האינטגרל המסוים

הגדרת האינטגרל המסוים

האינטגרל המסוים, הגדרה:
האינטגרל המסוים של הפונקציה $ g(x) $   מ- a ל- b מסומן על ידי $ \int\limits_a^b g(x) $ ומוגדר כך: $$ \int\limits_a^b g(x) = G(b)-G(a) $$ כאשר מתקיים: $$ G'(x) = g(x) $$ הפרמטרים a ו- b מכונים בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של האינטגרל.

כלומר, בשביל לחשב את האינטגרל המסוים עלינו בתחילה לבצע אינטגרל לא-מסוים ולמצוא את הפונקציה הקדומה, ולאחר מכן לחשב את ההפרש בין הערך של הפונקציה הקדומה בגבול העליון והתחתון.

כללי האינטגרל המסוים

נביא ונוכיח כאן שלושה כללים של האינטגרל המסוים:

1. $ \int\limits_a^b -g(x) = - \int\limits_a^b g(x) $
2. $ \int\limits_a^b g(x) = - \int\limits_b^a g(x) $
3. $ \int\limits_a^b g(x) = \int\limits_a^c g(x) + \int\limits_c^b g(x) $
4. $ \int\limits_a^b [g(x) + f(x)] = \int\limits_a^b g(x) + \int\limits_a^b f(x) $

הוכחה של הכלל הראשון

אם $ G(x) $   היא הפונקציה הקדומה של $ g(x) $ , אז $ -G(x) $   היא הפונקציה הקדומה של $ -g(x) $ , ולפיכך האגף השמאלי יהיה: $$ \begin{align*} \int\limits_a^b -g(x) &= -G(x)|_a^b \\ &= -G(b) - (-G(a)) \\ &= G(a)-G(b) \end{align*} $$ באגף ימין יהיה לנו: $$ \begin{align*} -\int\limits_a^b g(x) &= -[G(x)|_a^b] \\ &= - [ G(b) - G(a) ] \\ &= G(a)-G(b) \end{align*} $$ וקיבלנו ששני האגפים זהים.

הוכחה של הכלל השני

אם נסמן: $$ G'(x) = g(x) $$ אז הביטוי באגף השמאלי יהיה שווה: $$ \int\limits_a^b g(x) = G(b) - G(a) $$ והביטוי באגף הימני יהיה: $$ \begin{align*} -\int\limits_b^a g(x) &= - [G(x)\vert_b^a] \\ &= - [G(a) - G(b)] \\ &= G(b) - G(a) \end{align*} $$ ומכאן ששני הביטויים זהים ומתקיים: $$ \int\limits_a^b g(x) = - \int\limits_b^a g(x) $$

הוכחה של הכלל השלישי

אם נסמן: $$ G'(x) = g(x) $$ הביטוי באגף שמאל יהיה שווה: $$ \int\limits_a^b g(x) = G(b)-G(a) $$ והביטוי באגף ימין: $$ \begin{align*} \int\limits_a^c g(x) + \int\limits_c^b g(x) &= [G(x)\vert_a^c] + [G(x)\vert_c^b] \\ &= [G(c)-G(a)] + [G(b) - G(c)] \\ &= G(b)-G(a) \end{align*} $$ מכאן ששני הביטויים שווים ומתקיים הכלל השלישי: $$ \int\limits_a^b g(x) = \int\limits_a^c g(x) + \int\limits_c^b g(x) $$

הוכחה של הכלל הרביעי

נסמן $$ G'(x) = g(x) $$ $$ F'(x) = f(x) $$ ידוע מאינטגרלים לא מסוימים כי הפונקציה הקדומה של סכום שווה לסכום הפונקציות הקדומות, כלומר: $$ \int{f(x) + g(x)} = F(x) + G(x) $$ מכאן שהביטוי באגף שמאל יהיה: $$ \begin{align*} \int\limits_a^b [g(x) + f(x)] &= F(x) + G(x) |_a^b \\ &= [F(b) + G(b)] - [F(a)-G(a)] \\ &= [F(b)-F(a)] + [G(b)-G(a)] \end{align*} $$ הביטוי באגף ימין: $$ \begin{align*} \int\limits_a^b f(x) + \int\limits_a^b g(x) &= F(x)\vert_a^b + G(x)\vert_a^b \\ &= [F(b) - F(a)] + [G(b)-G(a)] \end{align*} $$ קיבלנו ששני האגפים שווים ובכך הוכחנו את הכלל הרביעי.

משמעות האינטגרל המסוים

האינטגרל המסוים מאפשר לנו לחשב את השטח הכלוא בין שתי פונקציות באמצעות המשפט הבא.

משפט:
נניח שנתונות לנו שתי פונקציות $ f(x) $   ו- $ g(x) $   ושבקטע [a,b] מתקיים $ f(x) \geq g(x) $   לכל x בקטע, אזי שהשטח הכלוא ביניהן ובין הישרים $ x=a $   ו- $ x=b $   , אותו נסמן ב-S, יהיה נתון בביטוי: $$ S = \int\limits_a^b f(x) - g(x) $$

השאלה הראשונה שעולה מן המשפט הזה, היא כיצד נוכל לחשב את השטח אם אף אחת מהפונקציות לא נמצאת מעל השנייה לאורך כל הקטע?
התשובה פשוטה ביותר, פשוט נחלק את הקטע לקטעים קטנים יותר כך שבכל אחד מהם אחת הפונקציות נמצאת מעל השנייה. אז, נחשב את האינטגרל על פני כל אחד מהקטעים בנפרד ונחבר את השטחים השונים לקבלת השטח הכולל.
נסתכל לדוגמא על הסיטואציה הבאה:

אם ברצוננו לחשב את השטח הכלוא בין הגרפים לא נוכל לעשות זאת באמצעות האינטגרל: $$ \int\limits_a^b f(x) - g(x) $$ זאת מאחר ואף אחת מהפונקציות לא נמצאת מעל השנייה לכל אורך הקטע עליו אנחנו מבצעים אינטגרציה.
קל לראות מהגרף שבקטע [a,c] הפונקציה $ g(x) $   נמצאת מעל $ f(x) $   ולכן נוכל לחשב את השטח הכלוא ביניהן בתחום זה, אותו נסמן בתור $ S_1 $ , באמצעות האינטגרל הבא: $$ S_1 = \int\limits_a^c g(x) - f(x) $$ בדיוק באותו האופן בקטע [c,b] הפונקציה $ f(x) $   נמצאת מעל $ g(x) $   ולכן נוכל לחשב את השטח הכלוא ביניהן בתחום זה, אותו נסמן בתור $ S_2 $ , באמצעות האינטגרל הבא: $$ S_2 = \int\limits_c^b f(x) - g(x) $$ השטח הכולל הכלוא ביניהן אותו נסמן ב- S , הוא פשוט סכום השטחים שחישבנו בנפרד: $$ S = S_1 + S_2 $$

חשיבות הסדר

ראינו שבשביל לחשב את השטח בין שתי פונקציות יש לדעת מי מביניהן נמצאת מעל האחרת. מה יקרה אם בטעות נחסר את הפונקציה הגבוה מהנמוכה?

נניח שיש לנו שתי פונקציות $ f(x) $   ו- $ g(x) $ , החותכות זו את זו בשתי נקודות ששיעורי ה- x שלהן הוא a ו- b , וידוע שמתקיים: $$ f(x) \gt g(x) $$ לכל x בקטע [a,b] .
השטח בין הפונקציות אותו נסמן ב- S יהיה: $$ S = \int\limits_a^b f(x) - g(x) $$ אם נתבלבל בסדר נקבל: $$ \begin{align*} \int\limits_a^b g(x) - f(x) &= \int\limits_a^b -[f(x)-g(x)] \\ &= -\int\limits_a^b f(x)-g(x) \\ &= - S \end{align*} $$ שימו לב שהשתמשנו בכלל הראשון שבחלק הקודם.
קיבלנו את השטח עם רק עם מינוס. זה אומר, שבמקום לבדוק מי מבין הפונקציות נמצאת מעל השנייה אפשר לחשב כל אינטגרל של הפרש בין הפונקציות ופשוט לקחת את הערך המוחלט.
אנחנו נשתמש ברעיון הזה בהמשך על מנת לחסוך לעצמנו הרבה זמן וטרחה.

שטח בין גרף לציר ה-x

פעמים רבות תתבקשו לחשב את השטח הכלוא בין גרף של פונקציה וציר ה- x.
למעשה זהו מקרה פרטי של שטח בין שתי פונקציות, מאחר וציר ה- x יכול להיות מיוצג על ידי הפונקציה $ y=0 $ .
אם יש לי לדוגמא את הגרף הבא:

נחשב בנפרד את כל אחד מהשטחים, בדיוק כפי שעשינו מקודם, רק שעכשיו השטח כלוא בין הפונקציה לבין ציר ה- x .
כעת עלינו לחשב למעשה את השטח בין $ g(x) $   ו- $ f(x) = 0 $ שמייצגת את ציר ה- x .
בשטח שמשמאל, הציר נמצא מעל הפונקציה, ולכן השטח יחושב באמצעות האינטגרל: $$ \begin{align*} S_1 &= \int\limits_a^c f(x)-g(x) \\ &= \int\limits_a^c 0-g(x) \\ &= \int\limits_a^c -g(x) \end{align*} $$ כלומר, כאשר צריכים לחשב שטח בין פונקציה לבין ציר ה- x , אם הפונקציה שלילית בתחום יש לחשב את האינטגרל של מינוס הפונקציה.
בשטח הימני, הפונקציה מעל הציר, ולכן נוכל לחשב את השטח ביניהם באמצעות האינטגרל: $$ \begin{align*} S_2 &= \int\limits_c^b g(x) - f(x) \\ &= \int\limits_c^b g(x) - 0 \\ &= \int\limits_c^b g(x) \end{align*} $$ כלומר, כאשר הפונקציה חיובית בקטע, נוכל לחשב את השטח בינה לבין ציר ה- x , באמצעות אינטגרל על הפונקציה.

לסיכום:
כאשר אנחנו צריכים לחשב את השטח בין פונקציה לבין ציר ה- x , נחשב את האינטגרל של הפונקציה אם היא חיובית בקטע, ואת האינטגרל של מינוס הפונקציה כאשר היא שלילית בקטע.

חישוב שטחים

כעת כשיש לנו את הכלי הבסיסי הנדרש לחישוב שטחים בין שתי פונקציות בואו נעבור לקווים יותר פרקטיים ונראה כיצד החישוב מבוצע בפועל.

נניח שאנחנו צריכים לחשב את השטח בין שתי פונקציות $ f(x) $   ו- $ g(x) $ .
נפעל לפי הכללים הבאים:

1. נתחיל בכך שנמצא את כל נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות על ידי פתרון של המשוואה: $$ f(x) = g(x) $$
2. נחשב את האינטגרל של הפרש הפונקציות (לא משנה באיזה סדר) בין כל צמד נקודות חיתוך עוקבות. בסוף נחבר את הערך המוחלט שלהם לקבלת השטח כולו. אם לדוגמא ישנן N נקודות חיתוך שאת שיעורי ה- x שלהן נסמן ב- $ x_1, x_2, ... , x_{N} $ , נחשב את האינטגרל בין כל צמד נקודות חיתוך עוקבות: $$ \begin{align*} S_1 &= | \int\limits_{x_1}^{x_2} g(x) - f(x) | \\ S_2 &= | \int\limits_{x_2}^{x_3} g(x) - f(x) | \\ &\vdots\\ S_N &= | \int\limits_{x_{N-1}}^{x_N} g(x) - f(x) | \\ \end{align*} $$
3. נסכום את השטחים החלקיים לקבלת השטח הכולל: $$ S = S_1 + S_2 + ... + S_N $$

בשלב הראשון אנחנו מוצאים את כל נקודות החיתוך בין הפונקציות. השלב הזה הכרחי מאחר רק כאשר שתי פונקציות חותכות זו את זו הן יוצרות שטח שכלוא ביניהן, וכך אנחנו מוצאים איפה השטח הכלוא נמצא. שימו לב שכל השטח שכלוא בין שתי הפונקציות חייב להימצא בין נקודת החיתוך השמאלית ביותר לימנית ביותר.
בשלב השני אנחנו מחשבים בנפרד את השטחים הכלואים בין כל צמד נקודות חיתוך עוקבות. אך מדוע לא ניתן פשוט לחשב את כל השטח באמצועת אינטגרל אחד? $$ \int\limits_{x_1}^{x_N} g(x) - f(x) $$ הסיבה כבר אמורה להיות ברורה לכם בשלב זה: כל פעם ששתי הפונקציות חותכות זו את זו הסדר ביניהן (מי נמצאת מעל מי) עשוי להתהפך ולכן חייבים לחשב את השטחים בנפרד. שימו לב שזוהי הסיבה שמציאת כל נקודות החיתוך בין שתי הפונקציות היא שלב הכרחי בחישוב השטח.

כעת בשביל לחשב את השטחים בין כל צמד נקודות חיתוך עלינו לדעת מי מהפונקציות נמצאת מעל האחרת בין שתי נקודות החיתוך. ניתן לבדוק בין כל צמד נקודות חיתוך מי מהפונקציות נמצאת מעל השנייה פשוט על ידי חישוב הערך של שתי הפונקציות באיזושהי נקודה בין נקודות החיתוך. בפועל איננו טורחים לעשות זאת ואנחנו פשוט לוקחים את הערך המוחלט מאחר ואם בחרנו את הסדר הלא נכון בין הפונקציות התוצאה שתתקבל תהיה פשוט השטח עם סימן שלילי, ולפיכך אם ניקח את הערך המוחלט נקבל את התוצאה הנכונה. דרך זו עדיפה מאחר והיא חוסכת לנו הרבה זמן ועבודה.

לעיתים קרובות נתבקש לחשב את השטח הכלוא בין גרף של פונקציה לציר ה- x . במצבים אלה נשתמש באותה הטקטיקה כאשר רק שכעת מציאת נקודות החיתוך בין שת הפוקנציות משמעה מציאת נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- x .

מה קורה אם לא מחלקים את השטח

נניח שיש לנו איזושהי פונקציה $ f(x) $ , וברצוננו למצוא את השטח הכלוא בינה לבין ציר ה- x .
מצאנו כי הפונקציה חותכת את ציר ה- x בשלושה ערכים, בדקנו את הסימן שלה בין כל שתי נקודות חיתוך והסקנו כי היא נראית כך:

אנחנו יודעים כי הדרך הנכונה לחשב את השטח הכלוא, היא לחשב בנפרד את כל אחד מהשטחים. השטח השמאלי: $$ \begin{align*} S_1 &= \int\limits_a^c -f(x) \\ &= -F(x)\vert_a^c \\ &= -F(c) - [-F(a)] \\ &= F(a) - F(c) \end{align*} $$ והשטח הימני: $$ \begin{align*} S_2 &= \int\limits_c^b f(x) \\ &= F(x)\vert_a^c \\ &= F(b) - F(c) \\ \end{align*} $$ והשטח הכולל יהיה: $$ \begin{align*} S &= S_1 + S_2 \\ &= F(a) - F(c) + F(b) - F(c) \\ &= F(b) + F(a) - 2 \cdot F(c) \end{align*} $$

מה יקרה אם במקום לחלק את החישוב לשני אינטגרלים נפרדים נבצע פשוט אינטגרל יחיד: $$ \begin{align*} \int\limits_a^b f(x) &= F(x) \vert_a^b \\ &= F(b) - F(a) \\ \end{align*} $$ קל לראות שהתוצאה שקיבלנו שגויה, אך לא ניתן לראות מכאן מה יהיה הקשר בין הערך שנקבל לשטחים השונים.
נחשב את אותו האינטגרל רק שהפעם נשתמש בכלל השלישי על מנת להפריד את החישוב של האינטגרל לשני אינטגרלים נפרדים: $$ \begin{align*} \int\limits_a^b f(x) &= \int\limits_a^c f(x) + \int\limits_c^b f(x) \\ \end{align*} $$ נשתמש בכלל הראשון שלמדנו על האיבר הראשון ונקבל: $$ \begin{align*} \int\limits_a^c f(x) + \int\limits_c^b f(x) &= - \int\limits_a^c -f(x) + \int\limits_c^b f(x) \\ &= - S_1 + S_2 \end{align*} $$ כלומר כאשר אנחנו מחשבים את האינטגרל מקצה עד קצה מבלי לחלק אותו כאשר הפונקציה משנה את סימנה, אנחנו סוכמים את השטחים רק שאת חלקם עם סימן שלילי ומכאן שנקבל תוצאה שגויה.

נפח גוף סיבוב

גוף סיבוב, הינו גוף תלת מימדי הנוצר כתוצאה מסיבוב של משטח סביב ציר הנמצא באותו המישור של המשטח.
הדרך הטובה ביותר להדגים זאת היא על ידי תמונה:

בשרטוט שלעיל יש לנו משולש ששטחו צבוע בסגול. דמיינו לעצמכם שהמשולש מחובר לציר ה- x , ושאנחנו מסובבים את ציר ה-x כפי שמתואר בשרטוט. הסיבוב ייצור איזושהי צורה תלת מימדית, במקרה הזה זהו חרוט.

המטרה שלנו היא לחשב את הנפח של גוף הסיבוב הנוצר כתוצאה מסיבוב שטחים הנוצרים בין שתי פונקציות או בין פונקציה לציר ה- x .
לשם כך, נגדיר את הפונקציה $ V(x) $   שהערך שלה הוא הנפח מ- $ x=a $   עד ל- x .
אם נרצה לחשב את הנפח בין שני ערכי x, אותם נסמן ב- $ x_1 $   ו- $ x_2 $ , כאשר $ x_2 \gt x_1 $ , נוכל לעשות זאת פשוט על ידי חישוב ההפרש של הפונקציה בין שני הערכים: $ V(x_2) - V(x_1) $ .
מכאן שאם נמצא את הנגזרת של $ V(x) $ , נוכל לחשב את הנפח באמצעות האינטגרל הבא: $$ \int\limits_{x_1}^{x_2} V'(x) = V(x_2) - V(x_1) $$

נניח שאנחנו מגדילים את הנפח של גוף הסיבוב על ידי כך שאנחנו מזיזים את הקו התוחם את השטח $ \Delta x $   ימינה, כמו בשרטוט למטה.

התוספת לנפח אותה נסמן בתור $ \Delta V $ , היא פשוט ההפרש בין הערך של הפונקציה $ V(x) $   בין שני ערכי ה-x: $$ \Delta V = V(x+\Delta x) - V(x) $$ התוספת לנפח חייבת להיות מצד אחד קטנה מהנפח שיתקבל מסיבוב המלבן ACDF , ומצד שני גדולה מהנפח שיתקבל מסיבוב המלבן BCDE .
מאחר וסיבוב מלבן סביב ציר ה-x ייצור גליל, הרי שנוכל לחשב את הנפח של שני הגלילים שיווצרו מסיבוב שני המלבנים שלעיל. נפח גליל נתון במכפלת הגובה, שהוא רוחב המלבן, כלומר במקרה שלנו $ \Delta x$ , בשטח של בסיסו . הרדיוס של הבסיס יהיה הערך של הפונקציה בשתי הנקודות השונות על הגרף , כלומר $ f(x) $   עבור המלבן הקטן , ו- $ f(x + \Delta x) $   עבור הגדול.
מכאן שיתקיים אי-השיוויון הבא: $$ \pi f^2(x) \Delta x \lt \Delta V \lt \pi f^2(x+\Delta x) \Delta x $$

נחלק את האי-שיוויון ב- $ \Delta x $ ונקבל: $$ \pi f^2(x) \lt \frac{\Delta V}{\Delta x} \lt \pi f^2(x+\Delta x) $$

בגבול בו $ \Delta x $   שואף לאפס, הביטוי באמצע יהיה הנגזרת של הנפח. שני הצדדים הקיצוניים של אי השיוויון ישאפו לאותו ערך, ומכאן שהנגזרת של הנפח תהיה שווה ל: $$ V'(x) = \pi f^2(x) $$

לסיכום, אם ברצוננו לחשב את נפח הגוף סיבוב של פונקציה בין שני ערכי x , נגיד $x_1 $   ו- $x_2 $ , נוכל לעשות זאת באמצעות האינטגרל: $$ V = \int\limits_{x_1}^{x_2} \pi f^2(x) $$

אם ברצוננו לחשב את הנפח הנוצר מסיבוב של שטח הכלוא בין שתי פונקציות, ולא בין פונקציה לציר ה- x , הרי שנוכל לעשות זאת על ידי חיסור הנפח של הצורה הפנימית מזו החיצונית. כלומר, אם יש לנו שתי פונקציות $ f(x) $   ו- $ f(x) $ , אז הנפח המתקבל מסיבוב השטח הכלוא ביניהן בתחום כלשהו יהיה נתון על ידי האינטגרל: $$ V = \int\limits_{a}^{b} \pi \vert f^2(x) - g^2(x) \vert $$ בפועל פשוט נחשב את הנפח של כל אחד מגופי הסיבוב בנפרד ונחסר ביניהם.