הנגזרת- תרגילים

נגזרות אלמנטריות

גזור את הפונקציות הבאות:

$ 10 $
$ x $
$ x^4 $
$ 2x^6 $
$ 2x^6 + x^4 $
$ -4x^3 $
$ \frac{x^2}{2} $
$ \frac{x^4 + 2x}{4} $
$ (x^4-1)(x^4+1) $
$ x^{-4} $
$ \sqrt{x} $
$ x^{\frac{1}{3}} $
$ \sin{x} $
$ \cos{x} $
$ \tan{x} $
$ 2\sin{x} + \tan{x} $
$ \ln{x} $
$ \log_2{x} $
$ e^x $
$ e^x + 2x^2 + 4 $
$ \frac{e^x}{4} + \frac{\ln{x}}{2} + e $
$ 2^x $

פתרון

$ 0 $
$ 1 $
$ 4x^3 $
$ 12x^5 $
$ 12x^5 + 4x^3 $
$ -12x^2 $
$ x $
$ \frac{4x^3+2}{4} $
$ 8x^7 $
$ -4x^{-3} $
$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $
$ \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $
$ \cos{x} $
$ -\sin{x} $
$ \frac{1}{\cos^2{x}} $
$ 2\cos{x} + \frac{1}{cos^2{x}} $
$ \frac{1}{x} $
$ \frac{1}{\ln{2}} \cdot \frac{1}{x} $
$ e^x $
$ e^x + 4x $
$ \frac{e^x}{4} + \frac{1}{2x} $
$ \ln{2} \cdot 2^x $

נגזרת של מכפלה

השתמש בנוסחת הנגזרת של מכפלה על מנת לחשב את הנגזרות של הפונקציות הבאות:

$ x \cdot x $
$ x \cdot (x-1) $
$ (x-1) \cdot (x-1) $
$ (x^2-1) \cdot (2x-1) $
$ \cos{(x)} \cdot (2x-1) $
$ x \cdot \sin{(x)} $
$ x \cdot e^x $
$ x^2 \cdot e^x $
$ \sqrt{x} \cdot e^x $
$ x \cdot \ln{(x)} $

פתרון

$ 2x $
$ 2x - 1 $
$ 2x - 2 $
$ 6x^2-2x-2 $
$ -\sin{(x)}(2x-1) + 2\cos{(x)} $
$ \sin{(x)} + x \cdot \cos{(x)} $
$ e^x + x \cdot e^x $
$ 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x $
$ \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^x + \sqrt{x} \cdot e^x $
$ \ln{x} + 1 $

נגזרת של מנה

חשב את הנגזרת של כל אחת מהפונקציות הבאות:

$ f(x) = \frac{x+2}{3-x} $
$ f(x) = \frac{1}{2x-1} $
$ f(x) = \frac{x^2+1}{x^2+x+1} $
$ f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1} $
$ f(x) = \frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}} $
$ f(x) = \frac{1}{\cos{x}} $
$ f(x) = \frac{\sin{x}}{x} $
$ f(x) = \frac{x}{\ln{x}} $
$ f(x) = \frac{1 + \ln{x}}{1 - \ln{x}} $
$ f(x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x} $

פתרון

$ f(x) = \frac{5}{(3-x)^2} $
$ f(x) = -\frac{2}{(2x-1)^2} $
$ f(x) = \frac{x^2-1}{(x^2+x+1)^2} $
$ f(x) = -\frac{x + 1}{2\sqrt{x}(x-1)^2} $
$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^2} $
$ f(x) = \frac{\tan{x}}{\cos{x}} $
$ f(x) = \frac{x\cos{x} - \sin{x}}{x^2} $
$ f(x) = \frac{\ln{x} - 1}{\ln^2{x}} $
$ f(x) = \frac{2}{x(1-\ln{x})^2} $
$ f(x) = \frac{2e^x}{(1 - e^x)^2} $

כלל השרשרת

חשב את הנגזרות של כל אחת מהפונקציות הבאות:

$ (1-x)^4 $
$ (2x-4)^6 $
$ (x^2-1)^{10} $
$ \sqrt{2x-1} $
$ \sqrt{x^2-1} $
$ x^2 \sqrt{1-x} $
$ \sqrt{x+\sqrt{x}} $
$ \sin{2x} $
$ \sin^2{x} $
$ \cos^2{2x} $
$ \ln^2{x} $
$ \ln{x^2} $
$ \ln^2{\sqrt{x^2-1}} $
$ e^{-x} $
$ e^{x^2} $
$ \sin{(\cos{x})} $

פתרון

$ -4 \cdot (1-x)^3 $
$ 12 \cdot (2x-4)^5 $
$ 20x \cdot (x^2-1)^9 $
$ \frac{1}{\sqrt{2x-1}} $
$ \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} $
$ \frac{4x-5x^2}{2 \sqrt{1-x}} $
$ \frac{2\sqrt{x} + 1}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}} $
$ 2\cos{2x} $
$ 2\sin{x}\cos{x} $
$ -4 \sin{2x} \cos{2x} $
$ \frac{2\ln{x}}{x} $
$ \frac{2}{x} $
$ \frac{2 \ln{\sqrt{x^2-1}}}{\sqrt{x^2-1}} $
$ -e^{-x} $
$ 2x \cdot e^{x^2} $
$ -\sin{(x)} \cdot \cos{(\sin{x})} $

נגזרות- תרגיל מסכם

חשב את הנגזרת של הפונקציות הבאות:

$ \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} $
$ \frac{(x^2-1)^4}{x} $
$ \frac{\sin^2{x}}{1 + \cos{x}} $
$ \frac{xe^{x^2}}{1+x} $
$ \frac{ \ln^2{x} }{x} $
$ \frac{1}{\sqrt{\sin{x}}} $
$ \frac{ \sqrt{\ln{x}} }{x} $
$ \frac{e^x + e^{-x}}{1 + e^x} $

פתרון

$ -\frac{1}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}} $
$ \frac{(7x^2+1) \cdot (x^2-1)^3 }{x^2} $
$ \frac{\sin{(2x)} \cdot (1 + \cos{x}) + \sin^3{x} }{(1 + \cos{x})^2} $
$ \frac{ e^{x^2}(2x^3 + 2x^2 + 2x + 1) }{(1+x)^2} $
$ \frac{\ln{x} \cdot (\ln{x} + 2 ) }{x^2} $
$ - \frac{\cos{x}}{ 2\sin{x} \sqrt{sin{x}} } $
$ \frac{1 - 2\ln{x}}{ 2x^2 \sqrt{\ln{x}} } $
$ \frac{e^x - e^{-x} - 2 }{ (e^x + 1)^2 } $

הנגזרת והמשיק לפונקציה

תרגיל 1

מצא את המשיק לפונקציה $ f(x) = x^2 + 1 $ בנקודות:

$ (1,2) $
$ (0,1) $
$ (-1,2) $
$ (2,5) $

פתרון

$ y = 2x $
$ y = 1 $
$ y = -2x $
$ y = 4x - 3 $

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ g(x) = x^2 $$ מצא את כל המשיקים לפונקציה העוברים דרך כל אחת מהנקודות הבאות:

$ (4,-9) $
$ (4,32) $
$ (0,0) $
$ (4,16) $

פתרון

המשיקים הם:
- $ y = -2x -1 $
- $ y = 18x - 81 $
אין משיקים העוברים דרך הנקודה
$ y = 0 $
$ y = 8x - 16 $

תרגיל 3

נתונה פרבולה: $$ p(x) = ax^2 + bx + c $$ ידוע כי הפרבולה חותכת את ציר ה-y בנקודה $ (-6, 0) $ . בנוסף ידוע כי השיפוע של המשיק לפונקציה בנקודה $ (1, -4.5) $ הוא 2.
מצא את הפרבולה המתאימה.

פתרון

$ p(x) = \frac{1}{2}x^2 + x - 6 $

תרגיל 4

נתונה הפונקציה: $$ g(x) = \sin{(ax)} $$ הנגרת השנייה של הפונקציה מקיימת: $$ g''(\frac{1}{\pi}) = 0 $$ חשב את הפרמטר a אם ידוע כי הוא חיובי.

פתרון

$ a = \pi^2 $

תרגיל 5

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = e^{ax} $$ המשיק לפונקציה ב- $ x = 1 $ עובר בראשית הצירים.
מצא את a.

פתרון

$ a = 1 $

תרגיל 6

נתונה הפרבולה: $$ f(x) = x^2 - x + 2 $$ מצא את הפרבולה ששיעור ה-y של נקודת החיתוך שלה עם ציר ה-y הוא 4 , ושמשיקה לפרבולה לעיל כאשר $ x=1 $ .

פתרון

$ 3x^2 - 5x + 4 $