חדו"א- האינטגרל הלא-מסוים

הגדרת האינטגרל הלא-מסוים כללי אינטגרלים אינטגרלים מידיים אינטגרל של מנת פולינומים אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות שיטת ההצבה דוגמאות מסכמות

כללי אינטגרלים

ישנם שני כללים בהם נשתמש באופן קבוע, לרוב מבלי אפילו לציין זאת באופן מפורש:

1. מכפלה בקבוע
   
   $$\int{cf(x)} = c\int{f(x)} $$ הוכחה:
   נוכיח את הכלל פשוט על ידי כך שנגזור את האגף הימני ונראה שהתוצאה זהה לביטוי בתוך האינטגרל באגף השמאלי. $$(c\int{f(x)})' = c*(\int{f(x)})' $$ השתמשנו בכללי נגזרות, והוצאנו את הקבוע מתוך הנגזרת.
   הנגרת של האינטגרל כמו שכבר ראינו, הינה: $$(\int{f(x)})' = f(x) $$ ואם נציב זאת בביטוי למעלה נקבל: $$c*(\int{f(x)})' = cf(x) $$ ובכך סיימנו את ההוכחה.
   
   
2. אינטגרל של סכום
   
   $$\int{f(x) + g(x) } = \int{f(x)} + \int{g(x)} $$ הוכחה:
   
   נוכיח זאת באותה הדרך בה השתמשנו למעלה: $$ (\int{f(x)} + \int{g(x)})' = (\int{f(x)})' + (\int{g(x)})' = f(x) + g(x) $$

אינטגרל של מנת פולינומים

כאשר אנו נתקבלים באינטגרל של מנת פולינומים נדרש ברוב המקרים להשתמש בשיטות אלגבריות שונות על מנת לפשט את הביטוי, עד שנגיע לאינטגרל מיידי.

פירוק לפי טרינום ושימוש בנוסחאות הכפל המקוצר

דוגמא 1:

חשב את האינטגרל: $$\int{\frac{x^2 + 4x}{(x+2)^2} } $$ פתרון:

נשתמש בטכניקה המכונה השלמה לטרינום על מנת לפרק את המונה באופן הבא: $$x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x+2)^2 - 4 $$ בשלב הראשון הוספנו וחיסרנו את המספר 4 מהביטוי. לאחר מכן השתמשנו בנוסחאות הכפל המקוצר על מנת לכתוב את שלושת האיברים הראשונים בתור ביטוי ריבועי.
האינטגרל שלנו יהיה: $$\int{\frac{(x+2)^2 - 4 }{(x+2)^2} } = \\ \int{\frac{(x+2)^2 }{(x+2)^2} -\frac{4}{(x+2)^2} } = \\ \int{1 - \frac{4}{(x+2)^2}} = x + \frac{4}{(x+2)} + c$$ דוגמא 2:

חשב את האינטגרל: $$\int{\frac{x}{(x-1)^3} } $$ פתרון:

$$\int{\frac{x}{(x-1)^3} } = \\ \int{\frac{x-1+1}{(x-1)^3} } = \\ \int{\frac{x-1}{(x-1)^3} + \frac{1}{(x+3)^3}} = \\ \int{ \frac{1}{(x-3)^2} + \frac{1}{(x+3)^3}} = \\ -(x-3)^{-1} - \frac{1}{2} (x+3)^{-2} + c $$ דוגמא 3:

חשב את האינטגרל: $$\int{\frac{x^2-x-6}{x^2 - 9} } $$ פתרון

נפרק את המונה לפי טרינום: $$x^2-x-6 = (x-3)(x+2) $$ נפרק את המכנה לפי נוסחאות הכפל המקוצר: $$x^2 - 9 = (x+3)(x-3) $$ נציב חזרה באינטגרל ונקבל: $$\int{\frac{(x-3)(x+2) }{(x+3)(x-3)} } = \int{\frac{x+2 }{x+3} } $$ כעת נוכל להשתמש בשיטה מהדוגמא הקודמת: $$\int{\frac{x+2 }{x+3} } = \int{\frac{x+3 -1 }{x+3} } =\\ \int{1-\frac{1 }{x+3} } = x - \ln{|x+3|} + c $$

חלוקת פולינומים

חלוקת פולינומים היא טכניקה חשובה מאד בטיפול בפונקציות של מנת פולינומים. ראשית נדגים את השיטה, ולאחר מכן נראה איך אפשר להשתמש בה על מנת לפתור אינטגרלים.

נבצע את חלוקת הפולינומים הבאה: $$\frac{x^4 + x}{x^2-x+1} $$ המטרה שלנו היא לקבל במונה ביטוי מהצורה: $$(...)(x^2-x+1) $$ כך שנוכל לצמצם את המכנה. האתגר יהיה למצוא מה נמצא בסוגריים הראשונים במכפלה (...) .
תמיד נתחיל את התהליך עם החזקה הגבוהה ביותר, במקרה שלנו זה $x^4$ . נכתוב אותו באופן הבא: $$x^4 = (x^2-x+1)x^2 + x^3 -x^2$$ אנחנו מתחילים בכך שאנחנו כותבים את הביטוי שבמכנה בסוגרים. אנחנו מכפילים אותו בביטוי כזה, כך שהמכפלה הראשונה תתן לנו את האיבר המקורי, $x^4$ . במקרה שלנו, כפלנו את הסוגריים ב- $x^2$ , והמכפלה הראשונה תהיה: $x^2*x^2 = x^4$ שזה בדיוק מה שרצינו. המכפלה הראשונה נותנת לנו את האיבר המקורי, אך אם נמשיך ונפתח את הסוגריים נקבל איברים מיותרים: $$(x^2-x+1)x^2 = x^4 - x^3 + x^2 $$ על מנת להיפטר מ- -x³   נוסיף x³   וכדי להיפטר מ x²   נוסיף -x² .
ומכאן שנקבל את השיוויון הסופי שאיתו התחלנו: $$x^4 = (x^2-x+1)x^2 + x^3 -x^2$$ אם נציב את השיוויון הזה נקבל: $$x^4 + x = (x^2-x+1)x^2 + x^3 -x^2 + x $$ נמשיך בתהליך, על ידי מתן טיפול דומה ל- $x^3$ : $$x^3 = (x^2-x+1)x + x^2 - x $$ נציב ונקבל: $$(x^2-x+1)x^2 + x^3 -x^2 + x = \\ (x^2-x+1)x^2 + (x^2-x+1)x + x^2 - x - x^2 + x $$ נסכום איברים דומים ונקבל: $$x^4 + x = (x^2-x+1)x^2 + (x^2-x+1)x \\ = (x^2-x+1)(x^2 + x) $$ ובכך סיימנו את התהליך.
כעת נוכל להציב את הביטוי במנה שלנו ונקבל: $$\frac{x^4 + x }{x^2-x+1 } = \frac{(x^2-x+1)(x^2+x)}{x^2-x+1} = x^2 + x$$ דוגמא 1:

חשב את האינטגרל: $$\int{\frac{x^4 + x}{x^2 - x + 1 } } $$ פתרון:

נבצע חלוקת פולינומים ונקבל: $$\int{\frac{x^4 + x}{x^2 - x + 1 } } = \int{x^2 + x} = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + c$$ דוגמא 2:

חשב את האינטגרל: $$\int{\frac{x^3-3x^2+x+1}{x-1}} $$ פתרון:

נבצע חלוקה של הפולינומים: $$x^3 = (x-1)x^2 + x^2 $$ נציב: $$x^3-3x^2+x+1 = (x-1)x^2 + x^2 - 3x^2 + x + 1 $$ נחבר איברים דומים: $$x^3-3x^2+x+1 = (x-1)x^2 -2x^2 + x + 1 $$ וכעת נחזור על התהליך עבור $ -2x^2$ : $$-2x^2 = (x-1)(-2x) - 2x $$ נציב: $$(x-1)x^2 + (x-1)(-2x) - 2x + x + 1 = \\ (x-1)x^2 - 2x(x-1)- (x - 1)= \\ (x-1)(x^2-2x - 1) $$ האינטגרל שלנו הוא: $$\int{\frac{x^3-3x^2+x+1}{x-1}} = \int{\frac{(x-1)(x^2-2x - 1)}{x-1}} \\ = \int{x^2-2x - 1} = \frac{1}{3} x^3 - x^2 - x + c $$

פירוק לסכום

נדגים את הטכניקה על ידי פירוק של הביטוי: $$\frac{4}{x^2 + 2x - 3} $$ ראשית נפרק את המכנה לפי טרינום, ונקבל: $$\frac{4}{(x-1)(x+3)} $$ ניתן לפרק את הביטוי הזה באופן הבא: $$\frac{4}{(x-1)(x+3)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+3} $$ המטרה שלנו היא לחשב את הקבועים $a$ ו- $b$ .
ניפטר מהמכנים על ידי מכפלה של שני האגפים ב- (x-1)(x+3) :
$$4 = a(x+3) + b(x-1) $$ $$4 = (a+b)x + 3a - b $$ נמצא את הקבועים על ידי השוואת מקדמים. המקדם של $x$ באגף שמאל הוא אפס ובאגף ימין הוא $(a+b) $ ומכאן ש: $$0 = a + b $$ $$b = -a $$ הקבוע באגף שמאל הוא 4 בעוד שהקבוע באגף ימין הוא $3a - b $ ולכן יתקיים: $$4 = 3a - b $$ $$4 = 3a- (-a) $$ $$4 = 4a $$ $$a = 1 $$ ומכאן ש $b = -1 $ .
ולסיכום : $$\frac{4}{(x-1)(x+3)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3} $$

דוגמא 1:

פתור את האינטגרל: $$\int{\frac{4}{x^2 + 2x - 3} } $$

פתרון:

נשתמש בפירוק שראינו למעלה על מנת לכתוב את האינטגרל באופן הבא: $$\int{\frac{4}{x^2 + 2x - 3} } = \int{\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3} }$$ ועכשיו יש לנו אינטגרלים מיידיים אותם נוכל לפתור בקלות: $$ \int{\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3} } = \ln(|x-1|) - \ln(|x+3|) + c $$

דוגמא 2:

$$\int{\frac{1}{x^2 - x - 6 } } $$

פתרון:

ראשית נפרק את המכנה לפי טרינום: $$x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3) $$ כעת ננסה לפרק את הביטוי באינטגרל באופן הבא: $$\frac{1}{(x+2)(x-3)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-3} $$ $$ 1 = a(x-3) + b(x+2) $$ $$1 = x(a+b) - 3a + 2b $$ נשווה את המקדמים של $x$ בשני האגפים: $$ 0 = a + b $$ $$a = -b $$ נשווה בין הקבועים בין שני האגפים: $$1 = -3a + 2b $$ $$1 = -3 (-b) + 2b $$ $$1 = 3b + 2b $$ $$b= \frac{1}{5} $$ $$a = -\frac{1}{5} $$ נציב את הביטוי המפורק בתוך האינטגרל ונקבל: $$\int{\frac{1}{x^2 - x - 6 } } = \int{-\frac{1}{5} \frac{1}{x+2} + \frac{1}{5} \frac{1}{x-3} } $$ קיבלנו אינטגרל מיידי אותו נפתור בקלות: $$\int{-\frac{1}{5} \frac{1}{x+2} + \frac{1}{5} \frac{1}{x-3}} = -\frac{1}{5} \ln (|x+2|) + \frac{1}{5} \ln(|x-3|) +c$$

אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

כדי לחשב אינגטרלים של פונקציות טריגונומטריות יש להכיר את האינטגרלים המיידיים הרלוונטיים כמו גם מספר זהויות טריגונומטריות חשובות.
הזהויות הטריגונומטריות שכדאי להכיר הן:

1. $\sin^2 (x) + \cos ^2 (x) = 1$


2. $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} $


3. $\sin (2x) = 2\sin(x) \cos(x) $


4. $\cos (2x) = \cos^2 (x) - \sin^2 (x) $

דוגמא 1:

פתור את האינטגרל: $$\int{1 + \tan^2 (x) } $$ פתרון:

$$\int{1 + \tan^2 (x) } = \int{1 + \frac{\sin^2 (x) }{\cos^2 (x)}} = \\ \int{\frac{\cos^2 (x) + \sin^2 (x) }{\cos^2 (x)}} = \int{\frac{1}{\cos^2 (x)} } = \tan (x) + c $$

דוגמא 2:

חשב את האינטגרל: $$\int{(\sin (x) + \cos (x))^2 }$$ פתרון:

$$\int{(\sin (x) + \cos (x))^2 } = \int{\sin^2 (x) + 2\sin (x) \cos (x) + \cos^2 (x) } \\ = \int{1 + \sin (2x)} = x - \frac{1}{2} \cos (2x) +c $$

דוגמא 3:

פתור את האינטגרל: $$\int{(\frac{1}{\sin (x) \cos (x)})^2 } $$ פתרון:

$$\int{(\frac{1}{\sin (x \cos (x))})^2 } = \int{(\frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2x) })^2 } = \\ \int{\frac{4}{\sin^2 (2x)} } = 4*\frac{1}{2}(-\cot(2x) ) = \\ = -2 \cot(2x) $$

דוגמא 4:

חשב את האינגטרל: $$\int{\frac{\sin^3(x)}{1+\cos(x) } } $$ פתרון:

$$\int{\frac{\sin^3(x)}{1+\cos(x) } } = \\ \int{\frac{\sin^2(x) \sin(x)}{1+\cos(x)} } = \\ \int{\frac{(1-\cos^2(x))\sin(x) }{1 + \cos(x) } } =\\ \int{\frac{(1+\cos(x))(1-\cos(x))\sin(x)}{1+ \cos(x)} } =\\ \int{(1-\cos(x))\sin(x) } \\ = \int{\sin (x) - \sin(x) \cos (x) } =\\ \int{\sin(x) - \frac{1}{2} \sin (2x) } = \\ -\cos (x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + c $$

דוגמא 5:

חשבו את האינטגרל: $$\int{\frac{1+ \cos^2 (x)}{1- \cos (2x)} } $$ פתרון:

$$ \int{\frac{1+ \cos^2 (x)}{1- \cos (2x)} } =\\ \int{\frac{1 + 1-\sin^2 (x) }{1 - (1-2\sin^2(x))} } =\\ \int{\frac {2- \sin^2 (x)}{2\sin^2 (x)} } = \\ \int{\frac{1}{\sin^2 (x)} - \frac{1}{2} } =\\ -\cot (x) - \frac{1}{2}x +c $$

דוגמא 6:

חשבו את האינטגרל: $$\int{\sin (2x) \cos (3x)} $$ פתרון:

נשתמש בזהות הטריגונומטרית הבאה: $$\sin (\alpha) \cos (\beta) = \frac{1}{2} [\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)] $$ זוהי אחת מכמה זהויות טריגונומטריות המאפשרות להפוך מכפלה של פונקציות טריגונומטריות לסכום.
אם נשתמש בזהות הטריגונומטרית הזו עבור האינטגרל שלנו נקבל: $$\int{\sin (2x) \cos (3x)} =\\ \int{\frac{1}{2}[\sin (5x) + \sin (-x) ] } =\\ \int{\frac{1}{2}[\sin (5x) - \sin (x) ] } =\\ -\frac{1}{10} \cos (5x) + \frac{1}{2} \cos (x) $$

שיטת ההצבה

כיצד פותרים אינטגרל באמצעות שיטת ההצבה

נניח שעלינו לחשב את האינגטרל הבא: $$\int{\frac{3x^2}{x^3 + 1}}dx $$ כבר פתרנו אינטגרלים של מנת פולינומים, אך שימו לב כי אף אחת מהשיטות שראינו לא תאפשר לנו לפתור את האינטגרל הזה .
נפתור את האינטגרל באמצעות ההצבה הבאה: $$t = x^3 +1 $$ נגזור את המשוואה ונקבל: $$\frac{dt}{dx} = 3x^2 $$ להזכירכם, dt/dx , היא הנגזרת של t לפי x .
כעת נוכל לבטא את dx באופן הבא: $$dx = \frac{dt}{3x^2} $$ נציב באינטגרל ונקבל: $$\int{\frac{3x^2}{x^3 + 1}}dx = \int{\frac{3x^2}{t} \frac{dt}{3x^2} } $$ נצמצם את המונה והמכנה ונקבל: $$\int{\frac{dt}{t} } = \ln (|t|) + c $$ ואם נרצה לקבל תשובה במונחים של המשתנה המקורי x , כל שעלינו לעשות הוא להציב, $$t = x^3 + 1$$ ונקבל: $$\int{\frac{3x^2}{x^3 + 1}}dx = \ln (|x^3 + 1|) + c $$

מתי נשתמש בשיטת ההצבה?

שיטת ההצבה היא גישה כללית לחלוטין לפתרון אינטגרלים. הרעיון שעומד בבסיס השיטה הוא שינוי של משתנה האינטגרציה כך שנקבל אינטגרל חדש שיהיה פשוט יותר לפתרון. השיטה מאפשרת תמיד לבצע החלפת משתנים, אך דבר אינו מבטיח לנו שהאינטגרל החדש לא יהיה מסובך יותר מזה המקורי.
האתגר בשיטה הזאת הוא כמובן לזהות את ההצבה המתאימה לבעיה הנתונה. ברמה של התיכון שיטת ההצבה משמשת לפתרון של אינטגרלים מאד מסוימים מהצורה הבאה: $$\int{f'(u(x))u'(x) }dx $$ קל לראות שהפתרון הכללי של אינטגרלים מהצורה הזו הוא: $$\int{f'(u(x))u'(x) }dx =f(u(x)) $$ נוכל להוכיח זאת פשוט על ידי גזירה של הביטוי באגף הימני: $$[f(u(x))]' = f'(u(x)) u'(x)$$ קיבלנו את הביטוי בתוך האינטגרל, ומכאן שהוכחנו את הטענה , כאשר כל מה שעשינו היה להשתמש בכלל השרשרת על מנת לגזור פונקציה מורכבת .

בדוגמא שפתרנו בהתחלה: $$u(x) = x^3 + 1 $$ אם נציב את זה באינטגרל: $$\int{\frac{3x^2}{x^3 + 1}}dx = \int{ \frac{u'(x) }{u(x)}} $$ ואם נסמן: $$f(x) = \ln (|u|) $$ אז האינטגרל יהיה: $$\int{\frac{3x^2}{x^3 + 1}}dx = \int{ \frac{u'(x) }{u(x)}} = \int{f'(u)u' dx } $$ וניתן לראות כי האינטגרל שפתרנו למעלה הוא בדיוק מהצורה הכללית שתיארנו בחלק זה.

נסכם ונאמר ששיטת ההצבה כפי שהוצגה כאן, היא שיטה כללית לחלוטין לפתרון אינטגרלים מכל הסוגים. ברמה של התיכון השיטה משמשת דרך עזר לפתרון אינטגרלים מהצורה הספציפית שתיארנו בחלק זה.

דוגמאות

דוגמא 1:

פתור את האינטגרל: $$\int{\frac{x^2}{x^3 + 1} } $$

פתרון

נשתמש בהצבה: $$u = x^3 + 1 $$ נגזור את שני האגפים לפי $x$ ונקבל: $$\frac{du}{dx} = 3x^2 $$ $$dx = \frac{du}{3x^2} $$ נציב ונקבל: $$ \int{\frac{x^2}{x^3 + 1} } =\\ \int{\frac{x^2}{u} \frac{du}{3x^2} } = \\ \int{\frac{1}{3}\frac{1}{u} du } = \\ \frac{1}{3} \ln(|u|) + c = \\ \frac{1}{3} \ln(|x^3+1|) + c $$

דוגמא 2:

פתור את האינטגרל: $$\int{\frac{x^3}{(x^4+ 2)^5} } $$

פתרון:

נשתמש בהצבה הבאה: $$u = x^4 + 2 $$ ואם נגזור את שני האגפים לפי x נקבל: $$\frac{du}{dx} = 4x^3 $$ $$dx = \frac{du}{4x^3} $$ נציב באינטגרל שלנו ונקבל: $$ \int{\frac{x^3}{(x^4+ 2)^5} } = \\ \int{ \frac{x^3}{u^5} \frac{ du}{4x^3}} = \\ \int{\frac{1}{4} \frac{1}{u^5} du = \\ \int{ \frac{1}{4} u^{-5} } } = \\ \frac{1}{4} (-\frac{1}{4} u^{-4}) =\\ -\frac{1}{16}u^{-4} +c =\\ -\frac{1}{16} (x^4 + 2)^{-4} + c $$

דוגמא 3:

פתור את האינטגרל: $$\int{\frac{x}{\sqrt{(x^2+4)}} } $$

פתרון:

נשתמש בהצבה הבאה: $$u = x^2 + 4 $$ אם נגזור את שני האגפים של השיוויון לפי $x$ נקבל: $$\frac{du}{dx} = 2x $$ $$dx = \frac{du}{2x} $$ נציב באינטגרל שלנו ונקבל: $$ \int{\frac{x}{\sqrt{(x^2+4)}}} = \\ \int{\frac{x}{\sqrt{u} } \frac{du}{2x}} = \\ \int{\frac{1}{2} \frac{1}{u^{0.5}} du} = \\ \int{\frac{1}{2} u^{-0.5} } = \\ \frac{1}{2} *2* u^{0.5} = \\ u^{0.5} + c = \\ \sqrt{x^2 + 4 } + c $$

דוגמא 4:

פתור את האינטגרל: $$\int{x^2(x^3 + 6)^7 } dx $$

פתרון:

נשתמש בהצבה: $$u = x^3 + 6 $$ נגזור את שני האגפים לפי $x$ : $$\frac{du}{dx} = 3x^2 $$ $$dx = \frac{du}{3x^2} $$ נציב בתוך האינטגרל ונקבל: $$ \int{x^2(x^3 + 6)^7 } dx = \\ \int{x^2 u^7 \frac{du}{3x^2} } = \\ \int{\frac{1}{3} u^7 du} = \\ \frac{1}{3}* \frac{1}{8} * u^8 + c = \\ \frac{1}{24} u^8 + c = \\ \frac{1}{24} (x^3 + 6)^8 + c $$

דוגמא 5:

פתור את האינגטרל: $$\int{\sin (x) \cos^2 (x) dx} $$

פתרון:

נשתמש בהצבה הבאה: $$u = \cos (x) $$ אם נגזור את שני האגפים לפי x : $$\frac{du}{dx} = -\sin (x) $$ $$dx = -\frac{du}{\sin (x)} $$ ואם נציב בתוך האינטגרל: $$ \int{\sin (x) \cos^2 (x) } = \\ \int{\sin (x) u^2 (-\frac{du}{\sin (x)}) } = \\ \int{- u^2 du } = \\ - \frac{1}{3} u^3 + c = \\ -\frac{1}{3} \cos^3 (x) + c $$

דוגמא 6:

פתור את האינטגרל: $$\int{ \frac{e^x}{e^x + 1} } $$

פתרון:

נשתמש בהצבה הבאה: $$u = e^x +1$$ אם נגזור את שני האגפים לפי x נקבל: $$\frac{du}{dx} = e^x $$ $$dx = \frac{du}{e^x} $$ נציב בתוך האינטגרל ונקבל: $$ \int{\frac{e^x}{e^x + 1} } = \\ \int{\frac{e^x}{u} \frac{du}{e^x} } = \\ \int{u du } = \frac{1}{2} u^2 + c = \\ \frac{1}{2} (e^x + 1)^2 $$

דוגמאות מסכמות

דוגמא 1:

פתור את האינטגרל: $$\int{\frac{1-\cos (x)}{1 + \cos (x)} } = $$

פתרון:

ראשית נכפול את המונה והמכנה ב- $$(1- \cos (x)) $$ ונקבל $$\int{\frac{(1-\cos (x))^2 }{(1+ \cos (x) )(1-\cos (x))} } $$ נפתח את הסוגריים במונה ובמכנה ונקבל: $$\int{\frac{1 - 2\cos (x) + \cos^2 (x)}{1 - \cos^2 (x) } } $$ ואם נשתמש בזהות הטריגונומטרית: $$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $$ נקבל: $$\int{\frac{1 - 2\cos (x) + 1 - \sin^2 (x) }{\sin^2 (x)} } $$ נמשיך לפשט את האינטגרל: $$\int{\frac{2 - 2\cos (x) - \sin^2 (x) }{\sin^2 (x)} } = \int{\frac{2}{\sin^2 (x)} - \frac{2\cos(x)}{\sin^2 (x)} - 1 } $$ עלינו לחשב את האינטגרל של שלוש פונקציות שונות. נפתור את האינטגרל של כל אחת בתורה. נתחיל מהאיבר הראשון באינטגרל: $$\int{\frac{2}{\sin^2 (x)} dx} = -2 \cot (x) $$ האיבר האחרון: $$\int{-1} = -x $$ והאיבר האמצעי: $$\int{-\frac{2\cos (x)}{\sin^2 (x)} } $$ זה אינו אינטגרל מיידי, אך נוכל לפתור אותו באמצעות שיטת ההצבה. נשתמש בהצבה: $$u = \sin (x) $$ $$\frac{du}{dx} = \cos (x) $$ $$dx = \frac{du}{\cos (x)} $$ נציב באינטגרל ונקבל: $$\int{-\frac{2\cos (x)}{\sin^2 (x)} } =-2 \int{\frac{1}{u^2} du} $$ זהו אינטגרל מיידי במשתנה $u$ , נפתור אותו : $$ -2 (-1) \frac{1}{u} + c = 2\frac{1}{u} $$ ובמונחים של $x$ : $$\int{-\frac{2\cos (x)}{\sin^2 (x)} } = \frac{2}{\sin (x)} $$ ולסיכום הפתרון שלנו יהיה: $$\int{\frac{(1-\cos (x))^2 }{(1+ \cos (x) )(1-\cos (x))} } = -2\cot (x) + \frac{2}{\sin (x)} - x + c $$

דוגמא 2:

פתור את האינטגרל: $$\int{4\sin^2 (2x) \cos(x) } $$

פתרון:

ראשית נכתוב את האינטגרל באופן הבא: $$\int{4\sin(2x) \sin (2x) \cos(x) } $$ נשתמש בזהות הטריגונומטרית: $$\sin (\alpha) \cos (\beta) = \frac{1}{2}[\sin (\alpha + \beta) \sin (\alpha -\beta)] $$ ונקבל: $$\int{4\sin(2x) \frac{1}{2}[\sin (3x) + \sin(x)] } $$ $$\int{2\sin (2x) \sin(3x) + 2 \sin (2x) \sin (x) } $$ נשתמש בזהות הטריגונומטרית: $$\sin (\alpha) \sin (\beta) = \frac{1}{2}[\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta) ] $$ ונקבל: $$\int {\cos (x) - \cos (5x) + \cos (x) - \cos(3x) } = \int{2\cos (x) - \cos (3x) - \cos(5x) } $$ ועכשיו עלינו רק לפתור את האינטגרלים המיידיים: $$\int{4\sin^2 (2x) \cos(x) } = 2\sin (x) - \frac{1}{3} \sin (3x) - \frac{1}{5} \sin (5x) + c $$