חדו"א- אסימפטוטות

מבוא אסימפטוטה אנכית אסימפטוטה אופקית אסימפטוטה משופעת מציאת אסימפטוטות נקודות חשובות

האסימפטוטה האופקית

כאשר מנסים למצוא אסימפטוטות אופקיות של פונקציה ישנן ארבע אפשרויות:

1. אין אסימפטוטת אופקיות
2. ישנה אסימפטוטה אופקית אחת אליה הפונקציה שואפת מכיוון יחיד
3. אסימפטוטה אופקית אחת אליה הפונקציה שואפת משני הכיוונים.
4. שתי אסימפטוטות אופקיות.

כל אחד מהמצבים שלעיל מודגם בגרפים למטה.

מצב 1: אין אסימפטוטה אופקית

במצב זה הפונקציה אינה שואפת לקבוע כאשר ה- $x$ שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

דוגמא :

מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה: $$f(x) = x^2 $$

פתרון

בשביל למצוא אסימפטוטות אופקיות כל שעלינו לעשות הוא לחשב את הגבולות הבאים:
$$\lim\limits_{x \to \infty} x^2 = \infty$$
$$\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 = \infty$$ מאחר והפונקציה לא שואפת לקבוע באף אחד מהכיוונים אזי שאין לפונקציה אסימפטוטה אופקית.

מצב 2: אסימפטוטה אחת שהפונקציה שואפת אליה מכיוון אחד

דוגמא 1:

מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה : $$f(x) = e^x + 1 $$

פתרון:

נחשב את הגבולות הבאים:
$$\lim\limits_{x \to \infty} e^x + 1 = \infty$$
$$\lim\limits_{x \to -\infty} e^x + 1 = 1$$ מאחר והפונקציה שואפת ל- $y = 1$ כאשר $x$ שואף למינוס אינסוף אזי שתהיה לפונקציה אסימפטוטה אחת אליה הפונקציה תשאף רק מכיוון אחד.


דוגמא 2:

מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה : $$f(x) = e^{-x} + 1 $$

פתרון:

נחשב את הגבולות הבאים:
$$\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x} + 1 = 1$$
$$\lim\limits_{x \to -\infty} e^{-x} + 1 = \infty $$ מאחר והפונקציה שואפת ל- $y = 1$ כאשר $x$ שואף למינוס אינסוף אזי שתהיה לפונקציה אסימפטוטה אחת אליה הפונקציה תשאף רק מכיוון אחד.

אסימפטוטה אופקית אחת עם שאיפה משני הכיוונים

דוגמא:

מצא את האסימפטוטות של הפונקציה: $$f(x) = \frac{1}{x} + 1 $$

פתרון:

נחשב את שני הגבולות: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} + 1 = 1$$ $$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x} + 1 = 1$$ כלומר הפונקציה שואפת ל- $y = 1$ משני הכיוונים.

שתי אסימפטוטות אופקיות

דוגמא:

מצא את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה: $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-2} } $$

פתרון:

נחשב את שני הגבלות: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-2} } = 1$$ $$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-2} }= -1$$ הפונקציה שואפת לקבוע שונה בכל אחד מן הכיוונים. לפיכך לפונקציה יהיו שתי אסימפטוטות אופקיות: $y=1$ ו- $y= -1$ .

אסימפטוטה משופעת

שימו לב כי האסימפטוטה האופקית היא למעשה רק מקרה פרטי של אסימפטוטה משופעת עם שיפוע אפס.

מציאת אסימפטוטות משופעות

המצבים האפשריים עבור אסימפטוטות משופעות זהה למצבים האפשריים עבור אסימפטוטות אופקיות אותם תיארנו למעלה. הדרך למצוא את האסימפטוטה לעומת זאת שונה במקצת.
אם נתונה לנו פונקציה $f(x) $ , נוכל למצוא את האסימפטוטות המשופעות שלה על ידי מציאת השיפוע והחותך עבורם מתקיים:

$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) - (mx + n) = 0 $
או
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) - (mx + n)= 0 $

דוגמא:

מצא את האסימפטוטות המשופעות של הפונקציה: $$f(x) = \frac{x^2}{x + 1} + 3 $$

פתרון:

נמצא את החותך והשיפוע שעבורם: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1} + 3 - (mx + n) = 0$$ נעשה מכנה משותף ונקבל: $$ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 -mx^2 - mx - nx -n + 3x +3 }{x + 1}$$ נחבר איברים דומים: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{(1-m)x^2 - (n+m-3)x -n + 3 }{x + 1} $$ הגענו לגבול של מנת פולינומים, כדי שהוא יהיה שווה לאפס אנחנו צריכים שהמעלה של המכנה תהיה גדולה מזו של המונה. לפיכך נדרוש שהמקדמים של $x$ ו- $x^2$ יתאפסו.
$$ \left. \begin{cases} 1-m = 0 \\ n + m - 3 = 0 \end{cases} \right. $$ $$ \left. \begin{cases} m = 1 \\ n + m - 3 = 0 \end{cases} \right. $$ נציב במשוואה השנייה ונקבל: $$n + 1 - 3 = 0 $$ $$n = 2$$ מצאנו אסימפטוטה משופעת אחת: $$y = x + 2 $$ כעת יש לבדוק אם יש ישר עבורו: $$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x + 1} + 3 - (mx + n) = 0 $$ שימו לב שהגבול עכשיו הוא : $x \rightarrow -\infty$ . נחזור על אותם הצעדים שביצענו למעלה ונקבל: $$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{(1-m)x^2 - (n+m-3)x -n + 3 }{x + 1} $$ הגענו לגבול של מנת פולינומים, כדי שהוא יהיה שווה לאפס אנחנו צריכים שהמעלה של המכנה תהיה גדולה מזו של המונה. לפיכך נדרוש שהמקדמים של $x$ ו- $x^2$ יתאפסו.
$$ \left. \begin{cases} 1-m = 0 \\ n + m - 3 = 0 \end{cases} \right. $$ זוהי בדיוק אותה מערכת משוואות שקיבלנו מקודם ולפיכך גם כאשר $x$ שואף למינוס אינסוף, הפונקציה שואפת לאותו ישר: $$y = x +2$$ כלומר יש לנו אסימפטוטה משופעת אחת שהפונקציה שואפת אליה משני הכיוונים.

מציאת אסימפטוטות - נקודות חשובות

בחלק זה אני רוצה להביא לכם כמה נקודות שימנעו מכם לעשות טעויות נפוצות:

1. לאחר שמצאתם את הנקודות החשודות לאסימפטוטות אנכיות חייבים לבדוק את הגבולות החד-צדדיים בנקודה. ראשית מאחר וכמו שנראה בהמשך לעיתים אין אסימפטוטה אנכית בנקודה חשודה. שנית מאחר וגם אם ישנה אסימפטוטה אנכית יש לבדוק את שני הגבולות החד-צדדיים כדי שנדע איך לצייר את גרף הפונקציה. אנחנו נראה מצבים בהם אחד הגבולות החד-צדדיים הוא הוא אינסוף / מינוס אינסוף והשני הוא סופי, נוכל לדעת זאת רק על ידי חישוב של שני הגבולות.
2. מאחר והאסימפטוטה האופקית היא מקרה פרטי של האסימפטוטה המשופעת, אם נחפש אסימפטוטות משופעות נמצא גם את האופקיות אם הן קיימות. כלומר אם חיפשנו את האסימפטוטות המשופעות אין צורך לנסות ולחפש אסימפטוטות אופקיות בנפרד.
3. אם חיפשנו אסימפטוטות אופקיות ומצאנו כי: $$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = a $$ אין צורך לבדוק קיומה של אסימפטוטה משופעת כאשר $x$ שואף לאינסוף מאחר והפונקציה לא יכולה לשאוף לשני ישרים שונים במקביל.

מציאת אסימפטוטות - נקודות חשובות

בחלק זה אני רוצה להביא לכם כמה נקודות שימנעו מכם לעשות טעויות נפוצות:

1. לאחר שמצאתם את הנקודות החשודות לאסימפטוטות אנכיות חייבים לבדוק את הגבולות החד-צדדיים בנקודה. ראשית מאחר וכמו שנראה בהמשך לעיתים אין אסימפטוטה אנכית בנקודה חשודה. שנית מאחר וגם אם ישנה אסימפטוטה אנכית יש לבדוק את שני הגבולות החד-צדדיים כדי שנדע איך לצייר את גרף הפונקציה. אנחנו נראה מצבים בהם אחד הגבולות החד-צדדיים הוא הוא אינסוף / מינוס אינסוף והשני הוא סופי, נוכל לדעת זאת רק על ידי חישוב של שני הגבולות.
2. מאחר והאסימפטוטה האופקית היא מקרה פרטי של האסימפטוטה המשופעת, אם נחפש אסימפטוטות משופעות נמצא גם את האופקיות אם הן קיימות. כלומר אם חיפשנו את האסימפטוטות המשופעות אין צורך לנסות ולחפש אסימפטוטות אופקיות בנפרד.
3. אם חיפשנו אסימפטוטות אופקיות ומצאנו כי: $$\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = a $$ אין צורך לבדוק קיומה של אסימפטוטה משופעת כאשר $x$ שואף לאינסוף מאחר והפונקציה לא יכולה לשאוף לשני ישרים שונים במקביל.