חדו"א- תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול

הגדרת הקמירות והקעירות הקשר בין הנגזרת השנייה לקמירות וקעירות נקודת פיתול מציאת תחומי קמירות וקעירות

תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול

הגדרות בנקודה

1. קמירות בנקודה (קמירות כלפי מעלה)
   הפונקציה $f(x) $ קמורה בנקודה $x_0$ אם קיימת סביבה של הנקודה $x_0$ בה הגרף של הפונקציה נמצא מעל המשיק בנקודה.
   
   
   הפונקציה $f(x) $ קמורה כלפי מעלה בנקודה $x_0$ מאחר וישנה סביבה של הנקודה בה הפונקציה נמצאת מעל המשיק.
   שימו לב שעבור ערכי $x$ מסויימים המשיק נמצא מעל הפונקציה , בשביל שפונקציה תהיה קמורה בנקודה היא לא חייבת להיות מעל המשיק לכל ערך של $x$ אלא רק בסביבה קטנה מספיק סביבה.

   


2. קעירות בנקודה (קמירות כלפי מטה)
   הפונקציה $f(x) $ קעורה בנקודה $x_0$ אם קיימת סביבה של הנקודה $x_0$ בה הגרף של הפונקציה נמצא מתחת המשיק בנקודה.
   
   
   הפונקציה $f(x) $ קמורה כלפי מטה בנקודה $x_0$ מאחר וישנה סביבה של הנקודה בה הפונקציה נמצאת מתחת המשיק.
   שימו לב שעבור ערכי $x$ מסויימים המשיק נמצא מתחת הפונקציה , בשביל שפונקציה תהיה קעורה בנקודה היא לא חייבת להיות מתחת המשיק לכל ערך של $x$ אלא רק בסביבה קטנה מספיק סביבה.

   

הגדרה בתחום

1. קמירות בתחום- פונקציה $f(x) $ קמורה בקטע $(a, b) $ אם היא קמורה בכל נקודה בקטע .
2. קעירות בתחום- פונקציה $f(x) $ קעורה בקטע $(a, b) $ אם היא קעורה בכל נקודה בקטע .

לדוגמא, בגרף למטה, הפונקציה קמורה (קמורה כלפי מעלה) בקטע $(-4, 0) $ , הפונקציה קעורה (קמורה כלפי מטה) בקטע $(0, 5) $ .

הקשר בין הנגזרת השנייה לקמירות וקעירות

משפט:

אם $f''(x) \gt 0$ לכל $x$ בקטע אזי שהיא קמורה בקטע.
אם $f''(x) \lt 0 $ לכל $x$ בקטע אזי שהיא קעורה בקטע. הסבר למשפט: ההבדל המהותי בין פונקציה קמורה לקעורה הוא קצב השינוי של השיפוע. השיפוע של פונקציה קמורה הולך וגדל, בעוד שהשיפוע של פונקציה קעורה הולך ויורד.
קל לראות זאת על ידי העברה של שני משיקים לפונקציה.

השיפוע של המשיק שווה לנגזרת בנקודת ההשקה. לפיכך בגרף השמאלי בו מצויירת הפונקציה הקמורה ניתן להסיק מגידול בשיפוע המשיקים שהנגזרת עולה, בעוד שבגרף הימני בו מצויירת הפונקציה הקעורה הנגזרת כמו שיפועי המשיקים יורדת.

הנקודה הזו מספיקה בשביל להבין את המשפט. ניתן לתאר את ההקש הלוגי בקצרה בגרף הבא.

נקודות פיתול

הגדרה

נאמר כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת פיתול ב- $x_0$ אם:

1. הפונקציה רציפה ב- $x_0$ .
2. הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה או להפך סביב $x_0$ .

לפונקציה הבא יש נקודת פיתול ב- $x = 2$ , משמאל לנקודת הפיתול הפונקציה קמורה ולימינה היא קעורה.



משפט:
אם לפונקציה f(x) יש נקודת פיתול ב- $x_0$ ונגזרתה השנייה רציפה אזי שחייב להתקיים: $f''(x_0)= 0 $

משפט זה מתאר קשר דומה לזה הקיים בין הנגזרת הראשונה לנקודות קיצון.
שימו לב שגם כאן המשפט ההפוך אינו נכון, כלומר אם הנגזרת השנייה מתאפסת בנקודה אין זה אומר שלפונקציה יש נקודת פיתול.

ההיגיון שעומד מאחורי שני המשפטים זהה כמעט לחלוטין. מאחר ובנקודת פיתול הפונקציה הופכת מקמורה לקעורה או להפך אזי שהנגזרת השנייה משנה את סימנה סביב הנקודה, כלומר הופכת מחיובית לשלילית או להפך. מאחר והנגזרת השנייה רציפה אזי שהיא חייבת לעבור דרך האפס בדיוק בנקודת הפיתול.

ניתן להבין את ההיגיון בקלות אם בוחנים את הגרפים הבאים המתארים את הקשר בין גרף הפונקציה לנגזרתה השנייה.

עבור ערכי $x$ שליליים הפונקציה קמורה ולכן הנגזרת השנייה חיובית, ועבור ערכי $x$ חיוביים הפונקציה קעורה ולכן הנגזרת השנייה שלילית. מאחר והיא רציפה היא חייבת לעבור באפס בדיוק בנקדות הפיתול. אם הנגזרת השנייה לא הייתה רציפה היא הייתה יכולה לקפוץ מערכים חיוביים לשליליים מבלי לעבור באפס. דוגמא לכזאת התנהגות ניתן לראות בגרף הבא:

מצא נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה

השיטה

נוכל למצוא תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול של כל פונקציה על פי השלבים הבאים:

1. נחשב את הנגזרת השנייה $f''(x) $
2. נפתור את המשוואה: $f''(x) = 0 $
3. נמצא את כל הנקודות בהן הפונקציה והנגזרת השנייה לא מוגדרות.
4. נצייר את הטבלה:
   
   הערכים: $x_1, x_2, x_3, ... , x_n$ הם הערכים שמאפסים את הנגזרת השנייה (כלומר הערכים שמצאנו בשלב 2) , והערכים שבהם הפונקציה והנגזרת השנייה אינן מוגדרות (כלומר הערכים שמצאנו בשלב 3) . אם הפונקציה או הנגזרת השנייה אינן מוגדרות בקטע מסויים נציב בטבלה את גבולות הקטע.
5. בכל אחד מהקטעים $(-\infty, x_1), (x_1,x_2), (x_2,x_3) ... (x_n, \infty) $ נציב נקודת בוחן בנגזרת השנייה ונבדוק את סימנה.
6. בכל קטע בו הנגזרת השנייה חיובית הפונקציה קמורה ובכל קטע בו היא שלילית הפונקציה קעורה. נזהה את הערכים בהם ישנה נקודת פיתול על פי שינוי הסימן של הנגזרת השנייה סביבם. שימו לב שהפונקציה חייבת להיות מוגדרת בשיעור $x$ מסויים בשביל שתהיה בו נקודת פיתול.

הערות ודגשים

1. אנחנו מציבים בטבלה את הערכים בהם הפונקציה והנגזרת השנייה אינן מוגדרות. כאשר הן אינן מוגדרות על פני תחום מסויים, נציב את גבולות התחום הזה. לדוגמא, אם נתונה לנו הפונקציה $f(x) = \sqrt{x^2-4} $ , המוגדרת ל- $-2 \leq x \leq 2$ נציב בטבלה את הערכים $2$ ו- $-2$ . זיכרו שאין צורך לבדוק את הסימן של הנגזרת השנייה בין הנקודות הללו מאחר והפונקציה אינה מוגדרת שם.
2. זיכרו כי בכל נקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת, הנגזרת השנייה אינה מוגדרת גם כן אך ההפך אינו נכון, כלומר ייתכן שהנגזרת השנייה לא תהיה מוגדרת בנקודה בה הפונקציה מוגדרת. לפיכך נוכל למצוא את כל הערכים הרלוונטיים לבניית הטבלה על ידי חישוב הערכים בהם הנגזרת השנייה אינה מוגדרת, משום שהם יכילו כבר את הערכים בהם הפונקציה אינה מוגדרת. מדוע אם כן, אנחנו צריכים למצוא את תחום ההגדרה של הפונקציה והנגזרת השנייה בנפרד? הסיבה העיקרית לכך היא ששלפונקציה אין נקודת פיתול בערכים בהם היא לא מוגדרת, אך יכולה להיות לה נקודת פיתול כאשר הפונקציה מוגדרת והנגזרת השנייה אינה מוגדרת.

דוגמאות

דוגמא: מצב את תחומי הקמירות והקעירות ונקודות הפיתול של הפונקציה: $$f(x) = x^3 $$

פתרון

נעקוב אחרי השלבים המתוארים למעלה. ראשית נגזור את הפונקציה פעמיים: $$f'(x) = 3x^2 $$ נפתח סוגריים ונחבר איברים דומים: $$f''(x) = 6x $$ נמצא את הנקודות שמאפסות את הנגזרת: $$6x = 0$$ $$x = 0$$

הפונקציה כמו גם הנגזרת השנייה מוגדרות לכל $x$ .
נצייר את הטבלה: מהטבלה ניתן ללמוד כי הפונקציה קעורה עבור ערכי$x$ שליליים וקמורה עבור ערכי $x$ חיוביים.
לפונקציה יש נקודת פיתול ב- $x = 0$ .