מספרים מרוכבים- תיאוריה

משוואות ליניאריות

משוואה ליניארית או משוואה ממעלה ראשונה היא כל משוואה מהצורה הבאה: $$ a \cdot z + b = 0 $$ כאשר $ a $   ו- $ a $   הם מספרים מרוכבים.

הדרך לפתור משוואה ליניארית זהה לדרך בה פתרנו משוואות ליניאריות עם מספרים ממשיים. ההבדל היחידי הוא שנצטרך לבצע פעולות חשבון עם מספרים מרוכבים על מנת לפתור לפעמים את המשוואה.
נפתור דוגמא פשוטה על מנת להדגים זאת.

השוואת מקדמים

בחלק זה נדגים שיטה שיכולה לעזור בפתרון של מגוון משוואות.
הרעיון הוא מאד פשוט, אם יש לנו משוואה מהצורה: $$ R_1(x,y) + M_1(x,y) \cdot i = R_2(x,y) + M_2(x,y) \cdot i $$ כאשר $ x $   ו- $ y $   הם נעלמים.
אז חייב להתקיים: $$ R_1(x,y) = R_2(x,y) $$ $$ M_1(x,y) = M_2(x,y) $$ ההיגיון מאד פשוט, יש לנו מספר מרוכב בשני האגפים, ובשביל ששני מספרים מרוכבים יהיו שווים זה לזה, לפי ההגדרה, החלקים הממשיים והמדומים צריכים להיות שווים ביניהם.
כעת יש לנו מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים, אותה נוכל לפתור בקלות.
בואו נסתכל על דוגמא.

משוואה ריבועית עם מקדמים ממשיים

בחלק זה נפתור משוואות ריבועיות עם מקדמים ממשיים בלבד. למעשה אלו אותן משוואות שפתרנו עד היום, לפני שהכרנו את המספרים המרוכבים, רק עם הבדל אחד, כעת אנחנו לא מחפשים רק פתרונות ממשיים, אלא גם פתרונות מרוכבים.
בעבר כאשר קיבלנו בנוסחת השורשים, שורש של מספר שלילי, אמרנו שלמשוואה אין פתרון. יותר מדויק היה להגיד שאין לה פתרון ממשי. כעת אנחנו נמשיך לפתור משוואות כאלו ונקבל את הפתרונות המרוכבים שלהן.

שימו לב, שאנחנו מבצעים הבחנה בין משוואות עם מקדמים ממשיים ומרוכבים, לא בגלל שדרך הפתרון שונה, שכן אנחנו נשתמש בנוסחת השורשים בשני המקרים, אלא בגלל שכאשר המקדמים ממשיים אין צורך להוציא שורש ממספר מרוכב, פעולה שאותה נלמד רק בהמשך.

שורש ריבועי

השורש הריבועי של מספר ממשי כלשהו, $ x$ , הוא המספר החיובי שאם נכפיל אותו בעצמו (או במילים אחרות נעלה אותו בריבוע) , נקבל $ x$ . ההגדרה עבור מספרים מרוכבים דומה, אך עם הבדל משמעותי אחד, אין את המגבלה שהשורש צריך להיות מספר חיובי. למעשה במספרים מרוכבים, אין מספרים חיוביים ושליליים, ומכאן שהגדרה כזאת לא תהיה הגיונית.

שורש ריבועי של מספר מרוכב, הגדרה:
השורש הריבועי של מספר מרוכב כלשהו $ z$ יסומן על ידי $ \sqrt{z} $ והוא כל מספר המקיים: $$ (\sqrt{z})^2 = z $$

בניגוד למציאת שורש של מספר ממשי, התהליך של מציאת שורש עבור מספר מרוכב הוא ארוך יותר, ודורש קצת יותר עבודה ותחכום.
בואו נסתכל על דוגמא שתעזור לנו להבין את התהליך.

זוהי שיטה אפשרית אחת למצוא שורשים של מספר מרוכב. בהמשך, לאחר שנלמד על הצגה קוטבית, נלמד שיטה אחרת קלה יותר שתאפשר לנו לחשב שורשים מכל מעלה ולא רק שורשים ריבועיים. בכל מקרה, כעת כשאנו יודעים לחשב שורשים ריבועיים, אנחנו יכולים לפתור סוף כל סוף משוואות ריבועיות שהמקדמים שלהם מרוכבים.

משוואה ריבועית עם מקדמים מרוכבים

בפרק זה נלמד כיצד לפתור משוואות ריבועיות עם מקדמים מרוכבים. הדרך בה נשתמש זהה לדרך בה אנחנו פותרים משוואות עם מקדמים ממשיים, רק שכעת אנחנו עלולים לקבל מספר מרוכב בתוך השורש, ואז נאלץ לחשב את השורש לפי השיטה שראינו בחלק הקודם.

נדגים כעת את דרך הפתרון באמצעות דוגמא.

חזקות של $ i $

קל מאד לחשב חזקות שונות של המספר $ i $ , למעשה כבר חישבנו את הריבוע שלו מספר פעמים. בואו נראה חזקות גבוהות יותר: $$ i^1 = i $$ $$ i^2 = -1 $$ $$ i^3 = -i $$ $$ i^4 = 1 $$ $$ i^5 = i $$ כמובן שאין טעם לחשב חזקות גבוהות יותר מאחר והן פשוט יחזרו על עצמן. יש לנו פה התנהגות מחזורית, שכפי שנראה בהמשך אינה ייחודית רק ל- $ i $ .

בגלל המחזוריות הזו, נוכל למעשה לחשב בקלות כל חזקה של $ i $ . השיטה לביצוע החישוב פשוטה למדי. נניח שאנחנו צריכים לחשב את $ i^k $   כאשר החזקה היא מספר שלם הגדול מארבע . ראשית נשים לב לכך שאם מחסירים 4 מהחזקה, הערך אינו משתנה: $$ \begin{align*} i^k &= i^{k-4} \cdot i^4 \\ &= i^{k-4} \cdot 1 \\ &= i^{k-4} \end{align*} $$ נוכל להמשיך בתהליך הזה, ולהוריד את החזקה, כמספר הפעמים ש-4 נכנס ב- $ k $ , מה שניתן לבדוק בקלות במחשבון על ידי חלוקה שלהם . לאחר שנעשה זאת נקבל חזקה בין 0 ל-3 שאת ערכן אנו כמובן יודעים.

מישור גאוס

בעבר כשעסקנו במספרים ממשיים, ראינו שניתן לייצג כל מספר על ידי נקודה על ישר אותו כינינו ציר המספרים. למספרים מרוכבים לעומת זאת, יש שני רכיבים,הממשי והמדומה, ולפיכך על מנת לתאר אותם נצטרך שני צירים. כלומר המספרים המרוכבים יצטרכו להיות מתוארים על ידי מישור ולא על ידי ישר חד ממדי. המישור הזה מכונה מישור גאוס.

נשרטט מערכת צירים קרטזית, שבה ציר ה- x מתאר את החלק הממשי, וה- y את החלק המדומה. כל מספר יתאים לנקודה אחרת במישור, וכל נקודה במישור תתאים למספר מסוים.

מספרים שנמצאים על ציר ה- x הם מספרים שהרכיב המדומה שלהם מתאפס, ולפיכך הם מספרים ממשיים טהורים. לעומת זאת מספרים על ציר ה-y הם מספרים שהרכיב הממשי שלהם מתאפס, ולפיכך הם מספרים מדומים טהורים.

הצגה קוטבית- הגדרה

עד היום תיארנו את המיקום של נקודות במישור באמצעות מערכת צירים קרטזית, אך האם זוהי הדרך היחידה?
התשובה היא כמובן שלא, ניתן לתאר מיקום באמצעות מערכות קואורדינטות אחרות, אחת מהן היא המערכת הקוטבית (או פולרית בלעז).

הרעיון של המערכת הקוטבית היא שניתן לתאר מיקום של נקודה, באמצעות המרחק שלה מנקודת ראשית הצירים, ולפי הזוית שלה עם הכיוון החיובי של ציר ה- x .

המרחק מראשית הצירים, מכונה המודול של המספר, ונהוג לסמנו ב- $ r $ .
הזוית עם הכיוון החיובי של ציר ה- $ x $ , מכונה הארגומנט, ומסומנת בדרך כלל ב- $ \theta $ .

המודול של מספר מרוכב מוגדר כמרחק שלו מראשית הצירים, ומכאן שהוא חייב להיות חיובי תמיד.
הארגומנט לעומת זאת, אינו מוגבל כלל בערכים שהוא יכול לקבל. הערכים יכולים להיות חיוביים או שליליים, ואינם מוגבלים בטווח שלהם. קל מאד להבין מהי המשמעות של ערך חיובי בטווח של 0 עד ל-360 מעלות. אך מהי המשמעות שנייחס לערך שלילי, או ערך שגדול מ-360?
הדרך בה אנחנו מפרשים ערכים כאלה, תהיה זהה לדרך בה נקטנו כשהגדרנו בעבר את הפונקציות הטריגונומטריות במעגל היחידה.
למקרה שכבר שכחתם, בואו ניתן תזכורת קצרה.
דמיינו לעצמכם מחוג הנח על הצד החיובי של ציר ה- x .

זוית חיובית משמעה סיבוב של המחוג נגד כיוון השעון.

זווית שלילית משמעה סיבוב עם כיוון השעון.

אם הזווית גדולה מ-360 מעלות, פשוט נשלים סיבוב שלם ונמשיך הלאה. כלומר אם לדוגמא יש לנו מספר עם ארגומנט של 390 מעלות, זה אומר שנשלים סיבוב שלם ואז נתקדם עוד 30 מעלות.

שימו לב, שאם מוסיפים לארגומנט של מספר כפולה שלמה של 360 מעלות, נחזור לאותה הנקודה בדיוק במישור גאוס, המייצגת את אותו המספר. מכאן שניתן להוסיף או להחסיר כפולות שלמות של 360 מעלות מהארגומנט מבלי לשנות את ערכו.

קבוצת נקודות בעלות אותה הזוית נמצאות על אותה הקרן.

לערך מסוים של $ r $   ושל $ \theta $ , תתאים בדיוק נקודה אחת שהיא נקודת החיתוך בין המעגל בעל רדיוס $ r $ , והקרן שיוצרת זוית $ \theta $   עם הכיוון החיובי של ציר ה- x .

שימו לב, שלמרות שהצגנו את הנושא במסגרת מספרים מרוכבים, מערכת הקואורדינטות הקוטבית כללית לחלוטין ומאפשר תמיד לייצג נקודות במישור. במסגרת התיכון אתם תתקלו בזה בלימודי הפיזיקה שלכם, שם נוח לתאר תנועה סיבובית באמצעות מערכת קואורדינטות קוטבית.
ככלל, אין מערכת קואורדינטות טובה יותר או פחות, אך יש מערכות שמתאימות יותר לבעיות ספציפיות, וחשוב מאד לבחור במערכת המתאימה לבעיה שלפנינו. כמו שנראה בהמשך, בעיות מסוימות יכולות להיות בלתי פתירות במערכת אחת ופשוטות מאד באחרת, ולפיכך הבחירה במערכת הנכונה היא קריטית.

בואו נראה כעת כיצד ניתן לתאר מספר בהצגה קוטבית. לשם כך נמצא את הקשר בין שתי ההצגות.
נבחן את הקשר באמצעות השרטוט הבא:

קל לראות מהשרטוט שניתן להביע באמצעות טריגונומטריה בסיסית את $ x $   ו- $ y $ , במונחים של $ r $   ו- $ \theta $ : $$ x = r \cdot \cos{\theta} $$ $$ y = r \cdot \sin{\theta} $$ מכאן שנוכל להציג מספר מרוכב בהצגה פולרית באופן הבא: $$ \begin{align*} z &= x + yi \\ &= r\cos{\theta} + i \cdot r\sin{\theta} \\ &= r[\cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta} ] \end{align*} $$ נהוג לסמן: $$ cis \theta = \cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta} $$ ואז ההצגה הפולרית של מספר מרוכב תראה כך: $$ z = r \cdot cis \theta $$ שימו לב שהסימון הזה נהוג רק בתיכון, כך שאם תחפשו חומר באינטגרנט, סביר מאד להניח שלא תראו אותו במקומות אחרים. בדרך כלל, במקום זאת, אתם תתקלו בסימון: $$ e^{i\theta} = \cos{\theta} + i \cdot \sin{\theta} $$ אך אנחנו נצמד לסימון הקודם מאחר וזהו הסימון המקובל בתיכון.

הצמוד בהצגה קוטבית

נקודה חשובה נוספת היא מציאה של הצמוד המרוכב בהצגה קוטבית. מתברר שזה פשוט למדי: $$ z = r \cdot cis(\theta) \rightarrow \bar{z} = r \cdot cis(-\theta) $$

בואו נוכיח זאת.
נניח שיש לי מספר מרוכב כלשהו: $$ z = r\cos{\theta} + i \sin{\theta} $$ הצמוד שלו יהיה: $$ \bar{z} = r\cos{\theta} - i \sin{\theta} $$ נשתמש בשתי הזהויות הטריגונומטריות הבאות: $$ -\sin{\theta} = \sin{(-\theta)} $$ $$ \cos{\theta} = \cos{(-\theta)} $$ נציב ונקבל: $$ \bar{z} = r\cos{(-\theta)} + i \sin{(-\theta)} $$ ומכאן שמתקיים: $$ \bar{z} = r \cdot cis(-\theta) $$

טריק שחוזר על עצמו הרבה הוא הכפלה של מספר מרוכב בצמוד שלו. ראינו את התוצאה בהצגה אלגברית, בואו נראה כעת איך זה יראה בהצגה קוטבית.
אם נכפול בין מספר מרוכב לצמוד שלו נקבל: $$ \begin{align*} z \cdot \bar{z} &= r cis(\theta) \cdot rcis(-\theta) \\ &= r^2 cis(\theta - theta) \\ &= r^2 cis(0) \\ &= r^2 \end{align*} $$

מעבר בין הצגות

ראינו שתי הצגות שונות למספרים מרוכבים. ההצגה הראשונה שראינו, מכונה בתיכון הצגה אלגברית. בעולם המתמטיקה היא בדר"כ נקראת הצגה קרטזית. ההצגה השנייה שראינו מכונה הצגה קוטבית או פולרית.
שאלה חשובה שעלינו להשיב עליה, היא כיצד נוכל לעבור מהצגה אחת לשנייה ולהפך.

הצגה קוטבית $ \leftarrow $ הצגה אלגברית
אם יש לנו צמד $ (r,\theta) $   נוכל למצוא את הצמד $ (x,y) $   המתאים לו באופן הבא: $$ x = r \cos{\theta} $$ $$ y = r \sin{\theta} $$

למצוא את המעבר בכיוון ההפוך ידרוש מאיתנו למצוא את המודול והארגומנט במונחים של $ x $   ו- $ y $ . בואו נבחן את השרטוט שכבר ראינו מקודם וננסה לחלץ ממנו את הקשר הנדרש:

קל לראות מטריגונומטריה כי: $$ \frac{y}{x} = \tan{\theta} $$ ואם נשתמש במשפט פיתגורס נקבל: $$ r^2 = x^2 + y^2 $$ $$ \downarrow $$ $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$

הצגה אלגברית $ \leftarrow $ הצגה פולרית
נניח שיש לנו מספר מרוכב בהצגה אלגברית (x,y) , נוכל למצוא את ההצגה הקוטבית על ידי כך שנחשב את המודול על ידי הצבה בנוסחה: $$ r = \sqrt{x^2+ y^2} $$ נוכל לחשב את הארגומנט על ידי פתרון של המשוואה: $$ \tan{\theta} = \frac{y}{x} $$ השלב הזה טומן בחובו מלכודת שרבים נופלים בה. מאחר וטנגנס היא פונקציה בעלת מחזור של 180 מעלות אזי שתהיינה תמיד שתי זויות בין 0 ל-360 מעלות שיקיימו את המשוואה. על מנת לבחור בזוית הנכונה יש לבדוק באיזה רביע נמצא המספר המרוכב, מה שקל למדי לעשות אם יש לנו את ההצגה האלגברית שלו, ואז לבחור בזוית המתאימה לרביע.
נדגים את התהליך בדוגמא הבאה.

פעולות חשבון בהצגה קוטבית

נתחיל מהצד השלילי ונאמר שאין דרך לחבר או לחסר בקלות שני מספרים בהצגה קוטבית. לשם יהיה עלינו תחילה לעבור להצגה אלגברית, לבצע את הפעולה, ואז להעביר את התוצאה להצגה קוטבית.
לעומת זאת נקודת האור, והסיבה המרכזית שבגלל אנחנו בכלל לומדים את ההצגה הפולרית, היא שביצוע פעולות מכפלה וחילוק בהצגה קוטבית היא פשוטה בהרבה מאשר בהצגה האלגברית. למעשה היא כל כך פשוטה, שהיא תאפשר לנו כפי שתראו בהמשך לחשב כל חזקה של מספר מרוכב, פעולה שבהצגה אלגברית תהיה בלתי אפשרית לחלוטין.

חישוב מכפלה באמצעות הצגה קוטבית, מאפשר גם לדמיין בקלות את תוצאת המכפלה מבחינה גרפית .

מקרה מיוחד יתקבל כאשר נכפול במספר שהמודול שלו הוא אחד. במצב כזה המודול של המספר שהכפלנו ישאר ללא שינוי אך הארגומנט ישתנה. כלומר מכפלה במספר שהמודול שלו הוא אחד, שקולה לפעולה של סיבוב במישור גאוס.
לדוגמא אם נכפול מספרים מרוכבים ב- $ cis (60) $   ההשפעה תהיה סיבוב של המספרים ב-60 מעלות נגד כיוון השעון.
שימו לב שמדובר בנקודה מאד חשובה, שהיא המרכז בלא מעט שאלות במספרים מרוכבים.

שימו לב שבדיוק כמו במכפלה, חלוקה במספר שהמודול שלו הוא אחד, שקול לסיבוב במישור גאוס. רק שהכיוון הפוך מזה של המכפלה משום שבחלוקה אנחנו מחסרים את הארגומנט ולא מוסיפים אותו.

משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר קובע ש: $$ z = r \cdot cis(\theta) $$ $$ \downarrow $$ $$ z^n = r^n \cdot cis(n \theta) $$ כלומר,בשביל להעלות מספר מרוכב בחזקת n יש להעלות את המודול באותה החזקה, ולכפול את הארגומנט בחזקה.

המשפט נובע ישירות ממה שלמדנו לגבי מכפלת מספרים בהצגה פולרית. להזכירכם כשמפכפילים שני מספרים מרוכבים בהצגה פולרית, יש לכפול את המודולים שלהם, ולסכום את הארגומנטים. כאשר מעלים מספר בחזקה, פשוט כופלים אותו בעצמו, ומכאן שנכפול את המודול בעצמו n פעמים, ונסכום את הארגומנט n פעמים ומכאן שנקבל בדיוק את נוסחת דה-מואבר.
קל להוכיח את המשפט באמצעות אינדוקציה, אך מאחר ואינדוקציה כבר אינה בחומר של בחינות הבגרות אמנע מכך.

החשיבות הגדולה של משפט דה-מואבר, היא שהוא מאפשר לחשב בקלות רבה כל חזקה של מספר מרוכב. שימו לב שחישוב כזה היה בלתי אפשרי בהצגה אלגברית, וזוהי הסיבה המרכזית לחשיבות הגדולה של ההצגה הפולרית במספרים מרוכבים. בהמשך נראה כיצד משפט דה-מואבר יכול לסייע לנו בפתרון משוואות מכל מעלה גבוהה ככל שתהיה.

ערך מוחלט

ערך מוחלט היא פעולה, הלוקחת מספר, ומחזירה את המרחק שלו מהאפס. כאשר עסקנו במספרים טבעיים, המספרים כולם שכנו על ציר, כך שעבור כל מספר חיובי הערך המוחלט החזיר פשוט את המספר עצמו, בעוד שעבור מספר שלילי הוא החזיר את המספר ללא המינוס.
במספרים מרוכבים המספרים נמצאים במישור, והמרחק של נקודה מהאפס היא בעצם מרחק של נקודה במישור מראשית הצירים.

נניח שנתון לנו מספר מרוכב $ z $ , בשתי ההצגות: $$ z =x + yi $$ $$ z = r \cdot cis \theta $$ בהצגה קוטבית, המודול של המספר הוא המרחק שלו מראשית הצירים ולכן: $$ z = r \cdot cis \theta $$ $$ \downarrow $$ $$ \vert z \vert = r $$ אנחנו יודעים כי המודול של מספר מרוכב מקיים: $$ r = \sqrt{x^2 + y^2} $$ ומכאן ש: $$ \vert z \vert = \sqrt{x^2 + y^2} $$

כלומר, יש לנו שתי נוסחאות המאפשרות לחשב את הערך המוחלט של מספר בשתי ההצגות: האלגברית והפולרית.

משוואה ממעלה n

בחלק זה נלמד לפתור משוואות מהצורה: $$ z^n = c $$ כאשר c הוא קבוע.
הפתרון מורכב ממספר שלבים, אך פשוט למדי. לאחר מכן, נראה גם את המשמעות הגיאומטרית של הפתרונות.

על מנת לפתור משוואה מהצורה הזו נפעל לפי השלבים הבאים:

1. ראשית נדאג שהקבוע c בהצגה פולרית. לעיתים הוא יהיה בהצגה פולרית, אך אם הוא אינו יש להשתמש בשיטת ההמרה שלמדנו. נסמן את הקבוע בהצגה הפולרית בתור: $$ c = R cis(\phi) $$
2. נציב במשוואה: $$ z = r cis(\theta) $$ לאחר שני שלבים אלה המשוואה תראה כך: $$ [r cis(\theta)]^n = R cis(\phi) $$ שימו לב לכך ש- $ R $   ו- $ \phi $   הם קבועים ידועים.
3. נשתמש בכלל דה-מואבר על אגף שמאל ונקבל: $$ r^n cis (n\theta) = R cis(\phi) $$
4. נשווה את המודולים ואת הארגומנטים ונקבל: $$ r^n = R $$ $$ n \theta = \phi + 360k $$ ההיגיון הוא ששני מספרים מרוכבים יהיו שווים אחד לשני רק אם המודולים שלהם זהים, והארגומנטים שלהם זהים עד כדי תוספת של כפולה שלמה של 360 מעלות. זכרו שתוספת של 360 מעלות לארגומנט לא משנה את המספר!
5. נפתור את שתי המשוואות.
   מהמשוואה של המודולים נקבל: $$ r^n = R $$ $$ \downarrow $$ $$ r = \sqrt[n]{R} $$ שימו לב שגם אם n מספר זוגי עדיין יהיה לנו רק פתרון אחד, זאת מאחר והמודול חייב להיות חיובי.
   מהמשוואה של הארגומנטים נקבל: $$ \theta = \frac{\phi}{n} + \frac{360}{n} k $$
6. מהסעיף הקודם למדנו שלכל הפתרונות יהיה את אותו המודול: $$ r = \sqrt[n]{R} $$ אך הארגומנטים יהיו שונים.
   בשביל למצוא אותם נתחיל להציב ערכים שונים עבור k. ניתן לתאר את הארגומנטים שלנו באופן כללי בצורה הבאה: $$ \theta_k = \frac{\phi}{n} + \frac{360}{n} k ~~~~ k = 0,1,2...,(n-1) $$ ויהיו לנו סה"כ בדיוק n פתרונות למשוואה.
   הסיבה שאנחנו לא ממשיכים להציב ב- k ערכים הגדולים מ- n-1   היא שאם נציב n נקבל: $$ \begin{align*} \theta_n &= \frac{\phi}{n} + \frac{360}{n} n \\ &= \frac{\phi}{n} + 360 \end{align*} $$ הפתרון הזה יהיה זהה לחלוטין לפתרון הראשון בו $ k=0 $   אז הארגומנט יהיה: $$ \theta_0 = \frac{\phi}{n} $$ ההפרש בין הזויות הוא בדיוק 360 מעלות מה שאומר שהן מייצגות את אותו המספר בדיוק. כלומר, הפתרונות יתחילו לחזור על עצמם, ולא נקבל עוד פתרונות חדשים.

מאחר ופתרנו את הבעיה בצורה כללית לחלוטין, אנחנו יכולים גם להסיק מסקנות כלליות לחלוטין לגבי הפתרונות של משוואות מצורה זו.
להלן סיכום של הנקודות החשובות:

1. למשוואה ממעלה n יהיו n פתרונות שונים.
   שימו לב שהדבר נכון רק למשוואות מהצורה הספציפית בהן עסקנו ולא לכל סוג של משוואה.
2. לכל הפתרונות יהיה את אותו המודול: $$ r = \sqrt[n]{R} $$
3. מאחר והמודול זהה ביניהם, ההבדל בין הפתרונות השונים יהיה הארגומנט.
   ראינו שהארגומנטים יהיו מהצורה: $$ \theta = \frac{\phi}{n} + \frac{360}{n} k $$ כל פעם שמגדילים את k באחד, הארגומנט גדל ב- $ \frac{360}{n} $ .

לעיתים קרובות, תלמידים מתקשים להבין פתרונות הכתובים בצורה כללית, אם אתה ביניהם אל דאגה, הכל יהיו ברור לאחר שנפתור כמה דוגמאות קונקרטיות.

משוואה ממעלה n- משמעות גיאומטרית

נתחיל בכך שנשרטט את הפתרונות של המשוואת שפתרנו בפרק הקודם, ונראה אם אנחנו מצליחים לזהות דפוסים מסוימים.

המשוואה הראשונה שפתרנו הייתה: $$ z^3 = 1 $$ והפתרונות שלה הם: $$ \begin{align*} &z_1 = 1 \cdot cis(0) \\ &z_2 = 1 \cdot cis(120) \\ &z_3 = 1 \cdot cis(240) \end{align*} $$ נשרטט את כל הפתרונות במישור גאוס.

לכל הפתרונות, יש את אותו המודול, ולפיכך נמצאות במרחק זהה מראשית הצירים. כלומר, כולן נחות על אותו המעגל, בעל רדיוס 1 (המודול שלהם), שמרכזו בראשית הצירים.
שימו לב שבין כל שתי פתרונות יש זוית של 120 מעלות.
אם נחבר בין כל צמד פתרונות עוקבים, נקבל את השרטוט הבא.

הפתרונות יוצרים משולש שווה צלעות. קל להוכיח זאת, שכן מול זויות מרכזיות שוות נחים מיתרים שווים.

הדוגמא השנייה שפתרנו הייתה המשוואה: $$ z^4 = 16i $$ שהפתרונות שלה היו: $$ \begin{align*} &z_1 = 2 \cdot cis(22.5) \\ &z_2 = 2 \cdot cis(112.5) \\ &z_3 = 2 \cdot cis(202.5) \\ &z_4 = 2 \cdot cis(292.5) \\ \end{align*} $$

נשרטט את הפתרונות במישור גאוס.

ניתן לראות הרבה מאותם הדפוסים, שראינו עבור הפתרונות של המשוואה הקודמת.
ראשית, כל הפתרונות נמצאים על אותו המעגל, הפעם בעל רדיוס 2 (שכן זהו המודול של הפתרונות), שמרכזו בראשית הצירים. בנוסף ניתן לראות שגם פה, בין כל שני פתרונות עוקבים, יש זוית קבועה.
כאשר מחברים את כל הפתרונות מקבלים גם פה מצולע משוכלל (כלומר שכל זויותיו וצלעותיו שוות) , רק שהפעם זהו מרובע משוכלל, משמע ריבוע.

כשלמדנו בפרק קודם לפתור משוואות ממעלה n , התחלנו עם פתרון כללי. מהפתרון הכללי הזה ניתן להסיק את כל הדפוסים שראינו למעלה, עבור דוגמאות ספציפיות. ניתן לסכם את הדפוסים באופן הבא:

1. אנחנו יודעים שלמשוואה ממעלה n יהיו n פתרונות. מכאן שהפתרונות של משוואה ממעלה n ייצרו מצולע עם n צלעות.
2. אנחנו יודעים שלכל הפתרונות תמיד יש את אותו המודול, כלומר הם ימצאו במרחק זהה מראשית הצירים. מכאן ניתן להסיק שהם כולם ינוחו על אותו מעגל, שמרכזו בראשית הצירים, והרדיוס שלו הוא המודול שלהם.
3. ההפרש בין הארגומנטים של צמד פתרונות עוקבים הוא תמיד $ \frac{360}{n} $ , לפיכך הזוית המרכזית מול כל אחת מהצלעות של המצולע תהיה זהה, ומכאן ניתן להסיק שכל הצלעות תהיינה שוות.
4. מאחר והמצולע גם חסום בתוך מעגל, ניתן להוכיח שכל הזויות שלו שוות, מה שאומר שהוא מצולע משוכלל.

שורש ממעלה n

נניח שברצוננו לחשב את השורש החמישי של המספר המרוכב $ 4-4i $ .
במילים אחרות, אנחנו מחפשים מספר כלשהו, $ z $ , שיקיים: $$ z = \sqrt[5]{4-4i} $$ $$ \downarrow $$ $$ z^5 = 4- 4i $$

קיבלנו משוואה שאנחנו יודעים לפתור. ובאופן כללי אם אנחנו צריכים לחשב את $ \sqrt[n]{c} $   זה תמיד יתורגם למשוואה מהצורה: $$ z^n = c $$ שהפתרונות שלה יהיו השורשים שחיפשנו.

סדרות

בדיוק כפי שישנן סדרות המורכבות ממספרים ממשיים, כך ניתן ליצור סדרות המורכבות ממספרים מרוכבים. גם כאן נעסוק בעיקר בשתי סוגי סדרות: חשבוניות והנדסיות. כל הנוסחאות שאתם מכירים מסדרות של מספרים ממשיים, עדיין נכונות גם עבור סדרות של מספרים מרוכבים.

עבור סדרה חשבונית אתם צריכים להכיר את נוסחת האיבר הכללי: $$ a_n = a_1 + (n-1)d $$ ואת נוסחת הסכום: $$ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} $$

האיבר הכללי של סדרה הנדסית הוא: $$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $$ ונוסחת הסכום: $$ S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} $$

הגיאומטריה של סדרות מרוכבות

מאחר ומספרים מרוכבים חיים במישור דו-מימדי, ולא על ציר מספרים חד-מימדי כמו המספרים הממשיים, הסדרות שלהם בעלות מאפיינים גיאומטריים מעניינים.

הגיאומטריה של סדרות חשבוניות מאד פשוטה, כל האיברים נמצאים על ישר אחד. ניתן להוכיח זאת בקלות. נניח שיש לנו סדרה חשבונית $ a_n = x_n + iy_n $   שההפרש שלה הוא $ d = a + bi $ . נקח שני איברים בסדרה ונחשב את השיפוע של הישר המחבר ביניהם: $$ m = \frac{y_{n+1} - y_n }{x_{n+1} - x_n } = \frac{b}{a} $$ השיפוע אינו תלוי ב- n וזהה לכל צמד איברים ומכאן שהם כולם נמצאים על ישר אחד שהשיפוע שלו נקבע לפי היחס בין הרכיב המדומה והממשי של הפרש הסדרה.

הגיאומטריה של סדרות הנדסיות הרבה יותר מגוונת ומעניינת. ככלל, איברי הסדרה יוצרים ספירלה, כזאת היכולה להתרחב החוצה או להתכנס לעבר ראשית הצירים. תחת תנאים מיוחדים, אותם נראה בהמשך, ינוחו כל איברי הסדרה על מעגל או על קו ישר.

נניח שיש לנו סדרה הנדסית שהאיבר הראשון $ a_n $   שהאיבר הראשון שלה הוא: $ a_1 = r_1 cis \theta_1 $   , ושהמנה שלה הוא $ q = R cis \alpha $   האיבר הכללי של הסדרה יהיה: $$ \begin{align*} a_n &= a_1 \cdot q^{n-1} \\ &= r_1 cis(\theta_1) \cdot (Rcis\alpha)^{n-1}\\ &= r_1 cis(\theta_1) \cdot R^{n-1} \cdot cis[(n-1)\alpha] \\ &= r_1 R^{n-1} \cdot cis[\theta_1 + (n-1)\alpha] \end{align*} $$ הביטוי שקיבלנו הרבה יותר פשוט מכפי שהוא נראה.
נתחיל עם המודול, שמייצג להזכירכם את המרחק של המספר המרוכב מראשית הצירים. נחלק את הניתוח שלנו לשלושה מצבים:

1. $ R \lt 1 $ - במצב זה הביטוי $ R^{n-1} $ ילך וידעך לעבר אפס ככל שנתקדם באיברי הסדרה. כלומר איברי הסדרה ילכו ויתקרבו לעבר ראשית הצירים.
2. $ R = 1 $ - במצב זה מתקיים: $ R^{n-1} = 1 $ , והמודול של כל איברי הסדרה יהיה זהה, ושווה ל- $ r_1 $ .
   כלומר כל איברי הסדרה יהיו באותו המרחק מראשית הצירים, מה שאומר שהם ינוחו על אותו המעגל.
3. $ R \gt 1 $ - במצב זה קל לראות שהמודול ילך ויגדל ככל שנתקדם בסדרה, כלומר איברי הסדרה ילכו ויתרחקו מראשית הצירים.

כעת נבחן מה קורה לארגומנט (כלומר הזווית).
כל פעם שהאינדקס של הסדרה גדל ב-1 הזווית משתנה בארגומנט של מנת הסדרה- $ \alpha $ . כאשר הארגומנט הזה חיובי איברי הסדרה ינועו סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון, וכאשר הוא שלילי עם כיוון השעון.
קיימים שני מקרים מיוחדים , הראשון הוא כאשר הארגומנט של המנה הוא כפולה של 360, במצב כזה הארגומנט של כל איברי הסדרה יהיה זהה, ואיברי כל הסדרה יהיו על ישר אחד. מקרה שני הוא כאשר הארגומנט יהיה כפולה של 180, גם במצב זה האיברים ינוחו על אותו הישר אם כי הפיזור שלהם יראה שונה מאשר במקרה הראשון.

לאחר שניתחנו את שני הרכיבים, נוכל לקבל תמונה מלאה של המצבים השונים. נחלק את המצבים לפי הארגומנט והמודול של מנת הסדרה, שהם אלה שקובעים את הדינמיקה של פיזור האיברים. בשרטוטים למטה הנקודות מייצגות את איברי הסדרה והמספרים לידם את המיקום שלהם בסדרה. המצבים האפשריים הינם:

א) מודול חיובי וארגומנט שאינו כפולה של 180-
שימו לב ששרטוט זה מתאים לארגומנט שלילי, במצב של ארגומנט חיובי הספירלה תנוע בכיוון ההפוך, נגד כיוון השעון. המודול של המנה גדול מ-1 ולכן האיברים נמצאים על ספירלה שהולכת ומתרחקת מראשית הצירים.

ב) המודול הוא אחד וארגומנט שאינו כפולה של 180-
שימו לב ששרטוט זה מתאים לארגומנט חיובי, מה שגורם לתנועה נגד כיוון השעון. המודול של המנה הוא אחד ולכן יהיה זהה לכל איברי הסדרה.

ג) המודול קטן מ-1 והארגומנט אינו כפולה של 180-
שימו לב ששרטוט זה מתאים לארגומנט חיובי, מה שגורם לתנועה נגד כיוון השעון. המודול של המנה קטן מ-1 ולכן האיברים הולכים ומתקרבים לראשית הצירים בתנועה ספירלית.

ד) הארגומנט הוא כפולה של 180-
אם הארגומנט הוא גם כפולה של 360, אז לכל האיברים יהיה אותו ארגומנט והם ינוחו על אותו ישר. הפיזור שלהם על הישר תלוי במודול. כאשר המודול גדול מ-1 הם יתרחקו מראשית הצירים.
כאשר המודול שווה לאחד כל האיברים יהיו זהים ולכן יהוו רק נקודה בודדת במישור.
כאשר המודול קטן מ-1 הם יתכנסו לעבר ראשית הצירים.

אם הארגומנט הוא כפולה של 180 אך לא של 360 הנקודות גם יהיו על קו ישר. המודול יקבע כרגיל אם הנקודות יתרחקו או יתקרבו לראשית הצירים. ההבדל בין מקרה זה למקרה הקודם הוא שהנקודות ינועו לצד השני של הישר לסירוגין.

במקרה של מודול ששווה לאחד כל האיברים יהיו על אחת משתי נקודות. כל האיברים הזוגיים בנקודה אחת והאי-זוגיים בנקודה שנייה.