המורה שלך ברשת

משוואות

חקירת משוואה ליניארית

דוגמא:

נתונה המשוואה: $$m(mx-1) = 2m(x + 1)$$ מצא לאילו ערכי m יש למשוואה:
1. פתרון יחיד
2. אף פתרון
3. אינסוף פתרונות

ביצענו בעבר ניתוח כללי של פתרונות משוואה לינארית עם נעלם אחד וראינו תחת אילו תנאים מתקבלות כל אחת מקבוצות הפתרונות לעיל.
בשלב הראשון של החקירה, נפתח סוגריים ונעביר אגפים על מנת לקבל משוואה ליניארית בהצגתה הסטנדרטית, $$ax = b$$ נעשה זאת ונקבל: $$m(mx - 1) = 2m(x + 1)$$ $$m^2x-m = 2mx + 2m $$ $$m^2x-2mx = m + 2m$$ $$(m^2-2m)x = 3m $$ ריכזנו את האיברים עם הנעלם באגף אחד ואת המספרים באגף השני.
כעת נשתמש במה שאנחנו יודעים על מספר הפתרונות של משוואה ליניארית:
  1. למשוואה ליניארית יש פתרון בודד אם המקדם של הנעלם שונה מאפס.
    במקרה שלנו התנאי הזה מתורגם ל: $$m^2 - 2m \neq 0$$ כלומר: $$m \neq 0 , 2 $$
    ובמילים אחרות למשוואה יהיה פתרון בודד כל עוד הפרמטר שלנו $m$ יהיה שונה מ- 0 ומ- 2 .

  2. למשוואה ליניארית לא יהיה אף פתרון אם היא מהצורה $$0x = b$$ כלומר, המקדם של הנעלם הוא אפס בעוד שהאיבר החופשי (כלומר המספר באגף ימין ) שונה מאפס .
    במשוואה שלנו נצטרך לדרוש שיתקיים: $$m^2-2m = 0$$ וגם $$3m \neq 0 $$ נצטרך ערך של $m$ שיקיים את שני התנאים .
    התנאי הראשון מתקיים עבור : $$m = 0$$ או $$m = 2$$ התנאי השני מתקיים עבור: $$m \neq 0$$
    כלומר שני התנאי יתקיימו רק עבור: m = 2 .
    לסיכום, למשוואה לא יהיו פתרונות אם m = 2 .

  3. למשוואה ליניארית יהיו אינסוף פתרונות אם היא מהצורה $$0x = 0$$ כלומר, המקדם של הנעלם כמו גם האיבר החופשי שווים לאפס.
    במשוואה שלנו נצטרך לדרוש שיתקיים: $$m^2-2m = 0$$ וגם $$3m = 0 $$ נצטרך ערך של m שיקיים את שני התנאים .
    התנאי הראשון מתקיים עבור : $$m = 0$$ או $$m = 2$$ התנאי השני מתקיים עבור: $$m = 0$$ כלומר שני התנאים יתקיימו רק עבור: $$m = 0$$ ומכאן שרק עבור m = 0 למשוואה יהיו אינסוף פתרונות.

חקירת משוואה ריבועית

דוגמא 1:

מצא לאילו ערכי $m$ יש למשוואה: $$(m-1)x^2 + (m + 1)x + m -1 = 0 $$
  1. שני פתרונות
  2. פתרון יחיד
  3. אפס פתרונות
פתרון:

אנחנו יודעים שמספר הפתרונות של משוואה ריבועית תלוי בערך של הדיסקרימיננטה,   $\Delta = b^2 - 4ac$ , באופן הבא :
  1. Δ > 0 ←   שני פתרונות
  2. Δ = 0 ←   פתרון יחיד
  3. Δ < 0 ←   אין פתרון
נבטא את הדיסקרימיננטה במונחים של הפרמטר m : $$\Delta = b^2-4ac =(m+1)^2 - 4(m-1)(m-1) = (m + 1)^2 -4(m-1)^2 $$ נפתח את הסוגריים, נחבר איברים דומים ונקבל: $$\Delta = -3m^2 + 10m -3 $$ הדיסקרימיננטה היא פונקציה ריבועית בפרמטר m. נוכל לצייר את הפרבולה המתארת את הדיסקרימיננטה בקלות. ראשית, נזהה שהפרבולה בוכה מאחר והמקדם של $x^2$ שלילי . בשלב השני נמצא את נקודות החיתוך שלה עם ציר ה- $x$ באמצעות פתרון המשוואה : $$-3m^2 + 10m -3 = 0$$ נקבל שני פתרונות: $$m_1 = 3$$ $$m_2 = \frac{1}{3}$$
נצייר את הגרף של הדיסקרימיננטה כפונקציה של הפרמטר:
מהגרף ניתן ללמוד על הסימן של הדיסקרימיננטה עבור ערכים שונים של הפרמטר m ומכאן שעל מספר הפתרונות של המשוואה הריבועית.
  1. עבור x > 3 או x < 1/3 למשוואה אין פתרונות.
  2. עבור 1/3 < x < 3 ← למשוואה שני פתרונות
  3. עבור x = 3 או x = 1/3 למשוואה פתרון בודד

חקירת מערכת משוואות

בחלק זה נעסוק בחקירת מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים. דרך הפעולה שלנו בחקירה של מערכת כזו תהיה פשוטה ביותר: נכפול את שתי המשוואות בקבועים כך שכאשר נחבר אותן אחד הנעלמים יתבטל ואז נמשיך עם חקירה של משוואה אחת בנעלם אחד.

דוגמא:

נתונה מערכת המשוואות הבאה: $$\begin{cases} x + my = 1 \\ (m + 1)x + 2y = 2 \end{cases}$$ לאילו ערכי $m$ יש למערכת המשוואות הנ"ל:
  1. פתרון יחיד.
  2. אף פתרון.
  3. אינסוף פתרון.

פתרון:

נכפול את המשווא הראשונה ב- $-2$ , ואת המשוואה השנייה ב- $m$ ונקבל: $$\begin{cases} -2x - 2my = -2 \\ m(m + 1)x + 2my = 2m \end{cases}$$ נחבר את המשוואת ונקבל: $$-2x - 2my + m(m + 1)x + 2my = -2 + 2m $$ $$-2x + m(m+1)x = -2 + 2m $$ $$-2x + m^2x + mx = -2 + 2m $$ $$(m^2 + m - 2)x = -2 + 2m $$ הפכנו את חקירה של מערכת משוואות לחקירה של משוואה בודדת. שימו לב שהבחירה במה לכפול כל אחת מהמשוואות לא הייתה אקראית, כפלנו כל אחת מהמשוואות בקבועים כך שכאשר נחבר אותן אחד הנעלמים, במקרה שלנו ה- $y$ , יתבטל. נמשיך עם חקירת המשוואה, כפי שראינו בחלק של חקירת משוואה ליניארית עם נעלם אחד.
  1. למשוואה יש פתרון יחיד אם המקדם של $x$ שונה מאפס.
    במקרה שלנו התנאי הזה יתורגם ל: $$m^2 + m - 2 \neq 0 $$ תנאי זה יתקיים אם: $$m_1 \neq 1$$ או $$m_2 \neq -2$$

  2. למשוואה לא יהיו פתרונות אם המקדם של x יתאפס בעוד שהאיבר החופשי יהיה שונה מאפס.
    כלומר צריכים להתקיים שני התנאים הבאים במקביל:

    $$m^2 + m - 2 = 0 $$ וגם $$2m - 2 \neq 0$$
    התנאי הראשון יתקיים אם: $$m = 1$$ או $$m = -2$$ התנאי השני יתקיים אם: $$m \neq 1$$ שני התנאים יחד מתקיימים רק עבור $$m = -2$$ ומכאן שרק עבור ערך זה לא יהיה למערכת אף פתרון.

  3. למשוואה יהיו אינסוף פתרונות אם המקדם של x כמו גם האיבר החופשי יהיו שווים לאפס.
    כלומר צריכים להתקיים שני התנאים הבאים במקביל:

    $$m^2 + m - 2 = 0 $$ וגם $$2m - 2 = 0$$
    התנאי הראשון יתקיים אם: $$m = 1$$ או $$m = -2$$ התנאי השני יתקיים אם: $$m = 1$$ שני התנאים יחד מתקיימים רק עבור $$m = 1$$ ומכאן שרק עבור ערך זה יהיו למשוואה אינסוף פתרונות.