קמירות וקעירות- תרגילים

פולינומים

מצא את נקודות הפיתול של הפונקציות הבאות:

  1. $ x - 1 $
  2. $ x^2 - 1 $
  3. $ x^3 $
  4. $ x^3 - 1 $
  5. $ (x-1)^3 $
  6. $ \frac{1}{4} x^4 - \frac{1}{3} x^3 - x^2 + 1$
  7. $ \frac{1}{2} x^3 - 3x^2 + 2x - 1 $
  8. $ x^3 - x $

פתרון

  1. אין.
  2. אין.
  3. $ (0,0) $
  4. $ (0,-1) $
  5. $ (1,0) $
  6. $ (-1,\frac{7}{12}) ~~;~~ (0,1) ~~;~~ (-1\frac{2}{3},0) $
  7. $ (2,-5) $
  8. $ (0,0) $

מנת פולינומים

מצא את נקודות הפיתול של הפונקציות הבאות:

  1. $ \frac{x}{x^2-1} $
  2. $ \frac{x^2}{x-1} $
  3. $ \frac{(x+1)^2}{x} $
  4. $ \frac{x^3}{x^2-1} $

פתרון

  1. $ (0,0) $
  2. אין.
  3. אין.
  4. $ (0,0) $

פונקציות טריגונומטריות

מצא את נקודות הפיתול של הפונקציות הבאות:

  1. $ \sin{x} ~~~~ -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
  2. $ \cos{x} ~~~~ -\pi \leq x \leq \pi $
  3. $ \sin{3x} ~~~~ -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
  4. $ \sin{2x} - x^2 ~~~~ -\pi \leq x \leq \pi $
  5. $ \sin{2x} - \cos{x} ~~~~ -\pi \leq x \leq \pi $
  6. $ \sin^2{x} ~~~~ -\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $

פתרון

  1. $ (0,0) $
  2. $ (\frac{\pi}{2},0) ~~;~~ (-\frac{\pi}{2},0) $
  3. $ (\frac{\pi}{3},0) ~~;~~ (-\frac{\pi}{3},0) ~~;~~ (0,0) $
  4. $ (\frac{3\pi}{4},\frac{-16-9\pi^x}{16}) ~~;~~ ( -\frac{\pi}{4} ,-\frac{16-\pi^2}{16}) ~~;~~ (0,0) $
  5. $ (-\frac{\pi}{4},\frac{1}{2}) ~~;~~ (\frac{\pi}{4},\frac{1}{2}) $

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מצא את נקודות הפיתול של הפונקציות הבאות:

  1. $ e^x $
  2. $ e^x + e^{-x} $
  3. $ e^x - e^{-x} $
  4. $ e^x - x^2 $
  5. $ xe^x $
  6. $ (x+1)e^{x+1} $
  7. $ x^2 e^x $
  8. $ \frac{e^x}{x} $
  9. $ \ln{x} $
  10. $ \ln^2{x} $
  11. $ x \ln{x} $
  12. $ x^2 \ln{x} $

פתרון

  1. אין.
  2. אין.
  3. $ (0,0) $
  4. $ (\ln{2},-2) $
  5. $ (-2,-\frac{2}{e^2}) $
  6. $ (-3,-\frac{2}{e^2}) $
  7. $ (-3.41,0.38) ~~;~~ (-0.58,0.19) $
  8. אין.
  9. אין.
  10. $ (\sqrt{e}, \frac{1}{4}) $
  11. אין.
  12. $ (e^{-1.5},-1.5 e^{-3} ) $