נקודות קיצון- תרגילים

פולינומים

תרגיל 1

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן:

  1. $ x^2 - x + 2 $
  2. $ x^2 + 2 $
  3. $ - (x-1)^2 $
  4. $ x^3 $
  5. $ x^4 $
  6. $ x^4 + 1 $
  7. $ (x-1)^4 $
  8. $ x^4 - 4x^3 $
  9. $ -x^4 + 4x^3 $
  10. $ -x^4 + 4x^3 + 1 $
  11. $ -(x+1)^4 + 4(x+1)^3 + 1 $
  12. $ (x^4-4x^3)^3 $

פתרון

    • מינימום: $ (0.5, 1.75) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,2) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (1,0) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,0) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,1) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (1,0) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (3,-27) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (3,27) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (3,28) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (2,28) $
    • מינימום: $ (3,-19,683) $
    • מקסימום: אין.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = ax^2 - 2x + c $$ חשב את הפרמטרים אם ידוע כי $ (1,1) $ , היא נקודת מינימום של הפונקציה.

פתרון

  1. $ a =1 ~~;~~ c=2 $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ g(x) = ax^2 + bx + 6$$ ידוע כי הפונקציה משיקה לישר $ y=-2 $   כאשר $ x=2 $ .
מצא את הפרמטרים.

פתרון

$ a= 2 ~~;~~ b=-8 $

תרגיל 4

נתונות הפרבולות: $$ f(x) = x^2 - 2x + 2 $$ $$ g(x) = ax^2 + bx + c $$ ידוע שלפונקציות יש אותה נקודת קיצון.

  1. הבע את המקדמים a ו- b במונחים של c .
  2. מהו טווח הערכים של c עבורם נקודת הקיצון תהיה מקסימום?
  3. המרחק של נקודת החיתוך הפרבולה $ g(x) $   מראשית הצירים הוא 3.
    מצא את הפרבולה $ g(x) $   (שתי אפשרויות) .

פתרון

  1. $ a=c-1 ~~;~~ b=2-2c $
  2. $ c \lt 1 $
  3. $ g(x) = 2x^2 - 4x + 3 ~~;~~ g(x) = -4x^2 + 8x -3 $

תרגיל 5

נתונה הפונקציה: $$ h(x) = 3x^4 - 4bx^3 $$

  1. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה (הבע באמצעות b במידת הצורך).
  2. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן.

פתרון

    • ירידה: $ x \lt b $
    • עלייה: $ x \gt b $
    • מינימום: $ (b,-b^4) $
    • מקסימום: אין

מנת פולינומים

תרגיל 1

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן:

  1. $ \frac{3x^2}{x^2 + x - 2} $
  2. $ 1 - \frac{2}{x+1} $
  3. $ 1 - \frac{2}{x+3} $
  4. $ \frac{x^2 + 1}{x} $
  5. $1 - \frac{x^2 + 1}{x} $
  6. $ \frac{x+2}{x^2+2x+4} $
  7. $ \frac{x}{(x^2-2)^2} $
  8. $ \frac{x}{(x^2-2)^3} $
  9. $ \frac{3}{x^2} - 6x $
  10. $ 0.25x + \frac{9}{x} $

פתרון

    • מינימום: $ (4,2\frac{2}{3}) $
    • מקסימום: $ (0,0) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (1,2) $
    • מקסימום: $ (-1,-2) $
    • מינימום: $ (1,-1) $
    • מקסימום: $ (-1, 3) $
    • מינימום: $ (-4, -\frac{1}{6}) $
    • מקסימום: $ (0,\frac{1}{2}) $
    • מינימום: אין
    • מקסימום: אין
    • מינימום: אין
    • מקסימום: אין
    • מינימום: $ (-1, 9) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (6,3) $
    • מקסימום: $ (-6,-3) $

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{x^2 + b}{x} $$

  1. נתון שלפונקציה יש שתי נקודות קיצון. מצא את טווח הערכים האפשרי עבור b וחשב את נקודות הקיצון של הפונקציה.
  2. האם יתכן כי לפונקציה תהיה נקודת קיצון אחת? אם כן עבור אילו ערכי b זה יתקיים, ואם לא אז למה?
  3. נתון שלפונקציה אין נקודות קיצון. מצא את טווח הערכים האפשרי עבור b וחשב את נקודות הקיצון של הפונקציה.

פתרון

    • $ b \gt 0 $
    • מקסימום: $ (-b,1-b) $
    • מינימום: $ (b,1+b) $
  2. לא ייתכן שלפוקנציה תהיה נקודת קיצון אחת.
  3. $ b \leq 0 $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ g(x) = \frac{a}{x^2} + bx $$ ידוע שהנקודה $ (-1,9) $ היא נקודת קיצון של הפונקציה.
חשב את הפרמטרים.

פתרון

$ a=3 ~~;~~ b = -6 $

תרגיל 4

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = 1 - \frac{b}{x+1} $$

  1. הוכח כי לפונקציה אין נקודות קיצון.
  2. עבור אילו ערכים של הפרמטר הפונקציה עולה ועבר אילו ערכים היא יורדת?
  3. האם קיים ערך של b עבורו הפונקציה לא עולה ולא יורדת?

פתרון

  1. הוכחה
    • עולה: $ b \gt 0 $
    • יורדת: $ b \lt 0 $
  3. $ b = 0 $

שורשים

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן:

  1. $ \sqrt{x} $
  2. $ \sqrt{x-1} $
  3. $ \sqrt{x^2-1} $
  4. $ \sqrt{x^2-1} + 4 $
  5. $ -2 + \sqrt{-x^2+5x} $
  6. $ \sqrt{1-x} + x $
  7. $ \sqrt{1-x^2} $
  8. $ \sqrt{x^2-x+1} $

פתרון

    • מינימום: $ (0,0) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (1,0) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (1,0) ~~;~~ (-1,0) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (1,4) ~~;~~ (-1,4) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,-2) ~~;~~ (5,-2) $
    • מקסימום: $ (2.5,0.5) $
    • מינימום: $ (1,1) $
    • מקסימום: $ (0.75,1.25) $
    • מינימום: $ (-1,0) ~~;~~ (1,0) $
    • מקסימום: $ (0,1) $
    • מינימום: $ (0.5,0.75) $
    • מקסימום: אין.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ h(x) = \sqrt{ax^2 + bx + 1 } $$ ידוע שהפונקציה מוגדרת לכל x , וכי יש לה נקודת מינימום $ (0.5,0.75) $ .
חשב את הפרמטרים.

פתרון

$ a=1 ~~;~~ b=-1 $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \sqrt{1+ax} + x $$ ידוע כי לפונקציה יש קיצון כאשר $ x = 1 $   מצא את a (חשב את שני הערכים האפשריים) .

פתרון

$ a=-0.83 ~~;~~ a=-1 $

מנת שורשים

תרגיל 1

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן:

  1. $ \frac{4\sqrt{x}}{x+2} $
  2. $ \sqrt{\frac{x}{1+x^2}} $
  3. $ \frac{1}{\sqrt{3x^2 + 2}} $
  4. $ \frac{\sqrt{x}}{x-1} $
  5. $ \frac{x}{x-\sqrt{x}} $
  6. $ \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} $
  7. $ \frac{x-4}{\sqrt{x^2-16}} $
  8. $ \frac{x+9}{\sqrt{x}} $

פתרון

    • מינימום: $ (0,0) $
    • מקסימום: $ (2,\sqrt{2}) $
    • מינימום: $ (0,0) $
    • מקסימום: $ (1,\frac{1}{\sqrt{2}}) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (0,\frac{1}{\sqrt{2}}) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (0,0) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (9,6) $
    • מקסימום: אין.

תרגיל 2

נתונה הפונקציה הבאה: $$ f(x) = \sqrt{\frac{ax}{1+x^2}} $$ והישר: $$ y = 1 $$

  1. עבור אילו ערכים של הפרמטר a לא תהיינה נקודות חיתוך בין הישר לפונקציה?
  2. עבור אילו ערכים של הפרמטר a הישר יחתוך את הפונקציה בנקודה אחת בלבד? האם הוא יהיה משיק לפונקציה בנקודות הללו?
  3. עבור אילו ערכים של הפרמטר a הישר יחתוך את הישר בשתי נקודות?

פתרון

  1. $ a \lt 2 $
  2. כן, הוא ישיק לפונקציה. $ a = 2 $
  3. $ a \gt 2 $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ g(x) = \sqrt{\frac{x}{1+x^2}} $$ והישר: $$ y = k $$

  1. עבור אילו ערכים של הפרמטר k , הישר יחתוך את הישר בשתי נקודות?
  2. עבור אילו ערכים של הפרמטר k, הישר יחתוך את הפונקציה בנקודה אחת? האם הוא ישיק לפונקציה?
  3. עבור אילו ערכים של k הישר לא יחתוך את הפונקציה כלל?

פתרון

  1. $ 0 \lt k \lt 1 $
  2. הישר ישיק לפונקציה כאשר: $ k=1 $ .
    הישר יחתוך את הפונקציה בנקודה אחת אך לא ישיק כאשר: $ k=0 $ .
  3. $ k \gt 1 ~~ or ~~ k \lt 0 $

תרגיל 4

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = \frac{ax + b}{\sqrt{x}} $$ ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון- $ (9,6) $ .
מצא את הפרמטרים.

פתרון

$ a = 1 ~~;~~ b = 9 $

פונקציות טריגונומטריות

תרגיל 1

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן:

  1. $ \sin{x} ~~~~ 0 \leq x \leq \pi$
  2. $ \sin{2x} ~~~~ 0 \leq x \leq \pi$
  3. $ \cos{x} ~~~~ -\pi \leq x \leq \pi$
  4. $ \sin^2{x} ~~~~ 0 \leq x \leq \pi$
  5. $ \frac{6}{2\cos^2{x} -5\cos{x} -3} ~~~~ 0 \leq x \leq 2\pi$
  6. $ \frac{\sin{x}}{1-\sin{x}} ~~~~ -\frac{3\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $
  7. $ \sin{(\frac{3\pi}{x})} ~~~~ 1 \leq x \leq 3 $
  8. $ \sin^3{x} -3 \sin{x} ~~~~ 0 \leq x \leq \pi $
  9. $ 2\sin^2{x} - 4\sin{x} ~~~~ 0 \leq x \leq \pi $

פתרון

    • מינימום: $ (0,0) ~~;~~ (\pi, -1) $
    • מקסימום: $ (\frac{\pi}{2},1) $
    • מינימום: $ (0,0) ~~;~~ (\frac{3\pi}{4},-1) $
    • מקסימום: $ (\frac{\pi}{2},1) $
    • מינימום: $ (-\pi,-1) ~~;~~ (\pi,-1) $
    • מקסימום: $ (0,1) $
    • מינימום: $ (0,0) ~~;~~ (\pi,0) $
    • מקסימום: $ (\frac{\pi}{2},1) $
    • מינימום: $ (\pi,1.5) $
    • מקסימום: $ (0,-1) ~~;~~ (2\pi,-1) $
    • מינימום: $ (-\frac{\pi}{2}, -\frac{1}{2}) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (1,0) ~~;~~ (2,-1) $
    • מקסימום: $ (1.2,1) ~~;~~ (3,0) $
    • מינימום: $ (\frac{\pi}{2},-2) $
    • מקסימום: $ (0,0) ~~;~~ (\pi,0) $
    • מינימום: $ (\frac{\pi}{2},-2) $
    • מקסימום: $ (0,0) ~~;~~ (\pi,0) $

תרגיל 2

נתונה פונקציה: $$ f(x) = \sin{x + b} $$ הקו המשיק לפונקציה ב- $ x= \frac{\pi}{2} $ בעל שיפוע $ -1 $ .
חשב את b אם ידוע כי $ 0 \lt b \lt \pi $ .

פתרון

$ b = \frac{\pi}{2} $

פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

מצא את נקודות הקיצון של הפונקציות הבאות וקבע את סוגן:

  1. $ e^x $
  2. $ e^x + e^{-x} $
  3. $ (e^x + e^{-x})^4 $
  4. $ e^x - x $
  5. $ 9^x - 2 \cdot 3^x - 3 $
  6. $ \frac{e^{-2x}}{x^2-2} $
  7. $ \ln{x} $
  8. $ \ln^2{x} $
  9. $ \ln{x} - x $
  10. $ x\ln{x} $
  11. $ \ln{(-x^2+4x-3)} $
  12. $ \ln{(\frac{2-x}{x+4})} $
  13. $ \frac{2\ln{x}-5}{\ln^2{x}-4} $
  14. $ \frac{\ln{x}}{x} $

פתרון

    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,2) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,16) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,1) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (0,-4) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (-2,27.3) $
    • מקסימום: $ (1,-0.13) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (1,0) $
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (1,-1) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (\frac{1}{e},-\frac{1}{e}) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (2,0) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: אין.
    • מינימום: $ (e,1) $
    • מקסימום: $ (e^4,0.25) $
    • מינימום: אין.
    • מקסימום: $ (e,\frac{1}{e}) $

תרגיל 2

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = a e^x + b e^{-x} $$ ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $ (0,2) $ .
חשב את הפרמטרים.

פתרון

$ a = 1 ~~;~~ b=1 $

תרגיל 3

נתונה הפונקציה: $$ f(x) = a e^x + b x $$ ידוע כי לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $ (0,1) $ .
חשב את הפרמטרים.

פתרון

$ a = 1 ~~;~~ b=-1 $