הספרייה

הגדרת הגבול

הגבול הוא המושג שעומד בבסיסו של כל החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. למרות שפשוט למדי להסביר באופן שטחי את משמעות הגבול, ההגדרה המדוייקת מתמטית שלו היא מורכבת ביותר. למזלינו, במסגרת הלימודים בתיכון אין צורך בהגדרה המדוייקת ולפיכך נסתפק בהגדרה אינטואיטיבית.

הגבול- הגדרה:

המספר $L$ הוא הגבול של הפונקציה $f(x)$ בנקודה $x_0$ אם ורק ואם כאשר $x$ מתקרב ל- $x_0$ הפונקציה מתקרבת ל- $L$ .
נסמן זאת באופן תמציתי כך: $$\lim \limits_{x \to x_0} f(x) = L$$

דוגמא:

חשב את הגבול: $$\lim \limits_{x \to 2} x^2 $$ פתרון: ההגדרה שלעיל אומרת כי הגבול יהיה הערך אליו $x^2$ מתקרב כאשר $x$ מתקרב ל-2 .
נבחן את הערך של הפונקציה עבור ערכים של $x$ שהולכים ומתקרבים ל-2:

$f(x)$ $3.610$ $3.960$ $3.996$ $3.999$ $x$ $1.9$ $1.99$ $1.999$ $1.9999$

קל לראות מהטבלה כי הפונקציה הולכת ומתקרב ל-4, שזהו בדיוק הערך של הפונקציה כאשר $x=2$ . ומכאן שמתקיים: $$\lim \limits_{x \to 2} x^2 = 4$$ תוצאה זאת צפוייה ולא מעניינת במיוחד, אך מהר מאד נגיע לגבולות מורכבים בהרבה שיאתגרו אותנו.

גבולות ואינסוף

המונח אינסוף המסומן על ידי: $\infty$ יכול להופיע בחישוב גבולות בשני הקשרים שונים.
נגדיר את שני סוגי המצבים האלה באופן אינטואיטיבי:

גבולות בהם ה- $x$ שואף לאינסוף (מינוס אינסוף)

המספר $L$ הוא הגבול של הפונקציה $f(x)$ כאשר $x$ שואף לאינסוף (מינוס אינסוף) אם ורק ואם כאשר $x$ הולך וגדל הפונקציה מתקרבת ל- $L$ . נכתוב זאת בתמציתיות כך $$\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = L$$ $$ (\lim \limits_{x \to -\infty} f(x) = L)$$
גבולות ששווים אינסוף (מינוס אינסוף)

הפונקציה שואפת לאינסוף (מינוס אינסוף) אם ורק אם כאשר $x$ מתקרב ל- $a$ הפונקציה הולכת ועולה (ויורדת) ללא חסם עליון (תחתון) נכתוב זאת בתמציתיות כך: $$\lim \limits_{x \to a} f(x) = \infty$$ $$(\lim \limits_{x \to a} f(x) = -\infty)$$

הערה חשובה:

בהגדרה השנייה מופיעים המונחים חסם עליון ותחתון, ומאחר וסביר להניח שלא נתקלתם במונחים אלה לפני כן יהיה מן הראוי להגדירם כאן באופן מדוייק.
חסם עליון של פונקציה הוא מספר שהפונקציה תמיד קטנה ממנו. באופן מדוייק יותר, נאמר כי $c_1$ הוא חסם עליון של הפונקציה $f(x)$ אם מתקיים $f(x) \lt c_1$ לכל $x$ .
באופן דומה חסם תחתון הוא מספר שהפונקציה תמיד גדולה ממנו. באופן מדוייק יותר, נאמר כי $c_2$ הוא חסם תחתון של הפונקציה $f(x)$ אם מתקיים $f(x) \gt c_2$ לכל $x$ .

דוגמא 1:

חשב את הגבול: $$\lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$$
פתרון:

נסתכל על הערך של הפונקציה בערכי $x$ ההולכים ומתקרבים ל-0:

$f(x)$ $100$ $10,000$ $1,000,000$ $100,000,000$ $x$ $0.1$ $0.01$ $0.001$ $0.0001$

ניתן לראות כי הפונקציה עולה וכי אין לה שום חסם עליון ומכאן שמתקיים: $$\lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$$

דוגמא 2:

חשב את הגבול: $$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x}$$

פתרון:

נסתכל על הערך של הפונקציה בערכי $x$ הולכים ועולים:

$f(x)$ $0.1$ $0.01$ $0.001$ $0.0001$ $x$ $10$ $100$ $1,000$ $10,000$

קל לראות שכאשר $x$ הולך ועולה הפונקציה מתקרבת לאפס ומכאן: $$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

גבולות חד-צדדיים

הגדרה

הגדרנו את הגבול של הפונקציה $f(x)$ בנקודה $a$ כערך אליו מתקרבת הפונקציה כאשר $x$ מתקרב ל- $a$ . אך $x$ יכול להתקרב ל- $a$ משני כיוונים: מימין או משמאל. מעובדה זו עולה הצורך בהגדרת מושג חדש: גבול חד-צדדי.
ישנם שני סוגים של גבולות חד-צדדיים: גבול ימני וגבול שמאלי.

גבול ימני

הגבול הימני של פונקציה בנקודה $a$ הוא הערך אליו הפונקציה מתקרבת כאשר $x$ מתקרב ל $a$ מימין. נכתוב זאת בקצרה כך: $$\lim\limits_{x \to a^+} f(x) = L^+$$

גבול שמאלי

הגבול הימני של פונקציה בנקודה $a$ הוא הערך אליו הפונקציה מתקרבת כאשר $x$ מתקרב ל $a$ משמאל. נכתוב זאת בקצרה כך: $$\lim\limits_{x \to a^-} f(x) = L^-$$

דוגמא 1:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to 1^+} x^2 $$

פתרון:

נחשב את הערך של הפונקציה עבור ערכי $x$ שמתקרבים ל-1 מימין, או מלמעלה, כלומר ערכים שגדולים תמיד מ-1.

$x^2$ $1.2100$ $1.0200$ $1.0020$ $1.0002$ $x$ $1.1$ $1.01$ $1.001$ $1.0001$

קל לראות כי הפונקציה מתקרבת ל-1, כלומר: $$\lim\limits_{x \to 1^+} x^2 = 1$$

דוגמא 2:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to 1^-} x^2 $$

פתרון:

נחשב את הערך של הפונקציה עבור ערכי $x$ שמתקרבים ל-1 משמאל, או מלמטה, כלומר ערכים שקטנים תמיד מ-1.

$x^2$ $0.8100$ $0.9801$ $0.9980$ $0.9998$ $x$ $0.9$ $0.99$ $0.999$ $0.9999$

קל לראות כי הפונקציה מתקרבת ל-1, כלומר: $$\lim\limits_{x \to 1^-} x^2 = 1$$

הקשר בין גבול רגיל לגבול חד-צדדי

ניתן לסכם את הקשר בין הגבול הרגיל לבין הגבולות החד-צדדיים בנקודה באמצעות המשפט הבא:

משפט

הגבול $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ קיים אם ורק אם:

הגבול הימני קיים $\lim\limits_{x \to a^+} = L^+$
הגבול השמאלי קיים $\lim\limits_{x \to a^-} = L^-$
הגבולות החד-צדדיים שווים זה לזה: $L^+ = L^- = L$ ואז יתקיים $\lim\limits_{x \to a} = L$

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$

ניתן לסכם את המשפט בקצרה: הגבול בנקודה קיים אם ורק אם הגבולות החד-צדדיים בנקודה קיימים ושווים זה לזה. הדבר החשוב ביותר שיש לקחת ממשפט זה היא העובדה כי ייתכן שגבול מסויים לא יהיה קיים. ניתן להבין את המשפט בקלות אם מסתכלים על דוגמא גרפית.

כפי שניתן לראות בגרף, הגבולות החד-צדדיים ב- $x = 3$ שונים זה מזה. הגבול הימני הוא $\lim\limits_{x \to 3^+ } f(x)= -2$ בעוד שהגבול השמאלי הוא $\lim\limits_{x \to 3^- } f(x) = 3$ .
הגבול בנקודה יהיה הערך אליו מתקרבת הפונקציה כאשר $x$ מתקרב ל $3$ , אך כפי שניתן לראות הערך אליו הפונקציה מתקרבת תלוי בכיוון ממנו אנחנו מתקדמים ל $x=3$ ולפיכך הגבול לא קיים, בדיוק כמו שקובע המשפט.

גבולות מיידיים

בחלק זה נראה גבולות שניתן לחשב באופן מיידי, כלומר בלי להשתמש בכלים מתוחכמים כמו כלל לופיטל (שנלמד בהמשך) או בכל מיני טכניקות אלגבריות. חשוב מאד להכיר את הגבולות הללו מאחר והם מופיעים הרבה, ולרוב הפתרון של הגבולות המסובכים יותר נעשה על ידי המרה שלהם לגבולות מיידיים תוך שימוש בטכניקות שונות.

גבולות בנקודה שהפונקציה מוגדרת בה

אם יש לנו גבול מהצורה: $\lim\limits_{x \to a} f(x) $ ו- $f(x)$ מוגדרת ב- $a$ אז לרוב יתקיים: $$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) $$

דוגמא 1:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to 2} x^2$$

פתרון:

הפונקציה $x^2$ מוגדרת ב- 2 ולכן הגבול יהיה שווה לערך של הפונקציה בנקודה: $$\lim\limits_{x \to 2} x^2 = 4$$

דוגמא 2:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to 7} 2x + 3$$

פתרון:

הפונקציה $x^2$ מוגדרת ב- 7 ולכן הגבול יהיה שווה לערך של הפונקציה בנקודה: $$\lim\limits_{x \to 7} 2x + 3 = 17$$
חשוב להדגיש שזהו רק כלל שעובד במרבית המקרים ולא משפט.

דוגמא 3:

חשב את הגבול של הפונקציה הבאה ב- $x=3$ $$ f(x) = \left. \begin{cases} 2, ~~~ x \geq 3 \\ 1,~~~ x \lt 3 \end{cases} \right. $$

פתרון:

כפי שניתן לראות בגרף, הגבולות החד-צדדיים ב- $x = 3$ שונים זה מזה. הגבול הימני הוא $\lim\limits_{x \to 3^+ } f(x)= 1$ בעוד שהגבול השמאלי הוא $\lim\limits_{x \to 3^- } f(x) = 2$ .
מאחר ושני הגבולות החד צדדיים שונים זה מזה אזי שהגבול בנקודה לא קיים. ומכאן שהכלל שלנו מופר , למרות שהפונקציה מוגדרת ב- $x = 3$ ומקיימת $f(3) = 2$ הגבול שלה בנקודה לא שווה לערך שלה בנקודה.
גבול בו המכנה שואף לאינסוף והמונה חסום או שואף לקבוע

אם עלינו לחשב את הגבול 999 $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ (כאשר$a$ יכול להיות קבוע או אינסוף) וידוע כי $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm \infty$ וכי $f(x)$ חסומה ( כלומר קיימים שני קבועים $c_1$ ו- $c_2$ כך ש: $ c_1 \lt f(x) \lt c_2 $ לכל $x$ ) או שמתקיים $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ ( כאשר L הוא מספר כלשהו) אז: $$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$$

דוגמא:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} $$

פתרון:

המונה הוא קבוע והמכנה שואף לאינסוף ולכן: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$

דוגמא:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{sin(x)}{x^2} $$

פתרון:

במונה יש פונקציה חסומה שכן: $ -1 \leq sin(x) \leq 1$ והמכנה שואף לאינסוף ולפיכך: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{sin(x)}{x^2} = 0$$
גבולות בהם המונה חסום או שואף לקבוע והמכנה שואף לאפס

אם עלינו לחשב את הגבול $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ (כאשר$a$ יכול להיות קבוע או אינסוף) וידוע כי $\lim\limits_{x \to a} g(x) = 0$ וכי $f(x)$ חסומה ( כלומר קיימים שני קבועים $c_1$ ו- $c_2$ כך ש: $ c_1 \lt f(x) \lt c_2 $ לכל $x$ ) או שמתקיים $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ ( כאשר L הוא מספר כלשהו) אז:

$\lim\limits_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \pm \infty$ ו- $\lim\limits_{x \to a^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \pm \infty$

דוגמא 1:

$$\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{3x}{x-1} $$

פתרון:

המונה שואף ל-3 והמכנה שואף לאפס. לפיכך הגבול יהיה אינסוף או מינוס אינסוף, מאחר ו- $x$ שואף ל-1 מימין המכנה חיובי, ומחאחר וגם המונה חיובי אז: $$\lim\limits_{x \to 1^+} \frac{3x}{x-1} = \infty $$

דוגמא 2:

$$\lim\limits_{x \to 1^-} \frac{3x}{x-1} $$

פתרון:

המונה שואף ל-3 והמכנה שואף לאפס. לפיכך הגבול יהיה אינסוף או מינוס אינסוף, מאחר ו- $x$ שואף ל-1 משמאל המכנה שלילי, ומחאחר והמונה חיובי אז: $$\lim\limits_{x \to 1^0-} \frac{3x}{x-1} =- \infty $$

גבולות מהצורה $\frac{\infty}{\infty} $

הגדרה

אם $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm \infty $ ו- $\lim\limits_{x \to a} g(x) = \pm \infty $ אז נאמר כי $\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} $ הוא גבול מהצורה: $\frac{\infty}{\infty}$ .

כדי לפתור גבולות מהצורה הזו נשתמש לרוב בכלל לופיטל-אותו נלמד בהמשך. כעת נראה גבולות מצורה זאת שניתן לפתור ללא שימוש בכלל לופיטל.

מנת פולינומים

פולינום הוא פונקציה מהצורה: $$f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n $$ החזקה הגבוהה ביותר היא המעלה של הפולינום.

לדוגמא: $f(x) = 3x^4 + 4x $ הוא פולינום ממעלה רביעית.

הפונקציה $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $ היא מנת פולינומים אם $f(x)$ ו- $g(x)$ הם פולינומים.

הגבול בו נעסוק בחלק זה הוא הגבול: $$\lim\limits_{x \to \pm\infty} h(x)$$ כאשר הפונקציה $h(x)$ היא מנת פולינומים.
ניתן לסכם את הדרך לפתור גבולות מהצורה הזאת באופן הבא: אם המעלה של הפולינום במכנה היא $n$ נחלק את המונה והמכנה ב- $x^n$ . נראה את השיטה בפעולה במספר דוגמאות, ואז נלמד כלל שיאפשר לנו לדעת את הפתרון באופן מיידי.

דוגמא 1:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 4x^2 + 2}{2x^2 + 4} $$

פתרון:

המעלה של הפולינום במכנה היא 2 ולכן נחלק את המונה והמכנה ב- $x^2$ : $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 4x^2 + 2}{2x^2 + 4}= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x + 4 + \frac{2}{x^2} }{2 + \frac{4}{x^2}} $$ נבחן בנפרד את המונה והמכנה. נתחיל עם המונה: $$\lim\limits_{x \to \infty} 3x + 4 + \frac{2}{x^2} = \infty $$ האיבר הראשון שואף לאינסוף, השני הוא קבוע והשלישי שואף לאפס, לפיכך המונה שואף לאינסוף. נעבור למכנה: $$\lim\limits_{x \to \infty} 2 + \frac{4}{x^2} = 2$$ האיבר הראשון הוא קבוע והשני שואף לאפס ולפיכך המכנה שואף ל-2.

לפיכך הביטוי כולו ישאף לאינסוף: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 4x^2 + 2}{2x^2 + 4}= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x + 4 + \frac{2}{x^2} }{2 + \frac{4}{x^2}} = \infty $$

דוגמא 2:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 5x^3 + 2}{2x^4 + 4x + 1} $$

פתרון:

המעלה של הפולינום במכנה היא 4 ולכן נחלק את המונה והמכנה ב- $x^4$ : $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 5x^3 + 2}{2x^4 + 4x + 1}= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^4} }{2 + \frac{4}{x^3} +\frac{1}{x^4} } $$ נבחן בנפרד את המונה והמכנה. נתחיל עם המונה: $$\lim\limits_{x \to \infty}6 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^4} =6$$ האיבר הראשון הוא קבוע ושווה ל-6, האיבר השני והשלישי שואפים שניהם לאפס, ומכאן שהביטוי כולו שואף ל-6. נעבור למכנה: $$\lim\limits_{x \to \infty} 2 + \frac{4}{x^3} +\frac{1}{x^4} = 2$$ האיבר הראשון הוא קבוע ושווה ל-2, האיבר השני והשלישי שואפים לאפס ומכאן המכנה שואף ל-2. . לפיכך:

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 5x^3 + 2}{2x^4 + 4x + 1}= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{6 + \frac{5}{x} + \frac{2}{x^4} }{2 + \frac{4}{x^3} +\frac{1}{x^4} } = \frac{6}{2} = 3 $$

דוגמא 3:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 6x + 2}{4x^3 + 2x + 4} $$

פתרון:

המעלה של הפולינום במכנה היא 3 ולכן נחלק את המונה והמכנה ב- $x^3$ : $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 6x + 2}{4x^3 + 2x + 4} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ \frac{7}{x} + \frac{6}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{4 + \frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^3} } $$ כל האיברים במונה שואפים לאפס, ולפיכך המונה שואף לאפס. המכנה שואף ל-4. לפיכך: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 6x + 2}{4x^3 + 2x + 4} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{ \frac{7}{x} + \frac{6}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{4 + \frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^3} } = \frac{0}{4} = 0 $$

כלל לחישוב הגבול

ניתן לחשב גבולות מהצורה הזו באמצעות הכלל הבא:

מעלה של המונה $\lt$ מעלה של המכנה $\leftarrow$ הגבול שווה ל- $\pm \infty$
מעלה של המונה $=$ מעלה של המכנה $\leftarrow$ הגבול הוא היחס בין המקדמים של $x$ עם החזקה הכי גבוהה במונה ובמכנה
מעלה של המונה $\gt$ מעלה של המכנה $\leftarrow$ הגבול שווה ל- $0$

נדגים את השימוש בכלל על הדוגמאות שפתרנו למעלה.

דוגמא 1:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 4x^2 + 2}{2x^2 + 4} $$

פתרון:

המעלה של הפולינום במונה היא 3, בעוד שהמעלה של הפולינום במכנה היא 2. מאחר והמעלה של המונה גבוהה מזו של המכנה הגבול הוא אינסוף או מינוס אינסוף, מאחר וכאשר $x$ שואף לאינסוף גם המונה וגם המכנה חיוביים אזי ש: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 4x^2 + 2}{2x^2 + 4} = \infty$$

דוגמא 2:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 5x^3 + 2}{2x^4 + 4x + 1} $$

פתרון:

המעלה של הפולינומים במונה ובמכנה היא 4. מאחר והמעלה של המונה והמכנה שוות זו לזו אזי שהגבול יהיה היחס בין המקדמים של ה- $x$ עם החזקה הגבוהה ביותר במונה ובמכנה ולפיכך: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{6x^4 + 5x^3 + 2}{2x^4 + 4x + 1} = \frac{6}{2} =3$$

דוגמא 3:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 6x + 2}{4x^3 + 2x + 4} $$

פתרון:

המעלה של הפולינום במונה היא 2 בעוד שהמעלה של הפולינום במכנה היא 3 . מאחר והמעלה של הפולינום במכנה גבוהה מזו של המונה אזי ש: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{7x^2 + 6x + 2}{4x^3 + 2x + 4} = 0$$

שימו לב שקיבלנו באמצעות הכלל בדיוק את אותן התוצאות שקיבלנו עם החישוב. חשוב להדגיש כי דרכי הפיתרון יהיו זהות לחלוטין בין אם ה $x$ שואף לאינסוף או למינוס אינסוף.

שורשים

בחלק זה נדגים פתרון של גבולות מהצורה: $$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{g(x)} $$ כאשר המונה או המכנה מכילים שורשים.
דרך הפתרון דומה למדי לשיטת החישוב של מנת פולינומים. נזהה את החזקה הכי גבוהה במכנה, תוך כדי שאנחנו מתחשבים בשורשים, אז אם לדוגמא המכנה שלנו הוא: $\sqrt{3x^4 +4} +x^3$ החזקה הכי גבוהה תהיה 3 ולא 4 מאחר ו $x^4$ נמצא בשורש ולכן החזקה האפקטיבית היא 2 $\frac{4}{2} = 2$) . אם החזקה הכי גבוהה היא $n$ נחלק את המונה והמכנה ב- $x^n$ .

נפתור כמה דוגמאות שיבהירו את הנושא.

דוגמא 1:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-4} } $$

פתרון:

החזקה הכי גבוהה במכנה היא 1 מאחר ו- $\frac{2}{2} =1$ . נחלק את המונה והמכנה ב- $x$ ונקבל: $$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-4} } = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{x^2-4} }= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{ \sqrt{(\frac{1}{x})^2 (x^2-4)} }= \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{ \sqrt{1 -\frac{4}{x^2} }} = 1$$ הביטוי $\frac{4}{x^2}$ שואף לאפס ולכן המונה ומכנה שואפים ל-1 .

דוגמא 2:

חשב את הגבול: $$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-4} } $$

פתרון:

החזקה הכי גבוהה במכנה היא 1 מאחר ו- $\frac{2}{2} =1$ . נחלק את המונה והמכנה ב- $x$ ונקבל: $$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-4} } = \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{x^2-4} } $$ השלב הראשוןן של חלוקת המונה והמכנה ב- $x$ היה זהה לדוגמא הראשונה. אך בניגוד לדוגמא הראשונה כאן לא נוכל להכניס את $\frac{1}{x}$ לתוך השורש באותו האופן מאחר והביטוי שלילי כאשר $x$ שואף למינוס אינסוף. נפעל באופן הבא: $$ \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{ -\sqrt{(\frac{1}{x})^2 (x^2-4)} }= \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{ -\sqrt{1 -\frac{4}{x^2} }} = -1$$ שימו לב כי הכנסנו את $\frac{1}{x}$ לתוך השורש, אך הוספנו מינוס לפני השורש, ולפיכך הגבול במקרה הזה יהיה שווה ל $-1$ .