ניסויים פשוטים

ניסויים עם התפלגות אחידה

ניסוי עם התפלגות אחידה, הגדרה: ניסוי בו לכל תוצאה אפשרית יש את אותה ההסתברות.

ההסתברות של תוצאה בניסוי עם התפלגות אחידה נתונה בנוסחה: $$ P = \frac{1}{N}$$ כאשר N הוא מספר התוצאות האפשריות בניסוי.
הוכחה:
נתון ניסוי בעל התפלגות אחידה עם מרחב מדגם $ \Omega $   המכיל N תוצאות אפשריות .
ידוע כי תמיד מתקיים: $$ P(\Omega) = 1 $$ מרחב המדגם הוא האיחוד של כל התוצאות האפשריות ולכן: $$ P(\{1\} \cup \{2\} ... \cup \{N\}) = 1 $$ סימנו את התוצאות האפשריות במספרים מ-1 עד N , אך כמובן שהתוצאות עצמן יכולות להיות בעלות כל ערך. הדבר היחידי שחשוב שיש N תוצאות אפשריות.
ההסתברות של איחוד מאורעות נתונה בנוסחא: $$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $$ שימו לב שבמקרה שלנו החיתוך הוא תמיד הקבוצה הריקה מאחר והמאורעות זרים.
נשתמש בנוסחא ונקבל: $$ P(\{1\}) + P(\{2\}) + ... + P(\{N\}) = 1 $$ מאחר ומדובר בניסוי בעל הסתברות אחידה, אזי שההסתברות של כל תוצאה זהה, כלומר: $$ P(\{1\}) = P(\{2\}) = ... = P(\{N\}) = P $$ נציב P במקום כל ההסתברויות ונקבל: $$ P + P + ... + P = 1 $$ $$ N \cdot P = 1 $$ $$ P = \frac{1}{N} $$ וסיימנו את ההוכחה.

ראינו מהי ההסתברות של כל תוצאה בניסוי אך כיצד נחשב הסתברות של מאורע המכיל יותר מאפשרות אחת?
אם נתון ניסוי בעל N תוצאות אפשריות, אז ההסתברות של מאורע A המכיל n תוצאות, תהיה נתונה בנוסחה: $$ P(A) = \frac{n}{N} $$

הוכחה:
נתון ניסוי עם התפלגות אחידה, בעל מרחב מדגם בגודל N. נניח כי ברצוננו לחשב את ההסתברות של מאורע A המכיל n תוצאות אפשריות.
אם נכתוב את A בתור איחוד של כל האיברים שהוא מכיל נקבל: $$ P(A) = P(\{1\} \cup \{2\} ... \cup \{n\}) $$ כאשר המספרים 1,2,3,...,n מייצגים את האיברים של A . שימו לב שאין כל חשיבות לאופי האיברים של הקבוצה A אלא רק לכך שיש בדיוק n איברים.
נשתמש בנוסחא לחישוב הסתברות של איחוד ונקבל: $$ P(A) = P(\{1\}) + P(\{2\}) + ... P(\{n\}) $$ מאחר ומדובר בניסוי בעל התפלגות אחידה אז ההסתברות של כל התוצאות היא זהה, כלומר: $$ P(\{1\}) = P(\{2\}) = ... = P(\{n\}) = P $$ נציב ונקבל: $$ P(A) = n \cdot P $$ כבר הוכחנו שההתסברות של כל תוצאה תהיה: $$ P = \frac{1}{N} $$ נציב, ונקבל את התוצאה הסופית: $$ P(A) = \frac{n}{N} $$

דוגמא:

מטילים קובייה הוגנת פעם יחידה.
חשב את ההסתברות של כל אחד מהמאורעות הבאים:

1. $ A = \{1\} $
2. $ B = \{5\} $
3. $ C = \{1,2\} $
4. $ D = \{1,3,5\} $
5. $ F = \{1,2,3,4,5,6\} $

פתרון:

1. במרחב המדגם יש 6 תוצאות בעוד שבמאורע יש רק תוצאה אחת ולכן: $$ P(A) = \frac{1}{6} $$
2. בדיוק כמו בסעיף הקודם: $$ P(B) = \frac{1}{6} $$
3. המאורע מכיל 2 תוצאות ולכן: $$ P(C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
4. המאורע מכיל 3 תוצאות ולכן: $$ P(D) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
5. המאורע מכיל 6 תוצאות ולכן: $$ P(E) = \frac{6}{6} = 1 $$

תיאור מילולי של מאורעות

במרבית המקרים כשיבקשו מכם לחשב הסתברות של מאורע, יתארו אותו באופן מילולי ולא באופן ישיר על ידי קבוצה. לפיכך, חשוב להבין כיצד לפרש תיאורים מילוליים כאלה, וכמו שתראו בהמשך התרגום של התיאור המילולי למונחים הסתברותיים יהיה חלק משמעותי בקושי של פתרון תרגילים בהסתברות.

דוגמא:

מטילים קובייה הוגנת, מהי ההסתברות שנקבל תוצאה זוגית?

פתרון:

ראשית עלינו להבין מהו המאורע. דרך נוחה לעשות זאת, היא לעבור על התוצאות במרחב המדגם ולשאול את עצמנו, אם זו התוצאה של הניסוי האם המאורע המתואר התרחש? אם כן היא נמצאת במאורע ואם לא אז היא איננה.
במקרה הזה פשוט מאד לראות שהמארוע פשוט יהיה: $$ A = \{2,4,6\} $$ מרחב המדגם בגודל 6 והמאורע בגודל 3 ולכן ההסתברות הינה: $$ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

דוגמא:

מטילים קובייה הוגנת. חשב את ההסתברות שנקבל תוצאה שמתחלקת ב-3.

פתרון:

ראשית נמצא את המאורע.
התוצאות היחידות המתחלקות ב-3 הן כמובן 3 ו-6 . לפיכך המאורע הינו: $$ A = \{3,6\} $$ מרחב המדגם בגודל 6 והמאורע בגודל 2 ולכן ההסתברות: $$ P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

דוגמא:

מטילים קוביה הוגנת, מהי ההסתברות שנקבל מספר הגדול מארבע או שמתחלק ב-3?

פתרון:

נעבור על כל איבר במרחב המדגם ונשאל את עצמנו האם הוא עונה על הקריטריון המתואר בשאלה.

• המספר 1 אינו מתחלק בשלוש ואינו גדול מארבע ולכן לא יכלל במאורע
• המספר 2 אינו מתחלק בשלוש ואינו גדול מארבע ולכן לא יכלל במאורע
• המספר 3 מתחלק בשלוש ולכן יכלל במאורע
• המספר 4 אינו מתחלק בשלוש ואינו גדול מארבע ולכן לא יכלל במאורע
• המספר חמש גדול מארבע ולכן יכלל במאורע
• המספר 6 מתחלק בשלוש ולכן יכלל במאורע

ומכאן שהמאורע, אותו נסמן ב- A : $$A = \{3,5,6\} $$ דרך חלופית, היא להבחין בכך שהמאורע הוא איחוד בין שני מאורעות אחרים. נסמן ב- B את המאורע המספר גדול מארבע, וב- C את המאורע המספר מתחלק ב-3 . שני המאורעות בהתאמה: $$ B = \{5,6\} $$ $$ C = \{3,6\} $$ האיחוד יהיה: $$ B \cup C = \{3,5,6\} = A $$
ההתסברות תהיה: $$ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

מהדוגמא שלעיל ניתן ללמוד שכאשר ההכללה במאורע דורשת קיום של לפחות תנאי אחד מבין כמה, ניתן לקבל את המאורע על ידי איחוד של קבוצות המקיימות כל אחת את אחד התנאים. שימו לב שבדרך כלל המילה "או" היא מילת המפתח לזיהוי מצבים שכאלה, בדיוק כמו בפתרון של מערכת אי שיוויונים.

דוגמא:

מטילים קוביה הוגנת, מהי ההסתברות שנקבל מספר הגדול מ- 3 וגם גדול מ- 1 ?

פתרון:

נעבור על כל אחד מהאיברים במרחב המדגם ונבדוק האם הם מקיימים את התנאי בשאלה:

• המספר 1 אינו גדול מאחד ולכן אינו במאורע
• המספר 2 אינו גדול משלוש ולכן אינו במאורע
• המספר 3 אינו גדול מ-3 ולכן אינו במאורע
• המספר 4 גדול מ-3 וגם גדול מ-1 ולכן נמצא במאורע
• המספר 5 גדול מ-3 וגדול מ-1 ולכן נמצא במאורע
• המספר 6 גדול מ-3 וגם גדול מ-1 ולכן נמצא במאורע

לסיכום, אם נסמן את המאורע בתור A אז: $$ A = \{4,5,6\} $$ דרך חלופית, היא להבחין בכך שהמאורע הוא חיתוך בין שני מאורעות אחרים. נסמן ב- B את המאורע המספר גדול 3, וב- C את המאורע המספר גדול מ-1 . שני המאורעות בהתאמה: $$ B = \{4,5,6\} $$ $$ C = \{2,3,4,5,6\} $$ החיתוך יהיה: $$ B \cap C = \{4,5,6\} = A $$
ההתסברות תהיה: $$ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$

ניסויים חוזרים

לעיתים קרובות נתקל במצבים בהם נצטרך לחשב הסתברויות של ניסויים המורכבים מחזרות על ניסוי פשוט. הדרך בה מחשבים את ההסתברות של ניסוי כזה, תלוייה באופי של הניסוי עליו חוזרים ובקשר בין החזרות השונות . אנחנו ננתח מצבים כאלה באופן מדויק בהמשך אך כרגע נניח שכאשר חוזרים על ניסוי עם התפלגות אחידה מקבלים ניסוי שההתפלגות שלו גם אחידה. הנחה זו נכונה כל עוד החזרות אינן תלויות האחת בשנייה, כמו לדוגמא בהטלת מטבע, שם התוצאה של ההטלה הראשונה אינה משפיעה כלל על ההסתברויות של ההטלה השנייה. אנחנו נגדיר תלות ואי תלות בהמשך ונחשב גם הסתברויות כאשר ישנם מאורעות תלויים אך כרגע נצמד למקרה הפשוט.

נניח שאנחנו מטילים מטבע פעמיים. מרחב המדגם של הניסוי הזה יהיה: $$ \Omega = \{(heads, heads), (heads, tails), (tails, heads), (tails, tails) \} $$ ( heads = עץ , tails = פלי )
כאשר כל איבר במרחב המדגם הוא (הטלה ראשונה, הטלה שנייה) . כמו שכבר ציינתי למעלה, הניסוי הזה הוא בעל התפלגות אחידה. מכאן שההסתברות של כל אפשרות תהיה $\frac{1}{4}$   , מאחר וישנן סך הכל 4 אפשרויות במרחב המדגם.

דוגמא

מטילים מטבע פעמיים.

1. מהי ההסתברות שאקבל פלי בהטלה הראשונה?
2. מהי ההסתברות שקיבלתי עץ בדיוק פעם אחת?
3. מהי ההסתברות שקיבלתי פלי לפחות פעם אחת?
4. מהי ההסתברות שקיקבלתי עץ בהטלה הראשונה ופלי בשנייה?
5. מהי ההסתברות שקיבלתי את אותה התוצאה בשתי ההטלות?

פתרון:

1. המאורע יכלול את התוצאות: (פלי, פלי) ו- (פלי, עץ) .
   מאחר והמאורע כולל שתי תוצאות אפשריות ומרחב המדגם כולל ארבע אזי שההסתברות תהיה: $$ P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
2. המאורע יכלול את התוצאות: (עץ, פלי) ו- (פלי, עץ) .
   מאחר והמאורע כולל שתי תוצאות אפשריות ומרחב המדגם כולל ארבע אזי שההסתברות תהיה: $$ P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
3. המאורע יכלול את התוצאות: (עץ, פלי) , (פלי, עץ) ו- (פלי, פלי) .
   מאחר והמאורע כולל שלוש תוצאות אפשריות ומרחב המדגם כולל ארבע אזי שההסתברות תהיה: $$ P = \frac{3}{4} $$
4. המאורע יכלול את התוצאות: (עץ, פלי) .
   מאחר והמאורע כולל שלוש תוצאות אפשריות ומרחב המדגם כולל ארבע אזי שההסתברות תהיה: $$ P = \frac{1}{4} $$
5. המאורע יכלול את התוצאות: (עץ, עץ) ו- (פלי, פלי) .
   מאחר והמאורע כולל שתי תוצאות אפשריות ומרחב המדגם כולל ארבע אזי שההסתברות תהיה: $$ P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$

הטלה כפולה של מטבע היא המקרה הפשוט ביותר של ניסוי חוזר שניתן להעלות על הדעת. זאת מאחר וחזרנו על הניסוי רק פעמיים, ולניסוי הבודד יש רק שתי אפשרויות. כאשר מספר החזרות והאפשרויות בניסוי רבות יותר, האתגר יהיה לספור את האופציות במרחב המדגם ובמאורעות השונים.
הענף שעוסק בספירת קומבינציות מכונה קומבינטוריקה. אנחנו נשתמש בטכניקות קומבינטוריות אלמנטריות בלבד על מנת לפתור בעיות מורכבות יותר.

דוגמא:

מטילים פעמיים קובייה. מהו גודלו של מרחב המדגם?

פתרון:

בהטלה הראשונה יש 6 תוצאות אפשריות. עבור כל אחת משש התוצאות האפשריות בהטלה הראשונה יש שש תוצאות אפשריות בהטלה השנייה. לפיכך מספר התוצאות האפשרויות יהיה: $$ 6 \times 6 =36 $$ שימו לב שלכתוב את מרחב המדגם עצמו יהיה מטלה קשה ומתישה. במקרים סבוכים יותר היא תהיה לא פרקטית ולפיכך היכולת לחשב את מספר האפשרויות ללא כתיבה מפורשת של כל התוצאות האפשריות היא קריטית.
ככלל אנחנו נחשב את גודלו של מרחב המדגם על ידי מכפלה של מספר האפשרויות בכל שלב בניסוי.

דוגמא:

מצא את הגודל של מרחב המדגם בניסויים הבאים:

1. מטילים מטבע 3 פעמים.
2. מטילים מטבע ארבע פעמים.
3. מטילים קובייה שלוש פעמים.
4. שתי קבוצות כדורגל משחקות אחת נגד השנייה 4 משחקים.

פתרון:

1. בהטלת מטבע יש שתי תוצאות אפשריות. אם חוזרים על הניסוי 3 פעמים אז מספר התוצאות האפשריות הינו: $$ \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{2} = 2^3 = 8 $$
2. בהטלת מטבע יש שתי תוצאות אפשריות. אם חוזרים על הניסוי 4 פעמים אז מספר התוצאות האפשריות הינו: $$ \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{2} \times \underline{2} = 2^4 = 16 $$
3. בהטלת קובייה יש 6 תוצאות אפשריות. אם חוזרים על הניסוי 3 פעמים: $$ \underline{6} \times \underline{6} \times \underline{6} = 6^3 = 216 $$
4. במשחק כדורגל יש 3 תוצאות אפשריות: ניצחון לקבוצה הראשונה, תיקו וניצחון לקבוצה השנייה. מספר המשחקים הוא כמובן מספר החזרות על הניסוי, ומספר התוצאות האפשריות יהיה לפיכך: $$ \underline{3} \times \underline{3} \times \underline{3} \times \underline{3} = 3^4 = 81 $$

דוגמא:

מטילים קובייה הוגנת פעמיים.

1. מהי ההתסברות שנקבל את אותה התוצאה בשתי ההטלות?
2. מהי ההסתברות שבשתי ההטלות נקבל תוצאה זוגית?

פתרון:

1. נסמן את המאורע ב- A : $$ A = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\} $$ הגודל של מרחב המדגם הוא 36, בעוד שהגודל של המאורע הוא שש ולכן ההתסברות תהיה: $$ P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} $$
2. נסמן את המאורע ב- B. למצוא את כל האיברים במאורע יהיה משימה מתישה וקשה, אך אין לכך חשיבות כל עוד נוכל לחשב את מספר האפשרויות במארוע. מאחר וישנם 3 תוצאות זוגיות אזי שישנן 3 תוצאות אפשריות עבור ההטלה הראשונה ו-3 עבור השנייה: ולפיכך מספר האפשרויות בהן שתי ההטלות זוגיות: $$ \underline{3} \times \underline{3} = 9 $$ לפיכך ההסתברות תהיה: $$ P(B) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} $$