב כי מתקיים: $$ C = B $$ נחשב את האיחוד בין הקבוצות: $$ C = A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\} $$ שימו לב כי מתקיים: $$ C = A $$

זוהי סיטואציה בה קבוצה אחת , A , מכילה לחלוטין את הקבוצה השנייה B . במצב כזה החיתוך יהיה הקבוצה הקטנה מאחר וכל השטח שלה חופף עם הקבוצה הגדולה המכילה אותה. לעומת זאת קבוצת האיחוד תהיה שווה לקבוצה הגדולה מאחר והיא כבר מכילה את כל האיברים של הקבוצה הקטנה, ולכן הקבוצה הקטנה לא תוסיף לאיחוד אף איבר נוסף.

דוגמא:

נתונות שתי קבוצות: $$ A = \{1,2,3\} $$ $$ B = \{4,5,6\} $$ תאר את הקבוצות בדיאגרמת ון וחשב את האיחוד והחיתוך ביניהן.

פתרון:

קבוצת החיתוך תהיה: $$ C = A \cup B = \emptyset $$ מאחר ואין אף איבר משותף קבוצת החיתוך לא תכיל אף איבר, כלומר היא תהיה הקבוצה הריקה.
נמצא את האיחוד: $$ D = \{1,2,3,4,5,6\} $$

קבוצות כאלה שאין להן אף איבר משותף מכונות קבוצות זרות.

מושגים יסודיים בהסתברות

מרחב המדגם, הגדרה: מרחב המדגם היא קבוצת כל התוצאות האפשריות בניסוי. נהוג לסמן את מרחב המדגם באות היוונית אומגה: $ \Omega $ .

דוגמא:

מטילים מטבע פעם אחת, מהו מרחב המדגם של הניסוי?

פתרון:

בהטלת מטבע פעם יחידה ישנן שתי תוצאות אפשריות: עץ או פלי.
לפיכך מרחב המדגם יהיה: $$ \Omega = \{tails, heads\} $$

דוגמא:

מטילים קובייה פעם אחת, מהו מרחב המדגם של הניסוי?

פתרון:

בהטלת קוביה ישנן שש תוצאות אפשריות ומרחב המדגם יהיה: $$ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} $$

מאורע, הגדרה: כל תת קבוצה של מרחב המדגם מכונה מאורע.
אנחנו נגיד שמאורע התרחש אם התוצאה של הניסוי נמצאת במאורע.
נניח לדוגמא שאנחנו מטילים קובייה. מרחב המדגם כמו שאנחנו כבר יודעים הינו: $$ \Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$$ נגדיר את המאורע הבא: $ E = \{1,2\}$ .
שימו לב שזהו מאורע מאחר ו- E היא תת קבוצה של מרחב המדגם.
אנחנו מטילים את הקובייה ובוחנים את התוצאה, אם קיבלנו תוצאה הנמצאת במאורע, כלומר 1 או 2 אז נגיד שהמאורע E התרחש ואחרת נאמר שהוא לא התרחש.
מאורע הוא מונח חשוב מאד בהסתברות, משום שכל המטרה שלנו תהיה לחשב את ההסתברות של מאורעות שונים להתרחש.

דוגמא:

הטלתי קובייה פעם אחת, וקיבלתי בהטלה את המספר שלוש. קבע עבור כל אחד מהמאורעות הבאים האם הוא התרחש או לא:

1. $ A = \{1,2,4\} $
2. $ B = \{2,3,5\} $
3. $ C = \{3\} $
4. $D = \{1,2,4,5\}$

פתרון:

נענה לפי הסדר:

1. לא, מאחר ותוצאת הניסוי לא נמצאת במאורע
2. כן, מאחר ותוצאת הניסוי נמצאת במאורע
3. כן, מאחר ותוצאת הניסוי נמצאת במאורע
4. לא, מאחר ותוצאת הניסוי לא נמצאת במאורע

מאורע משלים, הגדרה: בהינתן מרחב מדגם $ \Omega $   ומאורע A , המאורע המשלים אותו נסמן בתור $ \bar{A} $ , הוא המאורע המכיל את כל התוצאות הנמצאות במרחב המדגם אך לא ב- A .

שימו לב שמאורעות משלימים תמיד יקיימו: $$ A \cup \bar{A} = \Omega $$ הסיבה לכך מאד פשוטה, לא משנה מהם האיברים שמכיל המאורע A המאורע המשלים תמיד יכיל את שאר האיברים ממרחב המדגם ולכן כשמאחדים את שתי הקבוצות נקבל את מרחב המדגם כולו.

דוגמא:

נתון ניסוי שמרחב המדגם שלו הינו: $$ \Omega = \{1,2,3,4\} $$ מצא עבור כל אחד מהמאורעות הבאים את המאורע המשלים.

1. $ A = \{1,2\} $
2. $ B = \{3,4\} $
3. $ C = \emptyset $
4. $ D = \{1,2,3,4\} $

פתרון:

1. $ \bar{A} = \{3,4\} $
2. $ \bar{B} = \{1,2\} $
3. $ \bar{C} = \{1,2,3,4\} $
4. $ \bar{D} = \emptyset $

פונקציית הסתברות, הגדרה: בהינתן ניסוי בעל מרחב מדגם $ \Omega $   פונקציית ההסתברות, P , מתאימה לכל מאורע A מספר בין 0 ל-1 שהוא ההסתברות להתרחשות המאורע . פונקציית ההסתברות חייבת לקיים את התנאים הבאים:

1. $ P(\Omega) = 1 $
2. $ P(\emptyset) = 0 $
3. לכל מאורע A מתקיים: $ P(A) \geq 0 $
4. לכל שני מאורעות מתקיים: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$

ציינו מספר תנאים שפונקציית הסתברות חייבת לקיים אך הגדרה זו אינה מסבירה מהי המשמעות של המונח הסתברות.
נתון ניסוי בעל מרחב מדגם $\Omega$   , אנחנו חוזרים על הניסוי וסופרים את מספר הפעמים שמאורע מסויים A התרחש. נגדיר את התדירות בה מתרחש המאורע A באופן הבא: $$ \omega_A = \frac{N_A}{N} $$ כאשר $ N $   הוא מספר הפעמים בהם אנחנו חוזרים על הניסוי, ו- $ N_A $   הוא מספר הפעמים שהמאורע A התרחש. ההסתברות של המאורע A היא הערך אליו תשאף התדירות של המאורע ככל שנגדיל את מספר הפעמים בהן אנחנו חוזרים על הניסוי.
באופן מתמטי נכתוב: $$\lim\limits_{N \to \infty} \frac{N_A}{N} = P(A) $$

בהתחשב בכך שהסתברות היא למעשה תדירות ההתרחשות של מאורע, התנאים על פונקציית ההסתברות טבעיים ואינטואיטיביים למדי.
הדרישה הראשונה היא שההסתברות של מרחב המדגם כולו תהיה 1. במילים אחרות אנחנו דורשים שתוצאת הניסוי תמיד תהיה במרחב המדגם. מאחר ומרחב המדגם מוגדר כאוסף כל התוצאות האפשריות של הניסוי, הדרישה הגיונית לחלוטין.
התנאי השני הוא שההסתברות של הקבוצה הריקה תהיה אפס. מאחר והקבוצה הריקה לא מכילה אף תוצאה הרי שהמאורע של הקבוצה הריקה לעולם לא יתרחש, ולכן ההסתברות שלו חייבת להתאפס.
מאחר וההתסתברות מייצגת תדירות התרחשות של מאורע היא כמובן לא יכולה להיות שלילית, וזוהי הדרישה השלישית.
הדרישה הרביעית והאחרונה היא הקשה ביותר להבנה אך דיאגרמת ון יכולה לבאר אותה.

הסתברות המאורע המשלים

אחת הנוסחאות החשובות ביותר שנפגוש היא הנוסחה לחישוב ההסתברות של מאורע משלים. ניתן את הנוסחא, נוכיח אותה באמצעות הכללים שהנחנו שפונקציית ההסתברות חייבת לקיים ולבסוף נדגים את השימוש בה.

הנוסחא נראית כך: $$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$ הוכחה: פונקציית ההסתברות חייבת לקיים: $$ P(\Omega) = 1 $$ מאחר ואיחוד מאורעות משלימים שווה למרחב המדגם אזי ש: $$ P(A \cup \bar{A}) = 1 $$ נשתמש בנוסחא של איחוד מאורעות ונקבל: $$ P(A) + P(\bar{A}) - P(A \cap \bar{A}) = 1 $$ לפי הגדרה מאורעות משלימים מהווים קבוצות זרות, כלומר החיתוך שלהן הוא הקבוצה הריקה ולכן: $$ P(A) + P(\bar{A}) - P(\emptyset) = 1 $$ הסתברות הקבוצה הריקה היא אפס ולכן: $$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$ והוכחנו את הנוסחא.

דוגמא:

בניסוי מקרי ידוע כי ההסתברות של המאורע A גדולה פי שלוש מזו של המאורע המשלים $ \bar{A} $   חשב את ההסתברות של A .

פתרון:

לפי הנוסחא: $$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$ ידוע היחס בין ההסתברויות ולכן: $$ 3 \cdot P(\bar{A}) + P(\bar{A}) = 1 $$ $$ 4 \cdot P(\bar{A}) = 1 $$ $$ P(\bar{A}) = \frac{1}{4} $$ נציב חזרה בנוסחא $$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$ $$ P(A) + \frac{1}{4} = 1 $$ $$ P(A) = \frac{3}{4} $$

דוגמא:

בקופסא יש כדורים שחורים ולבנים. ידוע כי ההסתברות לשלוף כדור שחור גדולה פי 1.5 מההסתברות לשלוף כדור לבן. חשב את ההסתברות לשלוף כל אחד מהצבעים.

פתרון:

נסמן את המאורע של שליפת כדור שחור בתור A .
מאחר ובקופסא ישנם רק כדורים שחורים ולבנים אזי שהמאורעות של שליפת כדור לבן ושחור הם מאורעות משלימים ומכאן שנוכל לסמן את המאורע של שליפת כדור לבן בתור $ \bar{A} $   .
לפי הנתון בשאלה מתקיים: $$ P(A) = \frac{3}{2} \cdot P(\bar{A}) $$ נשתמש בנוסחא של הסתברות מאורעות משלימים ונקבל: $$ P(A) + P(\bar{A}) = 1 $$ $$ \frac{3}{2} \cdot P(\bar{A}) + P(\bar{A}) = 1 $$ $$ P(\bar{A}) = \frac{2}{5} $$ נציב באחת המשוואת ונקבל: $$ P(A) = \frac{3}{5} $$