האינטגרל המסוים- תרגילים

תרגיל 1

חשב את השטח בין הישר $ y(x) = x $   ציר ה- x והישר $ x = 6 $ .
בצע את החישוב באמצעות אינטגרל ובאמצעות הנוסחה לחישוב שטח משולש.

תרגיל 2

נתונה הפרבולה: $$ f(x) = -x^2 + 4 $$ חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה שני הישרים: $ x = 1 $   ו- $ x = -1 $ , וציר ה- x .

תרגיל 3

נתונה הפרבולה: $$ f(x) = x^2 $$ והישר: $$ y = 9 $$ חשב את השטח הכלוא ביניהם.

תרגיל 4

נתונה הפרבולה: $$ g(x) = (x-1)^2 $$ חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה, ציר ה- x וציר ה- y .

תרגיל 5

נתונה הפרבולה: $$ g(x) = x^2 - 4x $$ חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה, הישר שמשיק לנקודת הקיצון שלה וציר ה- y .

תרגיל 6

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = x^3 - 4x $$

1. אם ברצוננו לחשב את השטח הכלוא בין הפונקציה לציר ה- x, לכמה שטחים שונים יש להפריד את החישוב?
2. חשב את האינטגרל של הפונקציה בין שתי נקודות החיתוך הקיצוניות ביותר עם ציר ה- x.
3. מה ניתן ללמוד לגבי היחס בין שני השטחים מסעיף ב'? למה היחס הזה מתקיים?
4. חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה וציר ה- x .

תרגיל 7

חשב את השטח הכלוא בין הפונקציות: $$ f(x) = x^3 $$ $$ g(x) = x $$

תרגיל 8

נתונה הפרבולה: $$ h(x) = x^2 - 3x + 2 $$ חשב את סכום השטחים שכלואים בין הפונקציה לבין ציר ה- x , ובין הפונקציה ציר ה- x וציר ה- y .

תרגיל 9

נתונות הפונקציות: $$ g(x) = x^4 $$ $$ f(x) = x^2 $$

1. חשב את השטח הכלוא בין הפונקציות.
2. נגדיר צמד פונקציות חדשות $$ g_1(x) = (x-1)^4 $$ $$ f_1(x) = (x-1)^2 $$ חשב את השטח הכלוא בין פונקציות אלה.
3. נגדיר צמד פונקציות נוספות: $$ g_2(x) = x^4 + 2 $$ $$ f_2(x) = x^2 + 2 $$ חשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות.
4. נגדיר צמד פונקציות חדשות: $$ g_3(x) = (x+1)^4 - 3 $$ $$ f_3(x) = (x+1)^2 - 3 $$ חשב את השטח בין הפונקציות.
5. נגדיר פונקציה חדשה: $$ h(x) = x^4-x^2 $$ חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר ה- x .

תרגיל 10

נתונה הפרבולה: $$ f(x) = x^2 - 1 $$

1. חשב את השטח הכלוא בין הפרבולה לבין חלקו החיובי של ציר ה- x .
2. בלי להתשמש באינטגרל, חשב את השטח הכולל הכלוא בין הפרבולה לבין ציר ה- x .

תרגיל 11

נתונים שני ישרים: $$ f(x) = x + 2 $$ $$ g(x) = -x + 2 $$ חשב את השטח הכלוא בין שני הישרים וציר ה- x .
חשב באמצעות אינטגרל ובאמצעות הנוסחא לחשוב שטח משולש.

תרגיל 12

נתונות הפונקציות: $$ f(x) = -x^2 + 2 $$ $$ g(x) = x $$

1. חשב את השטח הכלוא בין הפונקציות לבין ציר ה- y .
2. חשב את השטח הכלוא בין הפונקציות והחלק החיובי של ציר ה- x.
3. חשב את השטח בין הפונקציות וחלקו השלילי של ציר ה- x .

תרגיל 13

נתוונות שלוש פונקציות: $$ f(x) = x^2 - 3x + 4 $$ $$ g(x) = 4(x-4)^2 $$ $$ h(x) = x + 1 $$ חשב את השטח שכלוא בין הפונקציות ושני הצירים.

תרגיל 1

נתונה הנגזרת: $$ f'(x) = 2x $$ ידוע כי הפונקציה עוברת דרך הנקודה $ (-1,2) $ . מצא את הפונקציה $ f(x) $ .

תרגיל 2

נתונה הנגזרת השנייה: $$ g''(x) = 1 $$ ידוע כי השיפוע של המשיק לפונקציה ב- x=1 הוא 3 , וכי הפונקציה עוברת דרך הנקודה $ (2,10) $ .
מצא את הפונקציה המקורית.

תרגיל 3

נתונה הנגזרת השנייה: $$ h''(x) = 4 $$ ידוע כי הישר $ y = 8x - 3 $   משיק לפונקציה ב- x=1 .
מצא את הפונקציה המקורית.

תרגיל 1

נתונה הפונקציה הבאה: $$ f(x) = \sqrt{x} $$ חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה, הישר $ x = 4 $   וציר ה- x .

תרגיל 2

נתונות הפונקציות: $$ g(x) = \sqrt{x} $$ $$ h(x) = x $$ חשב את השטח הכלוא ביניהן.

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \sqrt{x^3} $$ חשב את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הישר $ x=4 $ וציר ה- x .

תרגיל 4

נתונות הפונקציות: $$ f(x) = \sqrt{x} $$ $$ g(x) = \frac{1}{x^2} $$ $$ x = 3 $$ חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה לבין ציר ה- x .

תרגיל 5

נתונות הפונקציות: $$ f(x) = \sqrt{x} $$ $$ g(x) = \sqrt{1-x} $$ חשב את השטח המוגבל בין הפונקציות וציר ה- x .

תרגיל 1

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \sin(x) $$ חשב את השטח בין הפונקציה לבין ציר ה- x בתחום $ [0,2\pi] $ .

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \cos(x) $$ חשב את השטח בין הפונקציה לבין ציר ה- x בתחום $ [0,2\pi] $ .

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \sin({2x}) $$ חשב את השטח בין הפונקציה לבין ציר ה- x בתחום $ [0,\pi] $ .

תרגיל 4

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \sin^2(x) $$ חשב את השטח בין הפונקציה לבין ציר ה- x בתחום $ [0,2\pi] $ .

תרגיל 5

נתונות הפונקציות: $$ f(x) = \sin{x} $$ $$ g(x) = \cos{x} $$ חשב את השטח המוגבל בין הפונקציות וציר ה- y ברביע הראשון .

תרגיל 6

נתונות הפונקציות: $$ f(x) = \sin{x} $$ $$ g(x) = \cos{x} $$ חשב את השטח המוגבל בין הפונקציות וציר ה- x , בתחום $ [0,\frac{\pi}{2}] $ .

תרגיל 2

חשב את השטח הכלוא בין הפונקציה $$ g(x) = e^{2x} $$ הישר $ y=4 $   וציר ה-y.

תרגיל 3

נתונות שתי פונקציות מעריכיות: $$ f(x) = e^x $$ $$ g(x) = e^{-x} $$ חשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות, הישרים $ x=1 $   ו- $ x=-1 $ , וציר ה-x.

תרגיל 4

נתונה הפונקציה הבאה: $$ f(x) = \frac{e^x - e}{2e^x - 2ex} $$ מצא את השטח הכלוא בין הפונקציה, הצירים והישר $ x=0.5 $ .

תרגיל 1

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = x $$

1. חשב את נפח גוף הסיבוב הנוצר כתוצאה מסיבוב של השטח הכלוא בין הפונקציה, ציר ה- x והישר $ x=3 $ , סביב ציר ה- x .
2. מה תהיה צורתו של גוף הסיבוב המתקבל?

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $$ (x-1)^3 $$ חשב את הנפח של גוף הסיבוב שיווצר אם נסובב את הפונקציה סביב ציר ה-x בתחום $ [1,4] $ .

תרגיל 3

נתונות שתי פונקציות: $$ f(x) = x^2 - 8 $$ $$ g(x) = - x^2 $$ חשב את נפח גוף הסיבוב הנוצר כתוצאה מסיבוב השטח הכלוא ביניהן סביב ציר ה- x .

תרגיל 1

הוכח כי אם $ f(x) $   פונקציה אי-זוגית אז מתקיים: $$ \int\limits_{-a}^{a} f(x) = 0 $$ לכל מספר a .

תרגיל 2

הוכח כי אם $ f(x) $   פונקציה זוגית אז מתקיים: $$ \int\limits_0^a f(x) = \int\limits_{-a}^{0} f(x) $$ לכל a .