אסימפטוטות- תרגילים

מנת פולינומים

תרגיל 1

מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים עבור כל אחת מהפונקציות הבאות:

  1. $ f(x) = \frac{x^3-x^2+x-2}{x-16} $
  2. $ f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x-1} $
  3. $ f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{4 \cdot(x-1)^2} $
  4. $ f(x) = \frac{x-2}{x^2-x-2} $
  5. $ f(x) = \frac{x-2}{x^2-x-2} + 3 $
  6. $ f(x) = \frac{1}{x^2-x-6} $
  7. $ f(x) = \frac{1}{x^2-x-6} + 2 $
  8. $ f(x) = \frac{x^4-1}{x^3+4} - \frac{x^2}{x+1} $

פתרון

    • $ x=16 $
    • אין אופקית
    • אין אנכית
    • אין אופקית
    • $ x=1 $
    • $ y = \frac{1}{4} $
    • אין אנכית
    • $ y = 0 $
    • אין אנכית
    • $ y=3 $
    • $ x=3, ~ x=-2 $
    • $ y=0 $
    • $ x=3, ~ x=-2 $
    • $ y=2 $
    • $ x=-(4)^{\frac{1}{3}}, ~ x=-1 $
    • $ y=1 $

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{1}{x-a} $$ ידוע שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $ x=3 $ . מצא את a .

פתרון

$ a=3 $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{x-2}{x^2-a} ~~~~ a>0 $$ ידוע שלפונקציה יש שתי אסימפטוטות אנכיות.
  1. האם יש מספר חיובי שאתה יכול לפסול בתור הערך של a?
  2. נתון כי המרחק בין שתי האסימפטוטות האנכיות הוא 16, מצא את a.

פתרון

  1. $ a \neq 4 $
  2. $ a = 8 $

תרגיל 4

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{ax^2-2x+3}{x-3} $$ ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית.
  1. חשב את a.
  2. מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה.

פתרון

  1. $ a=0 $
  2. $ y=-2 $

תרגיל 5

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{a^2x^2-3x - 6}{ax^2-3} + a $$ ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית $ y=6 $ .
  1. חשב את a.
  2. מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

פתרון

  1. $ a=3 $
  2. $ x=-1 $

תרגיל 6

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{ax^2 - x - 2}{bx^2 + x - 2} $$ ידוע שלפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $ x=1 $ , ואסימפטוטה אופקית $ y=4 $ . מצא את a ו- b .

פתרון

$ a=4 ~~~;~~~ b=1 $

תרגיל 7

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{ax^2 + x - 4}{4x^2 - 4x + b} $$ נתון ששתי אסימפטוטות של הפונקציה נחתכות בנקודה $ (0,16) $ . מצא את a ו- b .

פתרון

$ a=64 ~~~;~~~ b=0 $

תרגיל 8

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{ax^2 - x - 2}{bx^2 + x - 2} $$ לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית $ y = 4 $ , וידוע שיש לה רק אסימפטוטה אנכית אחת .
מצא צמד a ו- b שיקיימו את התנאים של הבעיה .

פתרון

$ a= - \frac{1}{2} ~~~;~~~ b= - \frac{1}{8} $

תרגיל 9

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{x - 2}{bx^2 - 4x + 2} $$ מצא עבור אלו ערכי b לפונקציה יש:
  1. שתי אסימפטוטות אנכיות
  2. אסימפטוטה אנכית בודדת
  3. אפס אסימפטוטות אנכיות

פתרון

  1. $ b \lt 2 ~~ and ~~ x \ne 1.5 $
  2. $ b = 2 ~~ or ~~ x = 1.5 $
  3. $b \gt 2 $

מנה עם שורשים

תרגיל 1

מצא עבור כל אחת מהפונקציות הבאות את האסימפטוטות המקבילות לצירים:

  1. $ \frac{x}{\sqrt{x^3-1}} $
  2. $ \frac{x^2}{\sqrt{x^4-1}} $
  3. $ \frac{x^3}{\sqrt{x^4-1}} $
  4. $ \frac{x^3}{\sqrt{x^6-1}} $
  5. $ \frac{x^3-1}{\sqrt{x^6-1}} $
  6. $ \frac{x^3-1}{x \cdot \sqrt{x^6-1}} $

פתרון

    • $ x=1 ~~;~~ x=-1 $
    • $ y = 1 $
    • $ x=1 $
    • $ y = 0 $
    • $ x=1 ~~;~~ x=-1 $
    • אין אופקית
    • $ x=1 ~~;~~ x=-1 $
    • $ y=1 ~~;~~ y=-1 $
    • $ x=-1 $
    • $ y=1 ~~;~~ y=-1 $
    • $ x=-1 $
    • $ y=1 ~~;~~ y=-1 $

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ \frac{1}{\sqrt{x^2-b}} $$ המרחק בין שתי האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה הוא 2.

  1. חשב את הפרמטר b.
  2. מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה.

פתרון

  1. $ b = 1 $
  2. $x=1 ~~;~~ x=-1 $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ \frac{1}{(x-a)\sqrt{x^2-1}} $$ מצא כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה עבור כל טווח ערכים של הפרמטר a.

פתרון

לפונקציה תהיינה 2 אסימפטוטות אנכיות עבור: $$ -1 \leq x \leq 1 $$ ו-3 אסימפטוטות אנכיות עבור: $$ x \lt -1 ~~ or ~~ x \gt 1 $$

פונקציות טריגונומטריות

תרגיל 1

מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציות הבאות:

  1. $ \frac{1}{\sin{x}} ~~~~~~ 0 \leq x \leq 2\pi $
  2. $ \frac{1}{\cos{x}} ~~~~~~ 0 \leq x \leq 2\pi $
  3. $ \frac{1}{\sin{2x}} ~~~~~~ 0 \leq x \leq 2\pi $
  4. $ \frac{1}{\sin{2x} - \cos{x}} ~~~~~~ 0 \leq x \leq 2\pi $
  5. $ \frac{1}{\sin{x}} ~~~~~~ -\pi \leq x \leq \pi $
  6. $ \frac{1}{ \cos{2x} - \sin{x}} ~~~~~~ -\frac{1}{2}\pi \leq x \leq \frac{1}{2}\pi $

פתרון

  1. $ x=0 ~~;~~ x=\pi $
  2. $ x=\frac{1}{2}\pi ~~;~~ x= \frac{3}{2}\pi $
  3. $ x=0 ~~;~~ x=\frac{1}{2}\pi ~~;~~ x=\pi ~~;~~ x= \frac{3}{2}\pi ~~;~~ x=2\pi$
  4. $ x=\frac{\pi}{6} ~~;~~ x=\frac{1}{2}\pi ~~;~~ x=\frac{5}{6} \pi ~~;~~ x= \frac{3}{2}\pi $
  5. $ x=0 ~~;~~ x=\pi ~~;~~ x=-\pi ~~;~~ x=0 $
  6. $ x=\frac{\pi}{6} ~~;~~ x= - \frac{\pi}{2} $

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ g(x) = \frac{1}{\sin{\frac{\pi^2 a}{x}}} $$ ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $ x = \pi $ .
חשב את a אם ידוע כי הוא בתחום $ 1 \lt a \lt 3 $ .

פתרון

$ a=2 $

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

תרגיל 1

מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים עבור כל אחת מהפונקציות הבאות:
  1. $ e^x $
  2. $ e^x + 1 $
  3. $ e^{-x} $
  4. $ x \cdot e^x $
  5. $ \frac{e^{-x}}{x} $
  6. $ \frac{e^x}{x^2} $
  7. $ \frac{e^{x}}{x} $
  8. $ \frac{\ln{x}}{x} $
  9. $ \frac{e^x + e^{-x}}{1 + x} $
  10. $ \frac{e^{-x}}{1 + e^{2x}} $
  11. $ \frac{ln(x^2-9)}{x-1} $
  12. $ \ln{[\frac{e \cdot x^2+2x+2}{x^2-x-2}]} $

פתרון

    • אין אנכית
    • $ y = 0 $
    • אין אנכית
    • $ y = 0 $
    • אין אנכית
    • $ y = 0 $
    • אין אנכית
    • $ y = 0 $
    • $ x=0 $
    • $ y = 0 $
    • $ x=0 $
    • $ y = 0 $
    • $ x=0 $
    • $ y = 0 $
    • $ x=0 $
    • $ y = 0 $
    • $ x=-1 $
    • אין אופקית
    • אין אנכית
    • $ y=0 $
    • $ x=3 ~~;~~ x=-3 $
    • $ y=0 $
    • $ x=2 ~~;~~ x=-1 $
    • $ y=1 $

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{1}{e^{ax} - e} $$ ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית $ x = 2 $ .
חשב את a.

פתרון

$ a = \frac{1}{2} $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{e^x}{e^{ax} - 1} $$ עבור אילו ערכים של הפרמטר a:

  1. לפונקציה שתי אסימפטוטות אופקיות
  2. לפונקציה אסימפטוטה אופקית אחת
  3. לפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות כלל

פתרון

  1. $ x \geq 1 $
  2. $ x \lt 1 $
  3. אין ערכים כאלה

תרגיל 4

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = a + e^x $$ לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית $ y = 4 $ .
מצא את a.

פתרון

$ a = 4 $

תרגיל 5

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{(x-a) \cdot e^x }{x^2 - 4} $$ ידוע כי לפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת בלבד, ושהיא חותכת את ציר ה-x בחלקו החיובי.
חשב את a.

פתרון

$ a = -2 $

תרגיל 6

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{ln(x^2-9)}{x-1} $$

פתרון

$ a = -2 $