חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
הגדרת הנגזרת
הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x_0$ אותה נסמן כ- $f'(x_0)$ מוגדרת באופן הבא: $$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} $$אם נסמן: $\Delta x = x - x_0$ נוכל לכתוב את הגדרת הנגזרת באופן הבא: $$f'(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
נשתמש בהגדרת הנגזרת על מנת לחשב את הנגזרת של מספר פונקציות פשוטות.
דוגמא 1:
חשב באמצעות ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה: $f(x) = c$ כאשר $c$ הוא קבוע כלשהו.
פתרון :
$$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{c - c}{\Delta x} = 0 $$
מסקנה :הנגזרת של כל קבוע היא אפס.
דוגמא 2:
חשב באמצעות ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה: $f(x) = x$
פתרון :
$$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{x + \Delta x - x}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ \Delta x}{\Delta x} = 1 $$
דוגמא 3:
חשב באמצעות ההגדרה את הנגזרת של הפונקציה: $f(x) = x^2$
פתרון :
$f'(x) =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ (x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ x^2 + 2x\Delta + \Delta^2 - x^2}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ x^2 + 2x\Delta x+ (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}=\\ \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ \Delta x (2x + \Delta x) }{\Delta x} =\lim\limits_{\Delta x \to 0} 2x + \Delta x = 2x $
שימו לב: הנגזרת היא גם פוננקציה של$x$.
הנגזרת והמשיק
נתונה פונקציה
$f(x)$
.
נמתח קו בין שתי נקודות על גרף הפונקציה: $(x, f(x))$ ו- $(x_0,f(x_0))$ . השיפוע של הישר אותו נסמן ב- $m$ יהיה שווה ל: $$m = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$ הביטוי שלעיל דומה מאד להגדרה של הנגזרת, למעשה הנגזרת של הפונקציה בנקודה היא הגבול של השיפוע כאשר $x$ שואף ל- $x_0$ : $$f(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} m =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$
נמתח קו בין שתי נקודות על גרף הפונקציה: $(x, f(x))$ ו- $(x_0,f(x_0))$ . השיפוע של הישר אותו נסמן ב- $m$ יהיה שווה ל: $$m = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$ הביטוי שלעיל דומה מאד להגדרה של הנגזרת, למעשה הנגזרת של הפונקציה בנקודה היא הגבול של השיפוע כאשר $x$ שואף ל- $x_0$ : $$f(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} m =\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$
דמיינו לכם שהנקודה
$x$
נעה לעבר
$x_0$
כמו בגרף משמאל.
נחבר קו בין כל אחת מהנקודות לבין
$x_0$
ונקבל סדרה של ישרים.
הנגזרת היא השיפוע של הקו שסדרת הישרים הללו שואפת אליו: המשיק בנקודה
$x_0$
.
מסקנה: השיפוע של המשיק שווה לערך של הנגזרת בנקודה.
מסקנה: השיפוע של המשיק שווה לערך של הנגזרת בנקודה.
דוגמא
נתונה פונקציה: $f(x) = x^2$ .
מצא את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה בה $x= 2$ .
פתרון
ראשית, נמצא את נקודת ההשקה. אנחנו יודעים ששיעור ה- $x$ שלה הוא 2, נמצא את שיעור ה- $y$ על ידי הצבה בפונקציה: $$f(2) = 2^2 = 4$$ ולפיכך נקודת ההשקה היא: $(2,4)$ . מאחר ושיפוע המשיק שווה לערך של הנגזרת בנקודת ההשקה אז השיפוע של המשיק אותו נסמן ב- $m$ צריך להיות: $$m = f'(2)$$ אנחנו יודעים כי הנגזרת של הפונקציה היא: $$f'(x) = 2x$$ ומכאן ש: $$m = f'(2) = 2*2 = 4$$ כלומר משוואת המשיק היא מהצורה: $$y = 4x + n$$ כל שנותר הוא לחשב את החותך- $n$ . נקודת ההשקה נמצאת כמובן על גרף המשיק ולכן צריכה לקיים את משוואת הישר: $$4 = 4 * 2 + n$$ $$n = -4$$ ומשוואת המשיק תהיה: $$y = 4x - 4$$
הנגזרת ותחומי עלייה וירידה
המשפט שלהלן יאפשר לנו להשתמש בנגזרת על מנת למצוא את תחומי העלייה והירידה של פונקציות:משפט:
תהא $f(x)$ פונקציה שנגזרתה מוגדרת בקטע $(a, b)$ אז:
$f'(x) \geq 0 $ לכל $x$ בקטע $\longleftrightarrow$ הפונקציה עולה בקטע
$f'(x) \leq 0 $ לכל $x$ בקטע $\longleftrightarrow$ הפונקציה יורדת בקטע
כלומר, אם הנגזרת של פונקציה חיובית בקטע מסויים אז ניתן להסיק שהיא עולה בו, בעוד שאם היא שלילית ניתן להסיק שהיא יורדת.
כעת ננסה לתת הסבר פשוט להיגיון שעומד מאחורי המשפט והדגמה לשימוש בו על מנת למצוא את תחומי העלייה והירידה של פונקציה.
הסבר למשפט
משיק לפונקציה בתחום בו היא יורדת, יורד גם הוא, כלומר השיפוע שלו שלילי.
מאחר והנגזרת בנקודת ההשקה שווה לשיפוע המשיק אזי שגם הנגזרת תהיה שלילית.
משיק לפונקציה בתחום בו היא עולה, עולה גם הוא, כלומר השיפוע שלו חיובי. מאחר והנגזרת בנקודת ההשקה שווה לשיפוע המשיק אזי שגם הנגזרת תהיה חיובית.
משיק לפונקציה בתחום בו היא עולה, עולה גם הוא, כלומר השיפוע שלו חיובי. מאחר והנגזרת בנקודת ההשקה שווה לשיפוע המשיק אזי שגם הנגזרת תהיה חיובית.
דוגמא:
מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה: $$f(x) = x^2$$
פתרון:
כבר חישבנו את הנגזרת של הפרבולה הזו ומצאנו שהיא: $$f'(x) = 2x$$ אנחנו יודעים מהמשפט שלעיל כי הפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית, לפיכך על מנת למצוא את התחומים בהם הפונקציה עולה נפתור את אי השיוויון: $$2x \gt 0$$ $$x \gt 0$$ ומכאן שהפונקציה עולה בתחום $(0,\infty)$ . בדיוק באותו האופן נמצא את התחומים בהם הפונקציה יורדת על ידי פתרון של אי השיוויון: $$2x \lt 0$$ $$x \lt 0$$ כלומר הפונקציה יורדת בתחום: $(-\infty , 0)$ .
כללי נגזרות
-
מכפלה בקבוע
נתונה הפונקציה: $$h(x) = c f (x)$$ כאשר $c$ הוא קבוע. הנגזרת תהיה: $$h'(x) = [c f (x)]' = cf'(x)$$
דוגמא:
חשב את הגבול של: $$h(x) = 3x$$
פתרון:
נשתמש בכלל המכפלה בקבוע: $$h'(x) = [3x]' = 3 [x]'$$ הנגזרת של $x$ היא 1 , נציב ונקבל: $$h'(x) = 3*1 = 3$$ -
נגזרת של סכום
נתונה הפונקציה: $$h(x) = f(x) + g(x) $$ הנגזרת היא: $$h'(x) = [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $$ ניתן לסכם את הכלל כך: נגזרת של סכום שווה לסכום הנגזרות.
דוגמא:
חשב את הנגזרת של הפונקציה: $$h(x) = x + x^2 $$
פתרון:
נשתמש בכלל הסכום ונקבל: $$h'(x) = [x + x^2]' = [x]' + [x^2]' $$ נציב את הנגזרות של $x$ ו- $x^2$ : $$h'(x) = 1 + 2x $$ -
נגזרת של מכפלה
נתונה הפונקציה: $$h(x) = f(x)g(x) $$ הנגזרת שלה תהיה: $$h'(x) = [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
דוגמא:
חשב את הנגזרת של הפונקציה: $$h(x) = x x^2 $$
פתרון:
נשתמש בכלל המכפלה: $$h'(x) = [x x^2]' = [x]'x^2 + x [x^2]' $$ נציב את הנגזרות של $x$ ו- $x^2$ : $$h'(x) = 1*x^2 + x* 2x = x^2 + 2x^2 = 3x^2 $$ -
נגזרת של מנה
נתונה הפונקציה: $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $$ הנגזרת תהיה: $$h'(x) = [\frac{f(x)}{g(x)}]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x) }{g^2(x)} $$ דוגמא:
חשב את הנגזרת של הפונקציה: $$ h(x) = \frac{1}{x} $$
פתרון:
נשתמש בכלל המנה: $$ h'(x) = [\frac{1}{x}]' = \frac{ [1]'x - 1[x]' }{x^2} $$ הנגזרת של כל קבוע היא אפס, נציב ונקבל: $$ h'(x) = \frac{ 0*x - 1*1 }{x^2} = -\frac{1}{x^2} $$
נגזרת של $x^n$
נתונה הפונקציה: $$f(x) = x^n$$ נגזרתה תהיה נתונה בנוסחא: $$ f'(x) = nx^{n-1}$$ הנוסחא נכונה לכל $n$ .דוגמא 1:
חשב את הנגזרת של: $$f(x) = x^3$$
פתרון:
נשתמש בנוסחא שלעיל, עם $n = 3$ ונקבל: $$f'(x) = 3x^2$$
דוגמא 2:
חשב את הנגזרת של: $$f(x) = 3x^4 + 4x^2 + 4 $$
פתרון:
ראשית נשתמש בכלל הסכום, שאומר שנגזרת של סכום שווה לסכום הנגזרות: $$f'(x) = [3x^4 + 4x^2 + 4]' = [3x^4]' + [4x^2]' + [4]' $$ הנגזרת של כל קבוע היא אפס ולכן האיבר האחרון יעלם (כלומר$[4]' =0$) . נשתמש בכלל המכפלה בקבוע ונקבל: $$f'(x) = 3[x^4]' + 4[x^2]' $$ נגזור את האיברים על פי הנוסחא: $$[x^4]' = 4x^3$$ $$[x^2]' = 2x$$ נציב : $$f'(x) = 3*4x^3 + 4*2x = 12x^3 + 8x $$
דוגמא 3:
חשב את הנגזרת של: $$f(x) = \frac{1}{x} $$
פתרון:
ראשית נשתמש בכללי חזקות על מנת להציג את הפונקציה באופן קצת שונה: $$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} $$ כעת נוכל להשתמש בנוסחא עם $n=-1$ (זכרו כי הנוסחא נכונה לכל מספר) : $$f'(x) = -1x^{-2} = -x^{-2} $$
דוגמא 3:
חשב את הנגזרת של: $$f(x) = \sqrt{x}$$
פתרון:
ראשית נשתמש בכללי חזקות על מנת להציג את הפונקציה באופן קצת שונה: $$f(x) = \sqrt{x} = x^{0.5} $$ כעת נוכל להשתמש בנוסחא עם $n=0.5$ (זכרו כי הנוסחא נכונה לכל מספר) : $$f'(x) = 0.5x^{0.5-1} = 0.5x^{-0.5} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
נגזרות של פונקציות טריגונומטריות
שתי הנגזרות הבסיסיות ביותר שיש לדעת הן: $$[\sin x ]' = \cos x$$ $$[\cos x]' = - \sin x $$ מאחר ומתקיים: $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$ נוכל לחשב את הנגזרת של $\tan x$ באמצעות שימוש בנגזרת של מנה:
$ [\tan x]' = \frac{ [\sin x]'\cos x - \sin x [\cos x]' }{\cos^2 x}
= \frac{ [\cos x \cos x - \sin x (-\sin x) }{\cos^2 x} =\frac{ \cos^2 x + \sin^2 x }{\cos^2 x}
$
ואם נשתמש בזהות הטריגונומטרית:
$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$
נקבל את התוצאה הסופית:
$$\tan x = \frac {1}{\cos^2 x} $$
מאחר ו-
$\tan x$
היא פונקציה נפוצה מן הראוי שתזכרו את נגזרתה בעל פה.
הנגזרת הטריגונומטרית האחרונה שנזכיר היא של $\cot x = \frac{1}{\tan x} $ ניתן כמובן לחשב את הנגזרת שלה באמצעות כללי נגזרות, אך נשאיר זאת לכם וניתן לכם את התוצאה הסופית: $$[\cot x]' = -\frac{1}{\sin^2 x} $$
דוגמא 1:
חשב את הנגזרת של : $$f(x) = 3\sin x $$
פתרון:
$$f'(x) = 3\cos x $$
דוגמא 2:
חשב את הנגזרת של : $$f(x) = \frac{1}{\sin x} $$
פתרון:
נשתמש בכלל נגזרת של מנה: $$f'(x) = \frac{ [1]'\sin x - 1[\sin x]' }{\sin^2 x} = -\frac{ \cos x }{\sin^2 x}$$
נגזרת של פונקציה מעריכית
פונקציה מעריכית היא כל פונקציה מהצורה: $$f(x) = a^x $$ כאשר $a$ הוא מספר חיובי.הנגזרת שלה תהיה: $$ f'(x) = (\ln a) a^x $$ מקרה מיוחד הוא כאשר $a= e$ $e$ הוא קבוע אוילר) : $$[e^x]' = \ln e e^x = e^x $$
זהו אומנם מקרה פרטי של הפונקציה המעריכית, אך ברוב המכריע של המקרים זוהי הפונקציה בה נתעסק.
דוגמא 1:
גזור את הפונקציה: $$f(x) = 3^x $$
פתרון:
$$f'(x) = \ln (3) 3^x $$
דוגמא 2:
גזור את הפונקציה: $$f(x) = xe^x $$
פתרון:
נשתמש בכלל נגזרת של מכפלה: $$f'(x) = [x]'e^x + x[e^x]' = e^x + xe^x $$
נגזרת של פונקציה לוגריתמית
פונקציה לוגריתמית היא פונקציה מהצורה: $$f(x) = \log_a x $$ כאשר $a$ הוא קבוע חיובי.נגזרתה של פונקציה לוגריתמית נתונה בנוסחא: $$f'(x) = \frac{log_a e}{x} $$ כאשר $e$ הוא קבוע אוילר.
מקרה מיוחד מתקבל כאשר $a = e$ , זכרו שלוגריתם בבסיס קבוע אוילר מסומן ב- $\ln$ ולכן הפונקציה תכתב כך: $$f(x) = \ln x $$ נגזור על פי הנוסחא ונקבל: $$f'(x) = \frac{log_e e}{x} = \frac{1}{x} $$ שימו לב כי השתמשנו בעובדה כי : $log_e e = \ln e = 1$ למרות שזהו רק מקרה פרטי של הפונקציה לוגריתמית, ה- $\ln x$ תהיה הפונקציה הלוגריתמית בה נתקבל ברוב המקרים.
דוגמא 1:
גזור את הפונקציה: $$f(x) = \log_4 x $$
פתרון:
נגזור על פי הנוסחא: $$f'(x) = \frac{log_4 e}{x} $$
דוגמא 2:
גזור את הפונקציה: $$f(x) = x \ln x$$
פתרון:
נגזור על פי נגזרת של מכפלה: $$ f'(x) = [x]'\ln (x) + x [\ln (x)]' = \ln (x) + x \frac{1}{x} =\ln (x) + 1 $$
כלל השרשרת
כלל השרשרת מאפשר לנו לגזור פונקציות מורכבות.נתונה לנו הפונקציה המורכבת $h(x) = f(g(x)) $ הנגזרת שלה תהיה: $$ h'(x)= f'(g(x))g'(x) $$ האיבר הראשון מכונה הנגזרת החיצונית בעוד שהאיבר השני מכונה הנגזרת הפנימית.
נבחן לרגע מצב בו עולה הצורך להשתמש בכלל זה.
נניח שנתונות לנו שתי פונקציות: $f(x) = x^3 $ ו- $g(x) = 2x -1 $ , אנחנו יודעי לגזור את כל אחת מהפונקציות הללו בנפרד:
$g'(x) = 2 $
$ f'(x) = 3x^2 $
אך כיצד נוכל לגזור את פונקציה שהיא הרכבה של שתי הפונקציות שלעיל, כמו לדוגמא:
$$h(x) = f \circ g (x) = f(g(x)) = (2x - 1)^3 $$
הדרך היחידה לגזור את הפונקציה היא שימוש בכלל השרשרת:
$$h'(x) = f'(g(x))g'(x) = 3(2x-1)^2 2 = 6(2x-1)^2 $$
בדוגמא שלעיל היה נתון לנו מראש מהן הפונקציות המרכיבות את $h(x) $ אך בפועל יינתנו לנו פונקציות ואנחנו נצטרך לזהות בעצמנו שהן פונקציות מורכבות ואילו פונקציות מרכיבות אותן.
השימוש בנוסחא תמיד יעבוד, אך זוהי לא הדרך הכי נוחה לחשוב על שימוש בכלל השרשרת. הדרך הנוחה יותר תהיה לכתוב את הפונקציה באופן הבא: $$h(x) = g^3 $$ בשלב הראשון נגזור כאילו כמו שהיינו גוזרים את הפונקציה $x^3$ ואז מכפילים בנגזרת הפנימית: $$h'(x) = 3g^2g' = 6(2x-1)^2 $$ וקיבלנו את אותה התוצאה.
דוגמא 1:
חשב את הנגזרת של הפונקציה: $$f(x) = \sqrt{2x^3 + 7} $$
פתרון:
ראשית נציג את הפונקציה באופן הבא: $$f(x) = \sqrt{2x^3 + 7} = (2x^3 + 7)^{0.5} $$ נסמן $g(x) = 2x^3 + 7 $ נציב: $$f(x) = g^0.5 $$ בשלב הראשון נגזור כמו שהיינו גוזרים את $x^0.5$ ואז נכפול בנגזרת הפנימית: $$f'(x) = 0.5g^{-0.5}g' $$ נחשב את הנגזרת הפנימית: $$g'(x) = 6x^2 $$ נציב : $$f'(x) = 0.5(2x^3+7)^{-0.5}6x^2 = \frac{3x^2}{(2x^3+7)^{0.5}} $$
דוגמא 1:
חשב את הנגזרת של הפונקציה: $$f(x) = (3x^4+12x + 2)^8 $$
פתרון:
נסמן $g(x) = 3x^4+12x + 2 $ נציב: $$f(x) = g^8 $$ בשלב הראשון נגזור כמו שהיינו גוזרים את $x^8$ ואז נכפול בנגזרת הפנימית: $$f'(x) = 8g^7g' $$ נחשב את הנגזרת הפנימית: $$g'(x) = 12x^3+12 $$ נציב : $$f'(x) = 8(3x^4+12x + 2)^7 (12x^3 + 12) $$
דוגמא 1:
חשב את הנגזרת של הפונקציה: $$h(x) = \sin^2 {2x} $$
פתרון:
נסמן $g(x) = \sin {2x} $ נציב: $$h(x) = g^2 $$ בשלב הראשון נגזור כמו שהיינו גוזרים את $x^2$ ואז נכפול בנגזרת הפנימית: $$h'(x) = 2gg' $$ הפונקציה $g(x) $ מורכבת אף היא , ולכן נצטרך להשתמש בכלל השרשרת על מנת לגזור אותה. נסמן: $$f(x) = 2x $$ ולכן: $$g(x) = \sin f $$ בשלב הראשון נגזור את הפונקציה כמו שהיינו גוזרים את הפונקציה: $\sin x$ ואז נכפול בנגזרת הפנימית: $$g'(x) = \cos f f' $$ הנגזרת הפנימית הינה: $$f'(x) = 2 $$ נציב חזרה ב- $g'(x) $ : $$g'(x) =2 \cos {2x} $$ והנגזרת המקורית: $$h'(x) = 2\sin {2x} 2 \cos{2x} = 4 \sin {2x} \cos {2x}$$
כלל לופיטל
משפט:נניח שברצוננו לחשב את הגבול $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ .
אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:
אז מתקיים : $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $
דוגמא 1:
חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} $$
פתרון:
הגבול של המונה הוא: $\lim\limits_{x \to \infty} x = \infty$ בעוד שהגבול של המכנה: $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$ זהו גבול מהצורה $\frac{\infty}{\infty} $ , ומכאן שניתן להשתמש כאן בכלל לופיטל: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{[x]'}{[e^x]'} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0 $$
דוגמא 2:
חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} $$
פתרון:
הגבול של המונה הוא: $\lim\limits_{x \to \infty} x^2 = \infty$ בעוד שהגבול של המכנה: $\lim\limits_{x \to \infty} e^x = \infty$ זהו גבול מהצורה $\frac{\infty}{\infty} $ , ומכאן שניתן להשתמש כאן בכלל לופיטל: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{[x^2]'}{[e^x]'} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$$ הגבול החדש שהתקבל - $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$ הוא מהצורה $\frac{\infty}{\infty} $ ולכן ניתן להשתמש בכלל לופיטל: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{[2x]'}{[e^x]'} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} = 0$$
מציאת משיק לגרף דרך נקודה שאינה עליו
נתונה פונקציה, $f(x)$ , ונקודה כלשהו $(x,y)$ שאינה על הגרף של $f(x)$ . בחלק זה נדגים כיצד נוכל למצוא את כל המשיקים לגרף של $f(x)$ העוברים בנקודה $(x,y)$ .דוגמא:
מצא את כל המשיקים לגרף הפונקציה $f(x) = x^2$ העוברים בנקודה $(0,-1)$ .
פתרון:
נסמן את שיעור ה- $x$ של נקודת ההשקה בתור $a$ . מאחר ונקודת ההשקה נמצאת על גרף הפונקציה, הרי ששיעור ה- $y$ שלה תהיה $f(a) = a^2$ ומכאן שנקודת ההשקה היא $(a, a^2)$ . יש לנו שתי נקודות על המשיק, נקודת ההשקה $(a,a^2)$ והנקודה $(0,-1) $ . נחשב באמצעות שתי הנקודות את השיפוע של הישר: $$m = \frac{a^2 + 1}{a-0 } = \frac{a^2 + 1}{a } $$ השיפוע של המשיק שווה לערך של הנגזרת בנקודת ההשקה : $$m = f'(a) $$ $$m = 2a$$ נשווה בין שני הביטויים לשיפוע ונקבל: $$2a = \frac{a^2 + 1}{a}$$ $$2a^2 = a^2 + 1$$ $$a^2 = 1$$ $$a = \pm 1$$ כלומר יש לנו שני משיקים, הראשון ב- $x =1$ והשני ב- $x = -1$ . השיפוע של המשיק ב- $x=1$ יהיה: $$m = 2a = 2*1 = 2$$ השיפוע של המשיק ב- $x=-1$ יהיה: $$m = 2a = 2*(-1) = -2$$ שני הישרים עוברים בנקודה $(0, -1) $ ומכאן שהחתוך של שני הישרים הוא $-1$ , ולפיכך המשיק הראשון הוא: $$y = 2x - 1$$ והחותך השני: $$y = -2x -1$$