חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי
מבוא לחקירת פונקציה
הנושא של חקירת פונקציה הוא הסיכום של כל מה שלמדנו בתחום החשבון הדיפרנציאלי. בחקירת פונקציה נקבל איזושהי פונקציה ונדרש להשתמש בכלים שרכשנו על מנת למצוא את:- תחום ההגדרה
- נקודות החיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות
- תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
- תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול
- גרף הפונקציה
שאר הפרק הזה יוקדש להדגמה של חקירת פונקציות מסוגים שונים.
חקירת פולינומים
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה הבאה: $$f(x) = x^2 + 3x - 4 $$ פתרון:-
תחום הגדרה
הפונקציה מוגדרת לכל x . -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר ה- x
בנקודת החיתוך עם ציר ה- x מתקיים f(x) = 0 ולכן: $$x^2 + 3x - 4 = 0$$ פתרונות המשוואה הם: $$x_1 = 1$$ $$x_2 = -4$$
לפיכך נקודות החיתוך עם ציר ה- x הן: (1,0) ו-(-4, 0) .
ציר ה- y
בנקודת החיתוך עם ציר ה- y מתקיים x = 0 ולכן נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y באופן הבא: $$f(0) = 0^2 + 3 * 0 - 4 = -4 $$ ונקודת החיתוך עם ציר ה- y היא (0, -4) . -
אסימפטוטות
לפולינומים אין אסימפטוטות אופקיות או אנכיות. -
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
ראשית נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = x^2 + 3x - 4 $$ $$f'(x) = 2x + 3 $$ נמצא את הערכים בהם הנגזרת מתאפסת: $$f'(x) = 0 $$ $$2x + 3 = 0$$ $$x = -1.5 $$ נבנה את הטבלה שלנו. להזכירכם לטבלה צריך להכניס את הערכים שמאפסים את הנגזרת, ואת הערכים שבהם הנגזרת לא מוגדרת:הפונקציה עוברת מירידה לעלייה ב- x = -1.5 ומאחר והפונקציה מוגדרת בנקודה אזי שהיא מקבלת שם מינימום. נחשב את את שיעור ה- y של נקודת המינימום על ידי הצבה בפונקציה: $$f(-1.5) = (-1.5)^2 + 3*(-1.5) - 4 = -6.25 $$ ומכאן שנקודת המינימום הינה: (-1.5, -6.25) .
תחומי עלייה: x > -1.5 .
תחומי ירידה: x < -1.5 .
-
תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול
ראשית נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = 2x + 3 $$ $$f''(x) = 2 $$ הנגזרת השנייה חיובית לכל ערך של x ומכאן שהפונקציה קמורה כלפי מעלה לכל x . -
גרף הפונקציה
דוגמא 2:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = 4x^3 + 3x^2 -6x - 1$$-
תחום הגדרה
הפונקציה מוגדרת לכל x . -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר ה- x
$$4x^3 + 3x^2 -6x - 1 = 0$$ זו משוואה ממעלה שלישית ולכן נצטרך לפתור אותה על ידי ניחוש של פתרון יחיד ופירוק לגורמים.
ראשית, נזהה ש- x= 1 הוא פתרון של המשוואה. שימו לב שכאשר מנחשים פתרון זה יהיה בדר"כ: $$x = \pm 1, \pm 2$$ נוכל לפרק את הביטוי כך: $$4x^3 + 3x^2 -6x - 1 = (x-1)4x^2 + (x-1)7x + (x-1) \\= (x-1)(4x^2+7x+1) $$ נציב זאת חזרה במשוואה ונקבל: $$(x-1)(4x^2+7x+1) = 0$$ המשוואה תתקיים אםx-1 = 0 או 4x2+7x+1 = 0
הפתרונות יהיו:x1 = 1 x2 = -0.16 x3 = -1.59
ציר ה-y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x= 0 בפונקציה: $$f(0)= 4*0^3 + 3*0^2 -6*0 - 1 = -1$$ ולכן נקודת החיתוך עם ציר ה- y היא: (0, -1) . -
אסימפטוטות
לפולינומים אין לעולם אסימפטוטות. -
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
ראשית נגזור את הפונקציה: $$f(x) = 4x^3 + 3x^2 -6x - 1$$ $$f'(x) = 12x^2 + 6x - 6$$ נמצא את הערכים בהם הנגזרת מתאפסת: $$f'(x) = 0$$ $$12x^2 + 6x - 6 = 0$$ ופתרונות המשוואה הם: $$x_1 = 0.5$$ $$x_2 = -1$$ נצייר את הטבלה:
תחומי עלייה:
x < -1 או x > ½תחומי ירידה:
$$ -1 \lt x \lt \frac{1}{2} $$ נקודת מקסימום: (-1, 4)
נקודת מינימום: (½, -2.75) . -
תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול
ראשית נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = 12x^2 + 6x - 6 $$ $$f''(x) = 24x + 6 $$ נמצא את הערכים בהם הנגזרת השנייה מתאפסת: $$f''(x) = 0 $$ $$24x + 6 = 0$$ $$x = -\frac{1}{4} $$ נצייר את הטבלה:
תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$x \gt -\frac{1}{4} $$ תחומי קעירות (קמירות כלפי מטה) : $$x \lt -\frac{1}{4} $$ נקודת פיתול בודדת: $$(-\frac{1}{4}, 0.625) $$ .
-
גרף הפונקציה
חקירת מנת פולינומים
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} $$-
תחום ההגדרה
תחום ההגדרה יכלול את את כל המספרים מלבד אלה שיאפסו את המכנה. נמצא את הערכים הללו באמצעות פתרון המשוואה: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ נפתור את המשוואה באמצעות נוסחת השורשים ונקבל שני פתרונות: x1 = 4 ו- x2 = 2 . מכאן שתחום ההגדרה יהיה: $$x \neq 2, 4$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר ה-x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x , על ידי פתרון המשוואה: $$ 0= \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8}$$ נכפול את שני האגפים במכנה ונקבל: $$x^2 - 2x + 1 = 0$$ נפתור את המשוואה הריבועית באמצעות נוסחת השורשים ונקבל פתרון בודד: x = 1 . כלומר נקודת החיתוך עם ציר ה- x היא (1,0) .
ציר ה-y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 ונקבל: $$f(0) = \frac{0^2 - 2*0 + 1}{0^2 - 6*0 + 8} = \frac{1}{8} $$ ומכאן שנקודת החיתוך עם ציר ה- y היא: (0, ⅛) . -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נמצא את האסימפטוטה האופקית על ידי חישוב הגבולות: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} = 1$$ $$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} = 1$$ השתמשתי במה שאנחנו יודעים בנוגע לגבולות של מנת פולינומים. מאחר והמעלה של הפולינום במונה ובמכנה זהה אזי שהגבול שווה ליחס בין המקדמים של x2 במונה ובמכנה ונקבל ששני הגבולות שווים ל-1 .
לסיכום, לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית אחת: y=1 .
אסימפטוטה אנכית
יש לנו שני ערכי x החשודים לאסימפטוטות אנכיות, אלו הערכים שמאפסים את המכנה: x1 = 4 ו- x2 = 2 . נקבע אם ישנה אסימפטוטה בכל אחד מהערכים הללו באמצעות חישוב הגבולות החד-צדדיים בערכים החשודים.
נתחיל ב- x = 4 : $$\lim \limits_{x \to 4^+} f(x) =\lim \limits_{x \to 4^+} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} = \infty$$ $$\lim \limits_{x \to 4^-} f(x) =\lim \limits_{x \to 4^-} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} = -\infty$$ בשני הגבולות שלעיל, המונה שואף ל-9 והמכנה שואף לאפס ומכאן שהגבול יהיה שווה לאינסוף או למינוס אינסוף. הסימן של הגבול נקבע על פי הסימן של המונה והמכנה. מחישוב הגבולות שלעיל ניתן להסיק כי x= 4 היא אסימפטוטה אנכית.
נחזור החישוב שלעיל עבור x = 2 : $$\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) =\lim \limits_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} = -\infty$$ $$\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) =\lim \limits_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} = \infty$$ ומכאן שגם x= 2 היא אסימפטוטה אנכית.
לסיכום, לפונקציה שלנו יש שתי אסימפטוטות אנכיות: x= 2, 4 . -
נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה
ראשית נחשב את הנגזרת: $$f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 6x + 8} $$ $$ f'(x) = \frac{(2x-2)(x^2-6x+8) - (x^2 - 2x + 1)(2x - 6) }{(x^2 - 6x + 8)^2 } $$ $$f'(x) = \frac{-4x^2+ 14x - 10}{(x^2 - 6x + 8)^2} $$ כעת נחשב את הערכים שמאפסים את הנגזרת הראשונה על ידי פתרון של המשוואה: $$f'(x) = 0$$ $$\frac{-4x^2+ 14x - 10}{(x^2 - 6x + 8)^2} = 0 $$ נכפול את שני האגפים במכנה ונקבל: $$-4x^2+ 14x - 10 = 0$$ קיבלנו משוואה ריבועית פשוטה שאותה נוכל לפתור על ידי נוסחת השורשים ונקבל שני פתרונות: $$x_1 = 2.5$$ $$x_2 = 1$$ כעת עלינו לצייר את הטבלה. הערכים שנכניס הם הערכים שמאפסים את הנגזרת הראשונה והערכים בהם הנגזרת הראשונה לא מוגדרת. מצאנו את הערכים שמאפסים את הנגזרת למעלה, ובנוגע לערכים בהם הנגזרת לא קיימת הרי שהם בדיוק אותם ערכים בהם הפונקציה המקורית לא מתקיימת מאחר והמכנה של שתיהן זהה. לפיכך הטבלה תראה כך:
תחומי העלייה: $$1 \lt x \lt 2 ~~~ or ~~~ 2 \lt x \lt 2.5$$ תחומי הירידה: $$ x \lt 1 ~~~ or ~~~ 2.5 \lt x \lt 4 ~~~ or ~~~ x \gt 4$$ נקודות מקסימום: $$(2.5, -3) $$ נקודות מינימום: $$(1, 0) $$
-
גרף הפונקציה
דוגמא 2:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{x-3}{x^2 - x - 6} $$-
תחום הגדרה
נמצא את הערכים שמאפסים את המכנה: $$x^2 - x - 6 = 0$$ נפתור את המשוואה הריבועית באמצעות נוסחת השורשים ונקבל שני פתרונות: $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -2$$
ומכאן שתחום ההגדרה של הפונקציה היא: $$x \neq 3, -2$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר ה-x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$0 = \frac{x-3}{x^2 - x - 6}$$ נכפול את שני האגפים במכנה ונקבל: $$x- 3 = 0$$ $$x = 3$$ אך שימו לב, כי הפונקציה אינה מוגדרת בערך זה. לפיכך למשוואה אין אף פתרון ולפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x .
ציר ה-y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$f(0) = \frac{0-3}{0^2 - 0 - 6} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} $$ כלומר נקודת החיתוך עם ציר ה- y היא (0, ½ ) . -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נחשב את שני הגבולות הבאים: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x-3}{x^2 - x - 6} = 0$$ $$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{x-3}{x^2 - x - 6} = 0$$ שימו לב שהגבולות שווים לאפס מאחר והמעלה של הפולינום במונה נמוכה מזו של זה במכנה.
אסימפטוטה אנכית
שני הערכים שמאפסים את המכנה , x = 3 ו- x = -2 , הם החשודים לאסימפטוטה אנכית. מאחר ו- x = 3 מאפס את המונה, לא תהיה אסימפטוטה אנכית בערך זה אלא רק חור בגרף הפונקציה. לסיכום, לפונקציה תהיה אסימפטוטה אנכית בודדת: x = -2 . -
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
לפני הכל נשים לב שהמונה והמכנה מתאפסים ב- x = 3 , מאחר והפונקציה שלנו היא מנת פולינומים ניתן להסיק כי ניתן לצמצם את המונה והמכנה. אנחנו יודעים את השורשים של הביטוי הריבועי במכנה ולכן נוכל לפרק אותו לפי טרינום ונקבל: $$f(x) = \frac{x-3}{x^2 - x - 6} = \frac{x-3}{(x + 2)(x - 3) } = \frac{1}{x + 2} $$ כעת נחשב את הנגזרת: $$f(x) = \frac{1}{x + 2} $$ $$f'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2 } $$ מאחר ובמכנה הביטוי נמצא בריבוע הוא תמיד יהיה חיובי, ולפיכך המינוס שלפני הנגזרת יהפוך אותה לשלילית עבור כל ערך של x , כלומר: $$f'(x) \lt 0 $$ מאחר והנגזרת תמיד שלילית אזי שהפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה. -
תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2 } $$ $$f''(x) = \frac{2}{(x+2)^3 } $$ הנגזרת השנייה לא מתאפסת באף ערך של x (הדרך היחידה ששבר יתאפס היא אם המונה שלו מתאפס אך במקרה שלנו המונה קבוע) .
הנגזרת השנייה לא מוגדרת בשני ערכים $$x_1 = -2 ~~~~~ x_2 = 3$$ הערך הראשון מאפס את המכנה ולכן ברור מדוע הנגזרת השנייה לא תהיה מוגדרת בו, אך מהיכן מגיע הערך השני?
זכרו כי צמצמנו את הביטוי x - 3 במונה ובמכנה, הצמצום עזר לפשט את החישובים אך הפונקציה שלנו היא הפונקציה המקורית והיא אינה מוגדרת ב- x = 3 . מאחר והפונקציה אינה מוגדרת ב- x = 3 אזי שהנגזרות שלה לא יהיו מוגדרות בערך זה. נשרטט את הטבלה:תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$-2 \lt x \lt 3 ~~ or ~~ x \gt 3$$ תחומי קעירות (קמירות כלפי מטה) : $$x \lt -2 $$ שימו לב כי למרות שהפונקציה הופכת מקמורה לקעורה סביב x = -2 אין זו נקודת פיתול מאחר והפונקציה אינה מוגדרת שם.
-
גרף הפונקציה
חקירת פונקציות עם שורשים
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \sqrt{x} $$-
תחום הגדרה
שורש מוגדר רק עבור ערכים לא שליליים, ולכן הפונקציה תוגדר רק עבור ערכים בהם הביטוי בתוך השורש גדול או שווה לאפס. במקרה שלנו תחום ההגדרה יהיה: $$x \geq 0$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x נפתור את המשוואה: $$ 0 = \sqrt{x} $$ $$ x = 0$$ ומכאן שלפונקציה נקודת חיתוך בודדת עם ציר ה- x שהיא: (0, 0 ) .ציר y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בתוך הפונקציה ונקבל: $$ f(0) = \sqrt{0}$$ $$f(0) = 0$$ ומכאן שנקודת החיתוך עם ציר ה- y הינה: (0,0) . -
אסימפטוטות
לפונקציה אין כלל אסימפטוטות. -
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = \sqrt{x} $$ $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} } $$ הנגזרת חיובית בכל תחום הגדרתה ולכן הפונקציה עולה תמיד. -
תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} } $$ $$f''(x) = - \frac{1}{4x\sqrt{x}} $$ הנגזרת השנייה שלילית בכל תחום הגדרתה ולכן היא תמיד קמורה כלפי מטה. -
גרף הפונקציה
דוגמא 2:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \sqrt{9 - x^2} $$-
תחום הגדרה
כדי שמספר יהיה בתחום ההגדרה של הפונקציה הוא חייב לקיים: $$9-x^2 \geq 0 $$ נפתור את אי השיוויון הריבועי ונקבל : $$ -3 \leq x \leq 3$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה הבאה: $$\sqrt{9-x^2} = 0 $$ $$9-x^2 = 0 $$ $$x = \pm 3 $$ ומכאן שלפונקציה יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- x : $$(-3,0) ~~ ; ~~ (3,0)$$ .
ציר ה-y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$f(0) = \sqrt{9-0^2} = 3 $$ ומכאן שנקודת החיתוך עם ציר ה- y היא : $$ (0,3)$$ -
אסימפטוטות
לפונקציה אין אסימפטוטות. -
מציאת תחומי עלייה וירידה ומציאת נקודות קיצון
נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = \sqrt{9-x^2} $$ $$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{9-x^2} } (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{9-x^2} } $$ נמצא את הערכים שיאפסו את הנגזרת על ידי פתרון המשוואה: $$-\frac{x}{\sqrt{9-x^2}} = 0 $$ $$x = 0 $$ כפלנו את שני האגפים במכנה וקיבלנו מיידית את הפתרון של המשוואה. כעת נשרטט את הטבלה בה נציב את הערכים בהן הנגזרת הראשונה מתאפסת או לא מוגדרת.תחומי עלייה: $$-3 \lt x \lt 0 $$ תחומי ירידה: $$0 \lt x \lt 3 $$ נקודת מקסימום: (0, 3)
-
תחומי קמירות וקעירות ומציאת נקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{9-x^2} } $$ $$f''(x) =- \frac{1(\sqrt{9-x^2}) + x(\frac{x}{\sqrt{9-x^2} }) }{9-x^2} $$ $$f''(x) = - \frac{9}{(9-x^2)^2 } $$ הנגזרת השנייה שלילית לכל x ולפיכך הפונקציה קמורה כלפי מטה בכל תחום הגדרתה. -
גרף הפונקציה
חקירת פונקציית מנה עם שורשים
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x} - 1 } $$-
תחום הגדרה
ראשית מאחר ויש לנו שורש נדרוש: $$x \geq 0$$ מאחר ויש לנו מנה נדרוש: $$ \sqrt{x} - 1 \neq 0$$ ולסיכום, תחום ההגדרה הוא: $$0 \leq x \lt 1 ~~~ or ~~~ x \gt 1$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$\frac{x}{\sqrt{x}-1 } = 0$$ $$x = 0$$ ציר y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$f(0) = \frac{0}{\sqrt{0}-1 } = 0 $$ -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נמצא את האסימפטוטות האופקיות על ידי חישוב הגבול: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x} -1 } $$ נחלק את המונה והמכנה בשורש x ונמצא: $$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x} -1 } = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{1 - \frac{1}{\sqrt{x}}} = \infty$$ ומכאן ניתן ללמוד כי אין אסימפטוטה אופקית. שימו לב כי חישבנו רק גבול אחד מאחר והפונקציה לא מוגדרת עבור ערכים שליליים.
אסימפטוטה אנכית
הערך החשוד לאסימפטוטה אנכית הוא זה שמאפס את המכנה, כלומר x = 1 . נחשב את הגבולות החד-צדדיים: $$\lim \limits_{x \to 1^+} f(x) =\lim \limits_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x} -1 } = \infty $$ $$\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim \limits_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{x} -1 } = -\infty $$ ומכאן שיש לפונקציה אסימפטוטה אנכית אחת: $$x =1$$ -
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
ראשית נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x} - 1 } $$ $$f'(x) = \frac{1(\sqrt{x} -1) - x(\frac{1}{2\sqrt{x}} ) }{(\sqrt{x}-1)^2 } = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1 }{(\sqrt{x}-1)^2 } $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת הראשונה: $$\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1 = 0 $$ $$\sqrt{x} = 2 $$ $$x = 4 $$ הנגזרת לא מוגדרת ב- x = 1 ולכן גם ערך זה יהיה בטבלה:תחומי עלייה: $$x \gt 4$$ תחומי ירידה: $$0 \lt x \lt 1 ~~~ or ~~~ 1 \lt x \lt 4$$ נקודת מינימום: (4,4) .
-
תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{x} - 1 }{(\sqrt{x}-1)^2 } $$ $$f''(x) = \frac{\frac{1}{4\sqrt{x}} (\sqrt{x} -1 )^2 + (1-\frac{1}{2}\sqrt{x})(\frac{1}{2\sqrt{x}})2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} -1) } $$ $$f''(x) = \frac{3 - \sqrt{x}}{4(\sqrt{x} - 1)^3 }$$ נמצא את הערכים בהם הנגזרת השנייה מתאפסת: $$3- \sqrt{x} = 0 $$ $$x = 9 $$ הנגזרת השנייה לא מוגדרת ב- x = 1 ולכן ערך זה גם יכלל בטבלה.תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$1 \lt x \lt 9 $$ . תחומי קעירות (קמירות כלפי מעלה) : $$x \gt 9 ~~~ or ~~~ 0 \lt x \lt 1$$ נקודות פיתול: $$(9,4.5)$$ שימו לב כי ב- x=1 אין נקודת פיתול מאחר והפונקציה אינה מוגדרת בערך זה.
-
גרף הפונקציה
דוגמא 2:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{x}{x - \sqrt{x}} $$-
תחום הגדרה
נדרוש שהביטוי בתוך השורש יהיה לא שלילי: $$x \geq 0$$ כמו כן נמצא את הערכים שמאפסים את המכנה: $$x - \sqrt{x} = 0$$ $$\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) = 0 $$ ויש לנו שני פתרונות : $$x_1 = 0 ~~~ x_2 = 1$$ לסיכום, תחום ההגדרה הוא: $$0 \lt x \lt 1 ~~~ or ~~~ x \gt 1$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נפתור את המשוואה: $$0 = \frac{x}{x - \sqrt{x}} $$ אם נכפול במכנה נקבל: $$x= 0$$ אך פתרון זה נפסל מאחר והפונקציה אינה מוגדרת בערך זה. לפיכך, למשוואה שלעיל אין פתרון ולפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר x .
ציר y
לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה- y מאחר והיא אינה מוגדרת ב- x = 0 . -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נמצא את האסימפטוטות האופקיות על ידי חישוב הגבול: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{x - \sqrt{x}} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{x}}}= 1 $$ ומכאן שיש לפונקציה אסימפטוטה אופקית y=1 .
שימו לב שלא חישבנו את הגבול בכיוון השני מאחר והפונקציה אינה מוגדרת עבור ערכים שליליים.
אסימפטוטה אנכית
ישנם שני ערכים חשודים לאסימפטוטה אנכית, x = 0 ו- x = 1 , שני הערכים שמאפסים את המכנה. נתחיל עם x = 1 ונחשב את הגבולות החד-צדדיים: $$\lim \limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim \limits_{x \to 1^+} \frac{x}{x - \sqrt{x}} = \infty $$ $$\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim \limits_{x \to 1^-} \frac{x}{x - \sqrt{x}} =- \infty $$ ומכאן שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית : x = 1 .
נחשב את הגבול הימני ב x = 0 : $$\lim \limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x - \sqrt{x}} = \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{x(x + \sqrt{x}) }{(x - \sqrt{x})(x + \sqrt{x})} = \\ \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{x(x + \sqrt{x}) }{x^2 - x} = \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{x + \sqrt{x}}{x - 1} = 0 $$ שימו לב, שאנחנו מחשבים רק את הגבול מימין מאחר והפונקציה כלל אינה מוגדרת עבור ערכים שליליים.
מאחר והערך של הגבול הוא מספר סופי הרי שלפונקציה אין אסימפטוטה אנכית בערך זה.
לסיכום, לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת: $$x= 1$$ -
תחומי עלייה וירידה ומציאת נקודות קיצון
ראשית נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = \frac{x}{x - \sqrt{x}} $$ $$f'(x) = \frac{1(x - \sqrt{x}) - x(1- \frac{1}{2\sqrt{x}})}{(x - \sqrt{x})^2} = \frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})^2} $$ הנגזרת תמיד שלילית, ומכאן שהפונקציה תמיד יורדת. -
תחומי קמירות וקעירות
נחשב את הנגזרת השניה: $$f'(x) = \frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})^2} $$ $$f''(x) = \frac{-\frac{1}{4\sqrt{x}}(x - \sqrt{x})^2 + \frac{1}{2}\sqrt{x}*2(x-\sqrt{x})(1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}) }{(x - \sqrt{x})^4} \\= \frac{-\frac{1}{4}\sqrt{x} + \frac{1}{4} + \sqrt{x} - \frac{1}{2} } {(x - \sqrt{x})^3} = \frac{\frac{3}{4} \sqrt{x} - \frac{1}{4} }{(x -\sqrt{x})^3} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת השנייה: $$\frac{3}{4} \sqrt{x} - \frac{1}{4} = 0 $$ $$x = \frac{1}{9} $$ הנגזרת השנייה לא מוגדרת עבור x = 1 ולכן ערך זה יהיה בטבלה.תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$x \gt 1 ~~~ or ~~~ 0 \lt x \lt \frac{1}{9}$$
תחומי קעירות (קמירות כלפי מטה) : $$\frac{1}{9} \lt x \lt 1 $$ נקודת פיתול: $$(\frac{1}{9}, -\frac{1}{2}) $$ -
גרף הפונקציה
חקירת פונקציות טריגונומטריות
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \sin(x) $$ בתחום: $$0 \leq x \leq 2\pi$$-
תחום הגדרה
הפונקציה מוגדרת לכל מספר. -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$\sin(x) = 0 $$ ונקבל שתי קבוצות של פתרונות: $$x = 2\pi k $$ $$x = \pi + 2\pi k $$ נחפש את הערכים הנמצאים בתחום הרלוונטי: $$[0, 2\pi] $$
זכרו כי k יכול לקבל רק ערכים שלמים, חיוביים ושליליים. נמצא כי ישנם שלושה ערכים הנמצאים בתחום : $$x_1 = 0 ~~ x_2 = \pi ~~ x_3 = 2\pi$$
ציר y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$f(0) = \sin(0) = 0 $$ -
אסימפטוטות
לפונקציה אין אסימפטוטות. -
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = \sin (x) $$ $$f'(x) = \cos (x) $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת על ידי פתרון המשוואה: $$\cos (x) = 0 $$ נקבל שתי קבוצות של פתרונות: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $$ $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $$ נמצא את הערכים הנמצאים בתחום הרלוונטי: $x_1 = \frac{\pi}{2} ~~ x_2 = 1.5\pi $תחומי עלייה: $$0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} $$ ו- $$\frac{3\pi}{2} \lt x \lt 2\pi $$
תחומי ירידה: $$\frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{3\pi}{2} $$ נקודת מקסימום: $$(\frac{\pi}{2}, 1) $$ נקודת מינימום: $$(\frac{3\pi}{2}, -1) $$ . -
תחומי קמירות וקעירות ומציאת נקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = \cos (x) $$ $$f''(x) = -\sin (x) $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת השנייה: $$f''(x) = 0 $$ $$-\sin (x) = 0 $$ $$\sin (x) = 0 $$ כבר פתרנו את המשוואה הזאת לעיל ומצאנו את הפתרונות: $$x_1 = 0 ~~ x_2 = \pi ~~ x_3 = 2\pi$$תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$\pi \lt x \lt 2\pi$$ תחומי קעירות (קמירות כלפי מטה) : $$0 \lt x \lt \pi $$ נקודת פיתול: $$(\pi, 0)$$
-
גרף הפונקציה
דוגמא 2:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{1}{\sin (x) \cos (x)} $$ בתחום: $$- \frac{\pi}{2} \lt x \lt \frac{\pi}{2} $$-
תחום הגדרה
ראשית נשתמש בזהות הטריגונומטרית: $$\frac{1}{2} \sin (2x) = \sin (x) \cos (x) $$ נציב בפונקציה שלנו ונקבל: $$f(x) = \frac{2}{\sin (2x)} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את המכנה: $$\sin (2x) = 0 $$ קבוצת הפתרונות הראשונה תהיה: $$ 2x = 2\pi k $$ $$x = \pi k $$ קבוצת הפתרונות השנייה: $$2x = \pi + 2\pi k$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k $$ ישנו רק פתרון אחד בתחום הרלוונטי: $$x = 0$$ לסיכום תחום ההגדרה של הפונקציה יהיה: $$x \neq 0$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה- x נפתור את המשוואה: $$\frac{2}{\sin (2x)} = 0$$ למשוואה אין פתרונות, ומכאן שלפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה- x .
ציר ה-y
לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה- y מאחר והיא אינה מוגדרת ב- ב- x = 0 . -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
על מנת למצוא את האסימפטוטות האופקיות יש לחשב את הגבולות : $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{2}{\sin (2x)}$$ $$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) =\lim \limits_{x \to -\infty} \frac{2}{\sin (2x)}$$ שני הגבולות לא קיימים מאחר והפונקציה מחזורית ואינה מתקרבת לאף מספר סופי אלא רק חוזרת על עצמה.
לסיכום, לפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות.
אסימפטוטה אנכית
ערכים חשודים לאסימפטוטות אנכיות הם הערכים שמאפסים את המכנה. הערך היחיד שמאפס את המכנה בתחום הוא אפס. נחשב את הגבולות החד-צדדיים: $$\lim \limits_{x \to 0^+} f(x) =\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{2}{\sin (2x)} = \infty$$ $$\lim \limits_{x \to 0^-} f(x) =\lim \limits_{x \to 0^-} \frac{2}{\sin (2x)} = -\infty$$ כלומר, לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית x = 0 .
המכנה מתאפס גם ב- ±π/2 ערכים אלה הם בדיוק הגבולות של תחום ההגדרה שלנו ולכן יעניין אותנו רק גבול בכיוון אחד, הכיוון בו הפונקציה מוגדרת. במקרה של π/2 יעניין אותנו רק הגבול השמאלי: $$\lim \limits_{x \to (\frac{\pi}{2} )^-} f(x) =\lim \limits_{x \to (\frac{\pi}{2} )^-} \frac{2}{\sin (2x)} = \infty$$ כלומר, לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $$x = \frac{\pi}{2} $$ במקרה של -π/2 יעניין אותנו רק הגבול הימני: $$\lim \limits_{x \to (-\frac{\pi}{2} )^+} f(x) =\lim \limits_{x \to (-\frac{\pi}{2} )^+} \frac{2}{\sin (2x)} = \infty$$ כלומר, לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $$x = - \frac{\pi}{2} $$ לסיכום, לפונקציה יש 3 אסימפטוטות אנכיות בתחום: $$x_1 = 0 ~~ x_2 = \frac{\pi}{2} ~~ x_3 = -\frac{\pi}{2}$$ שימו לב, כי ניתן ללמוד עיקרון חשוב מחלק זה. גם אם הקצוות של תחום החקריה אינם נמצאים בתחום, כמו ש ±π/2 לא היו בתחום, עדיין יש לבדוק אם יש בהן האסימפטוטות אנכיות. -
תחומי עלייה וירידה ומציאת נקודות קיצון
נחשב את הנגזרת הראשונה $$ f(x) = \frac{2}{\sin (2x)} $$ $$f'(x) = -\frac{4 \cos (2x)}{ \sin^2 (2x) } $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת: $$-\frac{4 \cos (2x)}{ \sin^2 (2x)} = 0 $$ נכפול את שני האגפים במכנה ונקבל: $$\cos (2x) = 0$$ הפתרונות של המשוואה יהיו: $$2x =\pm \frac{\pi}{2} + 2\pi k $$ $$x =\pm \frac{\pi}{4} + \pi k $$ ישנם שני פתרונות למשוואה בתחום הרלוונטי: $$x_1 = \frac{\pi}{4} ~~ x_2 = -\frac{\pi}{4}$$ הנגזרת הראשונה לא מוגדרת ב- x = 0 , ומכאן שגם ערך זה יהיה בטבלה.תחומי עלייה: $$-\frac{\pi}{2} \lt x \lt -\frac{\pi}{4} ~~ or ~~ \frac{\pi}{4} \lt x \lt \frac{\pi}{2}$$ תחומי ירידה: $$-\frac{\pi}{4} \lt x \lt 0 ~~ or ~~ 0 \lt x \lt \frac{\pi}{4} $$
נקודות מקסימום: $$(-\frac{\pi}{4}, -2)$$
נקודת מינימום: $$(\frac{\pi}{4}, 2 ) $$ -
תחומי קמירות וקעירות ומציאת נקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = -\frac{4 \cos (2x)}{ \sin^2 (2x) } $$ $$f''(x) = \frac{8\sin^2 (2x) +16 \cos^2 (2x)}{\sin^3 (2x)} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת השנייה: $$8\sin^2 (2x) +16 \cos^2 (2x) = 0$$ $$\sin^2 (2x) + 2\cos^2 (2x) = 0$$ נשתמש בזהות - $$\sin^2 (2x) = 1 - \cos^2 (2x) $$ ונקבל: $$1 - \cos^2 (2x) + 2\cos^2 (2x) = 0 $$ $$\cos^2 (2x) = -1 $$ למשוואה אין פתרונות ולכן אין אף ערך שמאפס את הנגזרת השנייה.
הנגזרת השנייה לא מוגדרת ב- x = 0 ולכן זה יהיה הערך היחיד בטבלה:תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$0 \lt x \lt \frac{\pi}{2} $$ תחומי קעירות (קמירות כלפי מטה) : $$-\frac{\pi}{2} \lt x \lt 0 $$
-
גרף הפונקציה
חקירת פונקציה מעריכית
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{e^x}{x-2} $$-
תחום הגדרה
נמצא את הערכים שמאפסים את המכנה: $$x - 2 = 0$$ $$ x= 2 $$ ומכאן שתחום ההגדרה של הפונקציה: $$x \neq 2 $$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$\frac{e^x}{x-2} = 0 $$ נכפול את שני האגפים במכנה ונקבל: $$e^x = 0 $$ ביטוי מעריכי לא יכול להתאפס לעולם ומכאן שלמשוואה זו אין אף פתרון. לסיכום, לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר x .
ציר y
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$f(0) = \frac{e^0}{0-2} = -\frac{1}{2} $$ -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נמצא את האסימפטוטות האופקיות על ידי חישוב הגבולות: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) =\lim \limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{x-2} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{e^x}{1} = \infty $$ $$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) =\lim \limits_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x-2} = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{e^x}{1} = 1 $$ השתמשנו בכלל לופיטל על מנת לחשב את הגבולות. לסיכום, לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית אחת y = 1 .
אסימפטוטה אנכית
הערך החשוד לאסימפטוטה אנכית הוא הערך שמאפס את המכנה: x = 2 . נבדוק אם מדובר באסימפטוטה אנכית על ידי חישוב הגבולות החד צדדיים : $$\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) =\lim \limits_{x \to 2^+} \frac{e^x}{x-2} = \infty $$ $$\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) =\lim \limits_{x \to 2^-} \frac{e^x}{x-2} = -\infty $$ ומכאן שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת x = 2 . -
תחומי עלייה וירידה ומציאת נקודות קיצון
ראשית נחשב את הנגזרת של הפונקציה: $$ f(x) = \frac{e^x}{x-2} $$ $$f'(x) = \frac{e^x(x-2) - e^x*1 }{(x-2)^2 } = \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת: $$ \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2} = 0$$ $$e^x(x-3) = 0 $$ $$ x-3 = 0$$ $$x = 3 $$ הנגזרת אינה מוגדרת ב- x = 2 ולכן גם ערך זה יוכנס לטבלה:תחומי עלייה: $$ x \gt 3 $$ .
תחומי ירידה: $$2 \lt x \lt 3 ~~ or ~~ x \lt 2$$ נקודת מינימום: $$(3, e^3) $$ -
תחומי קמירות וקעירות ומציאת נקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = \frac{e^x(x-3)}{(x-2)^2}$$ $$f''(x) = \frac{ (e^x(x-3) + e^x)(x-2)^2 -2(x-2)e^x(x-3) }{(x-2)^4} $$ $$ f''(x) = \frac{e^x(x^2-6x+10) }{(x-2)^3 } $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת השנייה : $$ x^2-6x+10 = 0$$ למשוואה הריבועית הזו אין פתרונות ומכאן שאין ערכים עבורם הנגזרת השנייה מתאפסת . הנגזרת השנייה לא מוגדרת ב- x = 2 , ולכן נכניס את הערך הזה לטבלה.
-
גרף הפונקציה
דוגמא 2:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = (x+3)e^{\frac{1}{x-1}} $$-
תחום ההגדרה
תחום ההגדרה הוא: $$x \neq 1$$ . -
מציאת נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$ (x+3)e^{\frac{1}{x-1}} = 0$$ $$x + 3 = 0 $$ $$ x = -3$$ ציר y
נמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$f(0) = (0 + 3)e^{\frac{1}{0-1}} = \frac{3}{e} $$ -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נמצא את האסימפטוטות האופקיות על ידי חישוב הגבולות: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) =\lim \limits_{x \to \infty} (x+3)e^{\frac{1}{x-1}} = \infty$$ $$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) =\lim \limits_{x \to -\infty} (x+3)e^{\frac{1}{x-1}} = -\infty$$ ומכאן שאין אסימפטוטות אופקיות.
אסימפטוטות אנכיות
הערך החשוד כאסימפטוטה אנכית הוא x = 1 , מאחר והוא מאפס את המכנה במעריך. נבדוק אם מתקבלת שם אסימפטוטה אנכית על ידי חישוב הגבולות החד-צדדיים: $$\lim \limits_{x \to 1^+} f(x) =\lim \limits_{x \to 1^+} (x+3)e^{\frac{1}{x-1}} = \infty$$ $$\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) =\lim \limits_{x \to 1^-} (x+3)e^{\frac{1}{x-1}} = 0$$ ומכאן שישנה אסימפטוטה אנכית: x = 1 . -
תחומי עלייה וירידה ומציאת נקודות קיצון
נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = (x+3)e^{\frac{1}{x-1}} $$ $$f'(x) = (x+3)'e^{\frac{1}{x-1}} + (x+3)(e^{\frac{1}{x-1}})' $$ נחשב בנפרד את הנגזרת של הביטוי $e^{\frac{1}{x-1}}$ : $$(e^{\frac{1}{x-1}})' = - \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^2 } $$ נציב ונקבל: $$f'(x) = e^{\frac{1}{x-1}}(\frac{x^2-3x-2}{(x-1)^2}) $$ נמצא את הערכים בהם הנגזרת מתאפסת: $$x^2-3x-2 = 0 $$ נקבל שני פתרונות: $$x_1 = 3.56 ~~ ; ~~ x_2 = -0.28 $$ הנגזרת אינה מוגדרת ב- x= 1 ולכן גם ערך זה יהיה בטבלה.תחומי עלייה: $$ x \lt -0.28 ~~ or ~~ x \gt 3.56$$ תחומי ירידה: $$-0.28 \lt x \lt 1 ~~ or ~~ 1 \lt x \lt 3.56$$ נקודת מקסימום: $$(-0.28, 1.24) $$ נקודת מינימום: $$(3.56, 9.69) $$
-
תחומי קמירות וקעירות ומציאת נקודות פיתול
חשב את הנגזרת השנייה: $$f''(x) = \frac{9x-5}{(x-1)^4}e^{\frac{1}{x-1}} $$ נמצא את הערכים בהם הנגזרת השנייה מתאפסת: $$9x-5 = 0 $$ $$x = \frac{5}{9} $$ הנגזרת השנייה לא מוגדרת ב- x =1 , ולכן הערך יהיה בטבלה.תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$ \frac{5}{9} \lt x \lt 1 ~~ or ~~ x \gt 1$$ תחומי קעירות (קמירות כלפי מטה) : $$ x \lt \frac{5}{9} $$
-
גרף הפונקציה
חקירת פונקציה לוגריתמית
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \ln (x^2 - 3) $$-
תחום הגדרה
כדי שמספר יהיה בתחום ההגדרה של הפונקציה הוא חייב לקיים את אי השיוויון: $$x^2 - 3 \gt 0 $$ הפתרון של אי השיוויון, ולפיכך תחום ההגדרה של הפונקציה הינו : $$x \gt \sqrt{3} ~~ or ~~ x \lt -\sqrt{3} $$ -
מצא את נקודת החיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$\ln (x^2 - 3) = 0 $$ $$x^2 - 3 = 1 $$ $$x^2 = 4 $$ $$x=\pm 2 $$ציר y
לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה- y מאחר והיא אינה מוגדרת ב- x = 0 . -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נמצא את האסימפטוטות האופקיות על ידי חישוב הגבולות: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) =\lim \limits_{x \to \infty} \ln (x^2 - 3) = \infty$$ $$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) =\lim \limits_{x \to -\infty} \ln (x^2 - 3) = \infty$$ ומכאן שלפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות.אסימפטוטה אנכית
הערכים החשודים לאסימפטוטה אנכית הם הערכים שמאפסים את הביטוי בלוגריתם, כלומר: $$x = \pm \sqrt{3}$$ נחשב את הגבולות החד צדדיים בערכים הללו. $$\lim \limits_{x \to \sqrt{3}^+} f(x) =\lim \limits_{x \to \sqrt{3}^+} \ln (x^2 - 3) = -\infty$$ $$\lim \limits_{x \to -\sqrt{3}^-} f(x) =\lim \limits_{x \to -\sqrt{3}^-} \ln (x^2 - 3) = -\infty$$ שימו לב שעבור כל אחד מהערכים חישבנו רק גבול חד צדדי אחד. זאת מאחר ועבור הגבול השני הביטוי בתוך הלוגריתם יהיה שלילי ולפיכך מחוץ לתחום ההגדרה של הפונקציה. לסיכום, לפונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות: $$x =\pm \sqrt{3} $$ -
מציאת תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
ראשית נחשב את הנגזרת הראשונה: $$f(x) = \ln{x^2-3} $$ $$f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 3} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת על ידי פתרון המשוואה: $$2x = 0 $$ $$x = 0$$ אך הפונקציה לא מוגדרת ב- x = 0 ולכן אין אף ערך בו הפונקציה מתאפסת.
לפיכך הטבלה תכיל רק את גבולות תחום ההגדרה של הנגזרת:תחומי עלייה: $$ x \gt \sqrt{3} $$ תחומי ירידה: $$ x \lt -\sqrt{3} $$
-
קמירות וקעירות ומצא נקודות פיתול
חשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = \frac{2x}{x^2 - 3} $$ $$f''(x) = \frac{2(x^2-3)-2x(2x)}{(x^2-3)^2} $$ $$f''(x) = \frac{-2(x^2 + 3)}{(x^2-3)^2} $$ הנגזרת השנייה תמיד שלילית ומכאן שהפונקציה קמורה כלפי מטה בכל תחום הגדרתה. -
גרף הפונקציה
דוגמא 2:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \ln^2 (x) - 2\ln (x) $$-
תחום הגדרה
תחום ההגדרה של הפונקציה הוא: $$x \gt 0$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$\ln^2 (x) - 2\ln (x) = 0 $$ נציב, $$t = \ln (x)$$ ונקבל: $$t^2 - 2t = 0 $$ $$t(t-2) = 0 $$ ולמשוואה יש שני פתרונות: $$t_1 = 2 ~~ ; ~~ t_2 = 0$$ נשתמש בפתרונות הללו על מנת לכתוב שתי משוואות שיאפשרו לנו לחשב את הפתרונות של המשוואה המקורית. ראשית נשתמש בפתרון , $t = 0$ : $$0 = \ln (x)$$ $$x = 1 $$ ואם נשתמש בפתרון השני נקבל : $$\ln (x) = 2 $$ $$x = e^2 $$ציר y
לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה- y מאחר והיא לא מוגדרת ב- x = 0 . -
אסימפטוטות
ציר x
נמצא את האסימפטוטות האופקיות על ידי חישוב הגבול: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \ln^2 (x) -2\ln (x) = \lim \limits_{x \to \infty} \ln (x)( \ln (x) - 2) = \infty $$ לסיכום, לפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות.
אסימפטוטה אנכית
הערך היחידי שחשוד לאסימפטוטה אנכית הוא 0 מאחר והוא מאפס את הביטויים בלוגריתמים. נחשב את הגבול הימני בערך זה: $$\lim \limits_{x \to 0^+} \ln^2 (x) -2\ln (x) = \lim \limits_{x \to 0^+} \ln (x)( \ln (x) - 2) = \infty$$ לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת: x = 0 . -
תחומי עלייה וירידה ומציאת נקודות קיצון
ראשית נגזור את הפונקציה: $$f(x) = \ln^2 (x) - 2\ln (x) $$ $$f'(x) = \frac{2\ln (x)}{x} - \frac{2}{x} = \frac{2\ln (x) - 2}{x} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת: $$0 = \frac{2\ln (x)}{x} - \frac{2}{x} $$ $$2\ln (x) -2 = 0 $$ $$\ln (x) = 1 $$ $$x = e$$תחומי ירידה: $$0 \lt x \lt e$$ תחומי עלייה: $$x \gt e $$ נקודות מינימום: $$(e, -1) $$
-
תחומי קמירות וקעירות ונקודות פיתול
נחשב את הנגזרת השנייה: $$f'(x) = \frac{2\ln (x) - 2}{x}$$ $$f''(x) = \frac{(\frac{2}{x})x - 1*(2\ln (x)-2) }{x^2} = \frac{4 - 2\ln(x)}{x^2} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת השנייה: $$4- 2\ln (x) = 0 $$ $$\ln (x) = 2 $$ $$x = e^2 $$תחומי קמירות (קמירות כלפי מעלה) : $$0 \lt x \lt e^2$$ תחומי קעירות (קמירות כלפי מטה) : $$ x \gt e^2 $$ נקודות פיתול: $$(e^2, 0) $$
-
גרף הפונקציה
חישוב פרמטרים
דוגמא 1:
הישרים $$ x = \pm \sqrt{3} $$ מהווים אסימפטוטות אנכיות לגרף הפונקציה: $$y = x + \ln(x^2 - a) $$פתרון:
באופן כללי הערכים היחידים בהם נקבל אסימפטוטות אנכיות הם אלה בהם המכנה מתאפס או ביטוי בתוך לוגריתם מתאפס. במקרה שלעיל יש לנו רק ביטוי לוגריתמי, ומכאן שהערכים בהם יש אסימפטוטה אנכית חייבים לאפס את הביטוי בתוך הלוגריתם. כלומר: $$ (\sqrt{3})^2 - a = 0 $$ $$a = 3 $$דוגמא 2:
לפונקציה $$y = ax^2 + \frac{1}{x^2} $$ יש ערך קיצון ב- x = 1 .מצא את a .
פתרון:
אם לפונקציה יש נקודת קיצון, אזי שהנגזרת שלה חייבת להתאפס בשיעור ה- x של הנקודה. נחשב את הנגזרת: $$y' = 2ax - \frac{2}{x^3} $$ מאחר והפונקציה מקבלת ערך קיצון ב- x = 1 אזי שחייב להתקיים: $$y'(1) = 0$$ $$2a*1 - \frac{2}{1^3} = 0 $$ $$a = 1$$דוגמא 3:
חקירת פונקציה עם פרמטרים
דוגמא 1:
חקור את הפונקציה: $$f(x) = \frac{(x-b)^2}{x^2-4} $$ כאשר b הוא פרמטר המקיים b > 2 .-
תחום הגדרה
נמצא את הערכים שמאפסים את המכנה: $$x^2-4 = 0$$ $$x =\pm 2 $$ ומכאן שתחום ההגדרה הוא: $$x \neq \pm 2$$ -
נקודות חיתוך עם הצירים
ציר x
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- x על ידי פתרון המשוואה: $$(x-b)^2 = 0 $$ $$x = b $$ ציר y
נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה- y על ידי הצבה של x = 0 בפונקציה: $$f(0) = \frac{(0-b)^2}{0^2 - 4} = -\frac{b}{4} $$ -
אסימפטוטות
אסימפטוטה אופקית
נמצא את האסימפטוטות האופקיות על ידי חישוב שני הגבולות: $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(x-b)^2}{x^2 - 4} = 1$$ $$\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{(x-b)^2}{x^2 - 4} = 1$$
אסימפטוטה אנכית
ישנם שני ערכים בהם המכנה מתאפס: $$x = \pm 2$$ ולכן אלו יהיו הערכים החשודים לאסימפטוטה אנכית. מאחר והערכים הללו אינם מאפסים את המונה (b>2) אזי שיהיו לנו שתי אסימפטוטות אנכיות: $$x = 2 ~~ x = -2$$ שימו לב שהבדיקה שביצענו למעלה רלוונטית מאחר והפונקציה שלנו היא מנת פולינומים. -
תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
כרגיל, נתחיל בחישוב של הנגזרת הראשונה, שימו לב כי b הוא פרמטר ולכן כאשר נגזור את הפונקציה נתייחס אליו כמו אל מספר קבוע: $$f(x) = \frac{(x-b)^2}{x^2-4} $$ $$f'(x) = \frac{2(x-b)(x^2 - 4) - (x-b)^2(2x) }{(x^2 - 4)^2 } $$ $$f'(x) = \frac{2x^3-8x-2bx^2+8b-2x(x^2-2bx + b^2)}{(x^2-4)^2} $$ $$f'(x) = \frac{2x^3-8x-2bx^2+8b -2x^3 +4bx^2 - 2xb^2x}{(x^2-4)^2} $$ $$f'(x) = \frac{2bx^2 - x(8 + 2b^2) + 8b}{(x^2-4)^2} $$ נמצא את הערכים שמאפסים את הנגזרת: $$2bx^2 - x(8 + 2b^2) + 8b = 0$$ $$x_{1,2} = \frac{(8 + 2b^2) \pm \sqrt{(8 + 2b^2)^2 - 4*2b*8b}}{2*2b} =\\ \frac{1+b \pm \sqrt{4(b^2-4)^2}}{4b} = \frac{1 + b \pm 2(b^2-4)}{4b} $$ נקבל שני פתרונות: $$x_1 = b ~~ x_2 = \frac{4}{b} $$ הנגזרת לא מוגדרת עבור $$x = \pm 2$$ ולכן ערכים אלה יוכנסו לטבלה.
זהו השלב שבו תלמידים רבים מתבלבלים ולכן נתאר אותו בצורה מפורטת.
ראשית עלינו לסדר את המספרים בטבלה לפי הסדר.
מאחר ונתון לנו כי b > 2 , ברור כי הסדר יהיה: $$-2 \lt \frac{4}{b} \lt 2 \lt b $$ כעת יהיה עלינו לקבוע את הסימן של הנגזרת בכל אחד מן התחומים. במקרה הספציפי שלנו יהיה קל לעשות זאת מבלי לבצע אפילו הצבה של נקודת בוחן יחידה. המכנה שלנו חיובי תמיד מאחר והוא ביטוי ריבועי, ולפיכך הסימן של הנגזרת יקבע באופן בלעדי על ידי הסימן של המונה.
המונה שלנו הוא פרבולה שנוכל לצייר בקלות. ראשית המקדם של x2 חיובי ולכן הפרבולה צוחקת, ומאחר ואנחנו יודעים כי יש לפרבולה שתי נקודות חיתוך עם ציר ה- x (שני הערכים שמאפסים את המונה שאותם מצאנו קודם לכן) הפרבולה תראה כך:מהגרף שלעיל ניתן ללמוד מהו הסימן של המונה, ומכאן גם מהו הסימן של הנגזרת כולה, בכל תחום.
לעיתים נתקל במצבים בהם נהיה חייבים להציב נקודות בוחן על מנת לגלות את הסימן של הנגזרת. לפיכך, ננסה לראות כיצד היינו יכולים לעשות זאת עבור הפונקציה הספציפית שלנו.
אנחנו יודעים ש b > 2 אך אם נבחר לדוגמא להציב בתור נקודת בוחן x = 3 , הוא כמובן לא יהיה בתחום המתאים אם b = 2.5 . כאן עולה השאלה, איזה ערך נמצא בוודאות בין b לבין 2 ?
דוגמא אחת היא: $$x = \frac{2 + b}{2} $$ מספר זה נמצא בדיוק בין b ובין 2 עבור כל ערך של b . למעשה, יכולנו לבחור כל ממוצע משוקלל בין שניהם, שכן הוא תמיד יהיה בתחום המתאים, כלומר ביניהם.
בדיוק באותו האופן היינו יכולים למצוא נקודות בוחן עבור כל תחום, גם כאשר אחד או שני הקצוות מכילים פרמטר.
לא משנה באיזו דרך תבחרו, הטבלה תראה בסוף כך:תחומי עלייה: $$x \lt -2 ~~ or ~~ -2 \lt x \lt \frac{4}{b}$$ תחומי ירידה: $$\frac{4}{b} \lt x \lt 2 ~~ or ~~ 2 \lt x \lt b$$ נקודת מקסימום: $$(\frac{4}{b} , \frac{b^4-8b^2+16}{16-4b^2}) $$ נקודת מינימום: $$(b, 0) $$
-
גרף הפונקציה
