מספרים מרוכבים- תרגילים

פעולות חשבון- הצגה אלגברית

תרגיל 1

חשב:

$ (3+2i)-(2+4i) $
$ (7i - 4)+(3+i) $
$ i + 3+4i $
$ 3+8i - (-5-5i) + 3 $
$ (1+i)(1-i) $
$ (2+i)(2+i) $
$ 3(4-2i)$
$ (6-3i)(10-2i) $
$ (4+2i)(3-5i) $
$ \frac{1}{i} $
$ \frac{1}{2i} $
$ \frac{1+i}{1-i} $
$ \frac{4i}{i} $
$ \frac{6+ 2i}{2} $
$ \frac{3-2i}{3+4i} $
$ \frac{1+3i}{2-2i} $

פתרון

$ 1-2i $
$ -1 + 8i $
$ 3 + 5i $
$ 11 + 13i $
$ 2 $
$ 3 + 4i $
$ 12-6i $
$ 54-42i $
$ 22-14i $
$ -i $
$ i\frac{1}{2} i $
$ i $
$ 4 $
$ 3+i $
$ \frac{1}{25} - \frac{18}{25} i $
$ -\frac{1}{2} + i $

משוואה ליניארית

תרגיל 1

פתור את המשוואות הבאות:

$ 2z - 3 + 4i = 0 $
$ iz - 3i = 0 $
$ iz - 3 + 4i = 0 $
$ (1+2i)z - 3 - 2i = -3 $
$ z - iz = 2 + i $
$ (4-i)z = 8-2i $
$ 2z - iz + i = (1+3i)z - 2 $
$ \frac{z}{i} = 3i-2 $
$ \frac{2z}{1-i} = -i-4 $
$ \frac{ (4i-1) z}{1-i} = \frac{4z}{2+i} + 3 $

פתרון

$ 1.5-2i $
$ 3 $
$ -4-3i $
$ 0.8 + 0.4i $
$ 0.5 + 1.5i $
$ 2 $
$ \frac{2}{17} - \frac{9}{17} i $
$ -3-2i $
$ -2.5 + 1.5i $
$ -\frac{123}{221} - \frac{69}{221} i $

משוואה ריבועית- מקדמים ממשיים

תרגיל 1

פתור את המשוואות הבאות:

$ x^2+2x+5 = 0 $
$ x^2-2x+10 = 0 $
$ x^2 - 2x + 5 = 0 $
$ x^2 + 2x + 10 = 0 $
$ x^2 - 3x + 4 = 0 $
$ x^2-4x + 8 = 0 $

פתרון

$ z_1 = -1 + 2i $
$ z_2= -1 - 2i $
$ z_1 = 1+3i $
$ z_2= 1-3i $
$ z_1 = 1+2i $
$ z_2= 1-2i $
$ z_1 = -1 + 3i $
$ z_2= -1 - 3i $
$ z_1 = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}i $
$ z_2= \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2}i $
$ z_1 = 2 + 2i $
$ z_2= 2 - 2i $

שורש ריבועי

תרגיל 1

$ \sqrt{21+20i} $
$ \sqrt{7 + 24i} $
$ \sqrt{i} $
$ \sqrt{3-4i} $

פתרון

$ \pm (5+2i) $
$ \pm (4+3i) $
$ \pm ( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{2}}i) $
$ \pm (2-i) $

משוואה ריבועית- מקדמים מרוכבים

תרגיל 1

פתור את המשוואות הבאות:

$ z^2 - (5-i)z + 6 + 2i = 0 $
$ z^2 - iz + 20 = 0 $
$ 4z^2 - (4-2i)z + 3-i = 0 $
$ z^2 - (2+9i)z + 7i-23 = 0 $

פתרון

$ z_1 = 4-2i $
$ z_2 = 1+i $
$ z_1 = 4i $
$ z_2 = -5i $
$ z_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i $
$ z_2 = \frac{1}{2} - i $
$ z_1 = 1 - 4 i $
$ z_2 = -3 - 5i $

משוואות אחרות

תרגיל 1

פתור את המשוואות הבאות:

$ z + (2-i)\bar{z} - 4 + 2i = 0 $
$ (1 + i) z + 3 - 4i = 0 $
$ \bar{z}z - z = 0 $
$ \bar{z}z + \bar{z}^2 = 0 $
$ |z|i + 2z = \sqrt{3} $

פתרון

$ 1.5 + 0.5i $
$ 0.5 + 3.5i $
$0 ~~;~~ 1 $
$0 $
$ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i $

המרה בין הצגות

תרגיל 1

המר את המספרים המרוכבים הבאים להצגה קוטבית:

$ 1 $
$ -1 $
$ 2 $
$ i $
$ 4i $
$ 1+i $
$ 3 + 4i $
$ 8-6i $
$ 8 + 6i $
$ -i $
$ -3 + 3i $
$ -2 - i $

פתרון

$ 1 \cdot cis(0) $
$ 1 \cdot cis(180) $
$ 2 \cdot cis(0) $
$ 1 \cdot cis(90) $
$ 4 \cdot cis(90) $
$ \sqrt{2} \cdot cis(45) $
$ 5 \cdot cis(53.13) $
$ 10 \cdot cis(323.13) $
$ 10 \cdot cis(36.87) $
$ 1 \cdot cis(270) $
$ \sqrt{18} \cdot cis(135) $
$ \sqrt{5} \cdot cis(206.56) $

תרגיל 2

המר את המספרים הבאים להצגה אלגברית:

$ cis(0) $
$ cis(90) $
$ cis(180) $
$ cis(270) $
$ cis(360) $
$ cis(-90) $
$ 2cis(30) $
$ \sqrt{5}cis(206.56) $
$ \sqrt{18}cis(135) $
$ \sqrt{2}cis(45) $
$ 10 cis(36.87) $
$ 5 cis(45) $

פתרון

$ 1 $
$ i $
$ -1 $
$ -i $
$ 1 $
$ -i $
$ 1.73 + i $
$ -2-i $
$ -3+3i $
$ 1+i $
$ 8 + 6i $
$ 3.53 +3.53i $

הצגה קוטבית- פעולות חשבון

תרגיל 1

חשב את הביטויים הבאים:

$ 2 cis(35) \cdot 4 cis(45) $
$ 6 cis(27) \cdot 2 cis(63) $
$ cis(40) \cdot 2 cis(-40) $
$ \frac{4cis(30)}{2cis(20)} $
$ \frac{8cis(240)}{4cis(270)} $
$ \frac{cis(-30)}{2cis(-30)} $

פתרון

$ 8cis(80) $
$ 12 cis(90) $
$ 2 cis(0) $
$ 2 cis(10) $
$ 2 cis(-30) $
$ \frac{1}{2}cis(0) $

תרגיל 2

נתונים שני המספרים המרוכבים: $$ z_1 = 1+i $$ $$ z_2 = -3+3i $$ חשב את הביטויים הבאים , והבע את הפתרון בהצגה אלגברית:

$ z_1 \cdot z_2 $
$ \frac{z_1}{z_2} $
$ \frac{z_2}{z_1} $
$ z_1^3 \cdot z_2^3 $
$ z_1^6 \cdot z_2^4 $
$ z_1^3 \cdot z_2^5 $
$ \frac{z_2^4}{z_1^4} $
$ \frac{z_2^2}{z_1^4} $

פתרון

$ -6 $
$ - \frac{1}{3} i $
$ 3i $
$ -216 $
$ 2592 i $
$ 3888i $
$ 81 $
$ 4.5 i $

משוואה ממעלה n

תרגיל 1

פתור את המשוואה הבאה: $$ z^3 = 1 + \sqrt{3} i $$

פתרון

$ z_1 = \sqrt[3]{2} \cdot cis(20) $
$ z_2 = \sqrt[3]{2} \cdot cis(140) $
$ z_3 = \sqrt[3]{2} \cdot cis(260) $

תרגיל 2

פתור את המשוואה הבאה: $$ z^3 = -4\sqrt{2} + \sqrt{3} i $$

פתרון

$ z_1 = 2 \cdot cis(45) $
$ z_2 = 2 \cdot cis(165) $
$ z_3 = 2 \cdot cis(285) $

תרגיל 3

פתור את המשוואה הבאה: $$ z^5 = 32i $$

פתרון

$ z_1 = 2 \cdot cis(18) $
$ z_2 = 2 \cdot cis(90) $
$ z_3 = 2 \cdot cis(162) $
$ z_4 = 2 \cdot cis(234) $
$ z_5 = 2 \cdot cis(306) $

תרגיל 4

נתונה משוואה מהצורה: $$ z^3 = c $$ כאשר c הוא איזשהו קבוע מרוכב. נתון כי אחד הפתרונות של המשוואה הינו: $$ z_k = 2 \cdot cis(-60) $$

מצא את כל הפתרונות של המשוואה. מצא את הארגומנטים בין 0 ל-360.
חשב את c.

פתרון

- $ z_1 = 2 \cdot cis(60) $
- $ z_2 = 2 \cdot cis(180) $
- $ z_3 = 2 \cdot cis(300) $
$ c = 8 \cdot cis(180) $

תרגיל 5

פתור את המשוואה הבאה: $$ z^4 = 16$$

פתרון

$ z_1 = 2 \cdot cis(0) $
$ z_2 = 2 \cdot cis(90) $
$ z_3 = 2 \cdot cis(180) $
$ z_4 = 2 \cdot cis(270) $

תרגיל 6

פתור את המשוואה הבאה: $$ z^5 = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)^3 $$

פתרון

$ z_1 = cis(36) $
$ z_2 = cis(108) $
$ z_3 = cis(180) $
$ z_4 = cis(252) $
$ z_5 = cis(324) $

תרגיל 7

פתור את המשוואה הבאה: $$ z^6 = -8 $$

פתרון

$ z_1 = \sqrt{2} \cdot cis(30) $
$ z_2 = \sqrt{2} \cdot cis(90) $
$ z_3 = \sqrt{2} \cdot cis(150) $
$ z_4 = \sqrt{2} \cdot cis(210) $
$ z_5 = \sqrt{2} \cdot cis(270) $
$ z_6 = \sqrt{2} \cdot cis(330) $

תרגיל 7

פתור את המשוואה הבאה: $$ z^4 = 1 $$

פתרון

$ z_1 = cis(0) $
$ z_2 = cis(90) $
$ z_3 = cis(180) $
$ z_4 = cis(270) $

תרגיל 8

פתור את המשוואה הבאה: $$ (z-i)^3 = 8 $$

פתרון

$ z_1 = 2 + i $
$ z_2 = -1 + (\sqrt{3} + 1)i $
$ z_3 = -1 - (\sqrt{3} - 1)i $

סדרות

תרגיל 1

נתונה סדרה חשבונית, שהאיבר הראשון שלה הוא 3, ווהאיבר העשירי שלה הוא $ 30-90i $ .
חשב את הפרש הסדרה.

פתרון

$ d = 3 - 10 i $

תרגיל 2

נתונה סדרה חשבונית, שהאיבר השביעי שלה הוא $ 36 - 12i $ , ושההפרש שלה הוא $ d = 2 +i $
מצא את האיבר הראשון של הסדרה.

פתרון

$ a_1 = 24-18i $

תרגיל 3

נתונה סדרה חשבונית, שהאיבר הראשון שלה הוא $ 1-2i $ , ההפרש שלה הוא $ 6+i $ , והאיבר האחרון שלה הוא $ 61 + 8i $ .
חשב את מספר האיברים בסדרה.

פתרון

$ N = 11 $

תרגיל 4

נתונה סדרה חשבונית שסכום שני איבריה הראשונים הוא $ 2+4i $ . בנוסף ידוע שהפרש הסדרה הוא $ -2 + -6i $ . חשב את האיבר העשירי של הסדרה.

פתרון

$ a_{10} = -16 - 49i $

תרגיל 5

האיבר השביעי של סדרה חשבונית הוא $ 12 - 12i $ , והאיבר השמיני הוא $ 18 - 9 i $ .
חשב את האיבר הראשון בסדרה.

פתרון

$ a_{10} = -24 - 30i $

תרגיל 6

נתון האיבר הכללי של הסדרה $ a_n $ : $$ a_n = 3n - (2n + 1) i $$

חשב את האיבר הראשון של הסדרה.
הוכח שהסדרה חשבונית, ומצא את ההפרש שלה.

פתרון

$ a_1 = 3 - 3i$
$ d = 3 - 2i$

תרגיל 7

נתונה סדרה הנדסית' שהאיבר הראשון שלה הוא: $ 1 + i $ , ושהמנה שלה היא: $ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i $ .
חשב את האיבר העשירי בסדרה.

פתרון

$ \sqrt{2} \cdot cis(225) i $

תרגיל 8

נתונה סדרה שנוסחת האיבר הכללי שלה היא: $$ a_n = r \cdot cis(\phi + 90n) $$

הוכח שזו סדרה הנדסית, ומצא את המנה שלה.
מצא משוואה של מקום גיאומטרי עליו נחים כל האיברים של הסדרה.
הוכח שאם נסכום מספר איברים בסדרה, שהוא כפולה של 4, הסכום יהיה אפס.

פתרון

$ cis(90) $
$ x^2 + y^2 = r^2 $
הוכחה

בעיות במישור גאוס

תרגיל 1

נתונה המשוואה: $$ z^6 = -8 $$

מצא את משוואת המקום הגיאומטרי עליו נמצאים כל הפתרונות.
נתונה המשוואה: $$ (z-1-i)^6 = -8 $$ בלי לפתור את המשוואה, מצא את משוואת המקום הגיאומטרי עליו נמצאים כל הפתרונות.

פתרון

$ x^2 + y^2 = 2 $
$ (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2 $

תרגיל 2

נתונה המשוואה: $$ \vert z \vert = 4 $$

כמה פתרונות יש למשוואה?
אוסף הפתרונות של המשוואה יוצרים מקום גיאומטרי, מצא את משוואתו.
מצא את הפתרון שהארגומנט שלו הוא 30 מעלות.

פתרון

אינסוף.
$ x^2 + y^2 = 16 $
$ z = 4 \cdot cis(30) $

תרגיל 3

מצא את המקום הגיאומטרי המתואר על ידי המשוואה: $$ \vert z - 1 - 2i \vert = 2 $$
מצא את המקום הגיאומטרי המתואר על ידי המשוואה: $$ \vert \bar{z} - 1 - 2i \vert = 2 $$

פתרון

$ (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 $
$ (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 $

תרגיל 4

נתונה סדרה חשבונית כלשהי $ a_n $ , שההפרש שלה הוא $ d = a + bi $ .

הוכח שכל איברי הסדרה נמצאים על ישר אחד, והבע את השיפוע שלו במונחים של $ a $ ו- $ b $ .
אם האיבר הראשון של הסדרה הוא $ a_1 = 1 + 3i $ , וההפרש של הסדרה הוא $ d = 2 - 2i $ , מה תהיה משוואת הישר עליו נמצאים כל הפתרונות?

פתרון

$ m = \frac{b}{a} $
$ y = -x + 4 $

תרגיל 5

נתונה סדרה הנדסית, $ a_n $ , שהמנה של היא $ q $ .

מהו התנאי על המנה כך שכל איברי הסדרה יהיו על אותו המעגל?
אם נתון כי: $$ a_1 = 2 \cdot cis(30) $$ וידוע שכל איברי הסדרה נמצאים על אותו המעגל. מה תהיה משוואת המעגל?
נתונה סדרה חשבונית, $ b_n $ , כמה מאיברי הסדרה, לכל היותר, יכולים להימצא על המעגל מהסעיף הקודם?
הוכח כי אם ידוע שאיברי הסדרה החשבונית נמצאים על ישר המשיק למעגל מסעיף ב' בנקודה $ (0,2) $ אז הפרש הסדרה ממשי.
אם ידוע שהפרש הסדרה החשבונית מדומה, ושהישר עליו נמצאים איברי הסדרה החשבונית משיק למעגל, מהם האיברים שיכולים להיות גם בסדרה החשבונית וגם בסדרה ההנדסית?

פתרון

המודול שלו צריך להיות 1.
$ x^2 + y^2 = 4 $
2
הוכחה.
$ (-2,0) ~~;~~ (0,2) $