משוואות
משוואות ליניאריות
דוגמא 1:
פתור את המשוואה: $$3x + 4 = 7 $$פתרון:
$$3x + 4 = 7 $$ $$3x = 3 $$ $$x = 1 $$דוגמא 2:
פתור את המשוואה: $$-4x - 2 = 7x -46 $$פתרון:
$$-4x - 2 = 7x -46 $$ $$-2 + 46 = 7x + 4x $$ $$44 = 11x $$ $$x=4 $$דוגמא 3:
פתור את המשוואה: $$2.4x+3.2 = 1.2x - 2.8 $$פתרון:
$$2.4x - 1.2x = -2.8 - 3.2 $$ $$1.2x = -6 $$ $$x = -5 $$דוגמא 4:
פתור את המשוואה: $$\frac{x}{3} + 3 = -\frac{2x}{3} + 6 $$פתרון:
$$\frac{x}{3} + 3 = -\frac{2x}{3} + 6 $$ $$\frac{x}{3} + \frac{2x}{3} = 6 - 3 $$ $$\frac{x+2x}{3} = 6 - 3 $$ $$\frac{3x}{3} = 3 $$ $$x = 3 $$דוגמא 5:
פתור את המשוואה: $$-\frac{3}{7} x = -\frac{2}{7} x -2 $$ $$2 = \frac{3}{7} x - \frac{2}{7} x $$ $$2 = \frac{1}{7} x $$ $$x = 14 $$דוגמא 6:
$$ \frac{1}{2} x + \frac{2}{3} x = 1 $$ $$ \frac{3}{6} x + \frac{4}{6} x = 1 $$ $$ \frac{7}{6} x = 1 /*\frac{6}{7} $$ $$ x = \frac{6}{7} $$משוואות ריבועיות
דוגמא 1:
פתור את המשוואה: $$x^2 -2x - 3 = 0$$פתרון:
נציב בנוסחת השורשים: $$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt {(-2)^2 - 4*1*(-3)} }{2*1} = \frac{2 \pm \sqrt {4+12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $$ הפתרון הראשון יהיה: $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ והפתרון השני יהיה: $$x_2 = \frac{2-4}{2} = -1$$דוגמא 2:
פתור את המשוואה: $$x^2 = x + 6 $$פתרון:
$$x^2 = x + 6 $$ $$x^2 - x - 6 = 0 $$ נציב בנוסחת השורשים: $$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4*1*(-6)} }{2*1} = \frac{1 \pm \sqrt {1+24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $$ הפתרון הראשון יהיה: $$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$$ והפתרון השני יהיה: $$x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$$דוגמא 3:
פתור את המשוואה: $$2x^2 - 2x - 12 = 0 $$פתרון:
נחלק את שני האגפים ב-2 : $$x^2 - x - 6 = 0 $$ וכעת ניתן לראות שזוהי משוואה זהה לחלוטין לזו שפתרנו בדוגמא 2, ומכאן שפתרונותיה יהיו זהים. הפתרון הראשון יהיה: $$x_1 = 3$$ והפתרון השני יהיה: $$x_2 = -2$$דוגמא 4:
פתור את המשוואה: $$x^2 - 2x + 1 = 0 $$פתרון:
נציב בנוסחת השורשים: $$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt {(-2)^2 - 4*1*1} }{2*1} = \frac{2 \pm \sqrt {4-4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} $$ ומכאן שלמשוואה יש פתרון בודד: $$x = 1 $$דוגמא 5:
פתור את המשוואה: $$x^2 - x + 10 = 0 $$פתרון:
נשתמש בנוסחת השורשים: $$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt {(-1)^2 - 4*1*10} }{2*1} = \frac{1 \pm \sqrt {1 - 40}}{2} = $$ קיבלנו מספר שלילי בתוך השורש ומכאן שלמשוואה אין פתרון.דוגמא 6:
פתור את המשוואה: $$x^2 - x = 0 $$פתרון:
$$x^2 - x = 0 $$ $$x(x-1) = 0 $$ בשביל שמכפלה של מספר ביטויים תתאפס, אחד האיברים יהיה חייב להתאפס. פתרון ראשון יתקבל כאשר האיבר הראשון במכפלה יתאפס: $$ x_1 = 0$$ הפתרון השני יתקבל כאשר האיבר השני מתאפס: $$x - 1 = 0 $$ $$x_2 = 1 $$דוגמא 7:
פתור את המשוואה: $$x^2 - 9 = 0 $$פתרון:
$$x^2 - 9 = 0 $$ $$x^2 = 9 $$ $$x = \pm 3 $$דוגמא 8:
פתור את המשוואה: $$x^2 - 7 = 0$$פתרון:
$$x^2 = 7 $$ $$x = \pm \sqrt{7} $$דוגמא 9:
פתור את המשוואה: $$x^2 + 16 = 0 $$פתרון:
$$x^2 + 16 = 0 $$ $$x^2 = -16 $$ למשוואה הזו אין כל פתרון מאחר ואין מספר שאם נעלה אותו בריבוע נקבל מספר שלילי.משוואות עם שברים
דוגמא 1:
$$ \frac{x-1}{x-2} + \frac{3x}{x-1} = 1 $$פתרון:
ראשית נמצא את קבוצת ההצבה של המשוואה. להזכירכם, קבוצת ההצבה של המשוואה הוא אוסף כל המספרים שניתן להציב במקום הנעלם מבלי לקבל ביטויים בלתי חוקיים מתמטית. במקרה שלנו ניתן להציב כל מספר בביטויים במשוואה מלבד אלה שיאפסו את המכנה של הביטויים. עבור השבר הראשון: $$x-2 = 0$$ $$x=2$$ והשבר השני: $$x-1 = 0$$ $$x=1 $$ ומכאן שקבוצת ההצבה הינה: $$x \neq 1 ; x \neq 2 $$על מנת לפתור את המשוואה ננסה להיפטר מהמכנה על ידי מכפלה של שני האגפים ב- $$(x-2)(x-1) $$ ונקבל: $$\frac{x-1}{x-2} + \frac{3x}{x-1} = 1 /(x-2)(x-1) $$ $$ (x-1)(x-1) + 3x(x-2) = (x-2)(x-1) $$ $$ x^2 - 2x + 1 + 3x^2 - 6x = x^2 - x -2x +2 $$ $$ 3x^2 - 5x - 1 = 0 $$ קיבלנו משוואה ריבועית אותה נפתור באמצעות נוסחת השורשים: $$x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4*3*(-1)}}{2*3} $$ נקבל שני פתרונות: $$x_1 = 0.85$$ $$x_2 = -1.18$$
יש לבדוק בסוף האם הפתרונות נמצאים בקבוצת ההצבה של המשוואה. אם פתרון אינו נמצא בקבוצת ההצבה יש לפסול אותו. במקרה שלנו שני הפתרונות נמצאים בקבוצת ההצבה.
דוגמא 2:
פתור את המשוואה: $$\frac{x^2 + x - 6}{x+3} - \frac{25}{x-2} = 0 $$פתרון:
ראשית נמצא את קבוצת ההצבה: $$x \neq -3 , 2$$ אם ננסה לחזור על אותו טריק מהמשוואה הראשונה ונכפול את המשוואה במכפלה של שני המכנים , נתקל בבעיה משום שנקבל משוואה ממעלה שלישית (אם אינכם רואים זאת, תכפילו בעצמכם ותראו מה אתם מקבלים) .נפרק את המונה של הביטוי הראשון לפי טרינום ונקבל: $$\frac{(x-2)(x+3) }{x+3} - \frac{25}{x-2} = 0$$ $$x-2 - \frac{25}{x-2} = 0$$ צמצמנו את השבר הראשון וקיבלנו משוואה פשוטה בהרבה. כעת נכפיל את שני האגפים במכנה של הביטוי השני וניפטר מהמכנה: $$(x-2)^2 - 25 = 0 $$ ניתן לפתוח את הסוגריים ולהשתמש בנוסחת השורשים, אך נשתמש בקיצור הדרך הבא: $$(x-2)^2 = 25$$ $$x-2 =\pm 5$$ ומכאן שקבילנו שני פתרונות אפשריים: $$x_1 = 7$$ $$x_2 = -3$$ השלב האחרון הוא לבדוק אם הפתרונות נמצאים בקבוצת ההצבה ואחרת לפסול אותם. המספר 7 נמצא בקבוצת ההצבה ולכן הוא פתרון של המשוואה המקורית. המספר (-3) אינו בקבוצת ההצבה ולכן אינו פתרון של המשוואה .
לסיכום, הפתרון היחיד של המשוואה הוא 7.
דוגמא 3:
פתור את המשוואה: $$\frac{x}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{x^2- 4x + 4} $$פתרון:
נפרק את המכנה בשני הביטויים על פי טרינום ונקבל : $$\frac{x}{(x-2)(x+3) } = \frac{1}{(x-2)^2 } $$ קל לראות כי נוכל להיפטר מהמכנים אם נכפיל את שני האגפים ב- $$(x+3)(x-2)^2 $$ נבצע את המכפלה ונקבל: $$x(x-2) = x + 3$$ $$x^2-2x = x + 3$$ $$x^2 -3x - 3 = 0$$ נשתמש בנוסחת השורשים ונקבל שני פתרונות: $$x_1 = 3.8$$ $$x_2 = -0.8 $$ שני הפתרונות נמצאים בקבוצת ההצבה.משוואות עם שורשים
דוגמא 1:
פתור את המשוואה: $$x + \sqrt{2x+3} = 0$$ בשלב הראשון נמצא את קבוצת ההצבה של המשוואה. נזכור שכשיש לנו שורש קבוצת ההצבה מכילה רק את המספרים שאם נציב אותם לא נקבל מספר שלילי בתוך השורש . במקרה שלנו הביטוי בשורש יהיה חיובי עבור כל מספר שיקיים: $$2x + 3 \geq 0 $$ ראשית נעביר את ה-3 לאגף ימין ונקבל: $$2x \geq -3$$ וכעת נחלק את שני האגפים ב-2: $$x \geq -1.5$$ ומצאנו את קבוצת ההצבה של המשוואה.במרבית המקרים בהם נתקל במשוואה עם שורשים נצטרך להפטר מהשורש על ידי העלאה בריבוע. שימו לב שאם נעלה את המשוואה בריבוע מיידית נקבל משוואה חדשה שעדיין מכילה שורש: $$(x + \sqrt{2x+3})^2 = 0^2$$ $$x^2 + 2x\sqrt{2x+3} + 2x + 3 = 0$$ לפיכך יש להעביר את האיברים של המשוואה אגפים כך שלאחר שנעלה את המשוואה בריבוע לא יוותר איבר עם שורש. במקרה שלנו נעביר את האיבר עם השורש לאגף ימין: $$x = -\sqrt{2x + 3}$$ נעלה את שני האגפים בריבוע ונקבל: $$x^2 = 2x + 3$$ קיבלנו משוואה ריבועית אותה ניתן לפתור באמצעות נוסחת השורשים. נקבל שני פתרונות: $$x_1 =-1$$ $$x_2 = 3$$ אנחנו זוכרים כי מספר הוא פתרון של משוואה אם כאשר מציבים אותו במקום הנעלם המשוואה מתקיימת. נבדוק את הפתרונות על ידי הצבה. נתחיל עם x= -1 ונקבל שאגף שמאל הוא: $$-1 + \sqrt{2*(-1)+3} = 0$$ אגף ימין הוא קבוע ושווה ל-0. כלומר שני האגפים שווים ומכאן שזהו אכן פתרון של המשוואה.
נציב $x = 3$ , אגף שמאל הוא: $$3 + \sqrt{2*3+3} = 6$$ אגף ימין הוא אפס. כלומר שני האגפים שונים זה מזה ומכאן ש- x=3 אינו פתרון של המשוואה. לסיכום, למשוואה שלנו יש פתרון בודד: $$x = -1 $$
דוגמא 2:
פתור את המשוואה: $$\sqrt{4-x} + 3\sqrt{13+x} = 13 $$פתרון:
ראשית נמצא את קבוצת ההצבה של המשוואה. נדרוש שהביטוי בתוך השורש הראשון יהיה לא שלילי: $$4 - x \geq 0 $$ $$4 \geq x $$ נדרוש שהביטוי בתוך השורש השני יהיה לא-שלילי: $$13 + x \geq 0 $$ $$x \geq -13 $$ קבוצת ההצבה של המשוואה היא החיתוך בין שתי קבוצות ההצבה של הביטויים, מאחר שמספר חייב לקיים את שני האי-שיוויונים על מנת להיות בקבוצת ההצבה. לפיכך קבוצת ההצבה של המשוואה תהיה: $$-13 \leq x \leq 4$$ שימו לב, שבמשוואה הזו לא נוכל להיפטר מכל השורשים על ידי כך שנעלה את המשוואה בריבוע פעם אחת בלבד, אלא נצטרך לעשות זאת פעמיים. נעלה את המשוואה בריבוע ונקבל: $$(\sqrt{4-x} + 3\sqrt{13+x})^2 = 13^2 $$ $$4-x + 6\sqrt{(4-x)(13+x)} + 9(13+x) = 169 $$ נחבר איברים דומים ונקבל: $$4 - x + 117 + 9x + 6\sqrt{52+4x-13x-x^2} = 169 $$ $$8x -48 = -6\sqrt{-x^2-9x + 52} $$ נעלה את שני האגפים בריבוע פעם נוספת: $$(8x - 48)^2 = 36(-x^2 - 9x + 52) $$ $$64x^2 - 768x + 2304 = -36x^2 - 324x + 1872 $$ $$100x^2 -444x + 432 = 0$$ $$25x^2 - 111x + 108 = 0 $$ $$x_{1,2} = \frac{-(-111) \pm \sqrt {(-111)^2 - 4*25*108} }{2*25} = \frac{111 \pm 39}{50} = $$ ונקבל שני פתרונות: $$x_1 = 3$$ $$ x_2 = 1.44$$ נבדוק את הפתרונות על ידי הצבה. נתחיל עם הפתרון הראשון, האגף השמאלי יהיה: $$\sqrt{4-3} + 3\sqrt{13+ 3} = 1 + 3*4 = 13 $$ ואגף ימין הוא קבוע, 13. כלומר אגף שמאל ואגף ימין שווים זה לזה, ומכאן ש- 3 הוא פתרון של המשוואה. נעבור לפתרון השני: $$\sqrt{4-1.44} + 3\sqrt{13+ 1.44} = 1.6 + 3*3.8 = 13 $$ וקיבלנו פעם נוספת שהמשוואה מתקיימת, ומכאן שגם 1.44 הוא פתרון של המשוואה.משוואות עם ערך מוחלט
דוגמא 1:
פתור את המשוואה הבאה: $$|x+3|+2=6$$על פי ההגדרה של הערך המוחלט: $$ |x+3| = \left. \begin{cases} ~~~(x+3), ~~~ x+3 \geq 0 \\ -(x+3),~~~ x+3 \lt 0 \end{cases} \right. $$ ואם נכתוב את התנאים בהגדרה באופן מפורש נקבל: $$ |x+3| = \left. \begin{cases} ~~~(x+3), ~~~ x \geq -3 \\ -(x+3),~~~ x \lt -3 \end{cases} \right. $$ נחלק את הפתרון לשתי אפשרויות שונות, כאשר כל אפשרות מתאימה לתחום ערכים שונה של הנעלם .
אם $$x \geq -3$$ אז לפי ההגדרה של הערך המוחלט: $$|x+3| = x + 3$$ והמשוואה תהיה: $$x + 3 + 2 = 6$$ נעביר אגפים ונקבל את הפתרון: $$x = 1$$ כעת יש לבדוק אם הפתרון נמצא בתחום המתאים, כלומר האם $$x \geq -3$$ מאחר ומתקיים: $$1 \geq -3$$ הערך שמצאנו מקיים את אי השיוויון ולכן הוא פתרון של המשוואה.
אם $$x \lt -3$$ אז המשוואה תהיה: $$-(x+3) + 2 = 6$$ $$-x - 3 + 2 = 6$$ $$x = -7$$ הפתרון מקיים את התנאי: $$x \lt -3$$ מאחר ו- $$-7 \lt -3$$ ולכן זהו פתרון של המשוואה.
דוגמא 2: פתור את המשוואה: $$|x + 2| + |x - 2| = 1$$
נשתמש בהגדרה על מנת לבטא את שני הביטויים עם ערך מוחלט. $$ |x+2| = \left. \begin{cases} ~~~(x+2), ~~~ x \geq -2 \\ -(x+2),~~~ x \lt -2 \end{cases} \right. $$ $$ |x-2| = \left. \begin{cases} ~~~(x-2), ~~~ x \geq 2 \\ -(x-2),~~~ x \lt 2 \end{cases} \right. $$ נחלק את הפתרון לשלוש אפשרויות.
תחום ראשון: $x \lt -2 $
בתחום זה הביטוי הראשון יהיה: $-(x+2)$ והביטוי השני יהיה: $-(x-2)$ ומכאן שהמשוואה תהיה: $$-(x+2) - (x-2) = 1$$ $$-x-2-x+2 = 1$$ $$-2x = 1$$ $$x = -\frac{1}{2}$$ הפתרון לא נמצא בתחום מאחר ו- $-\frac{1}{2} \geq -2$ .
תחום שני $-2 \leq x \lt 2$ בתחום זה הביטוי הראשון יהפוך ל- $x+2$ והביטוי השני יהפוך ל- $-(x-2)$ והמשוואה תהיה: $$x + 2 - (x-2) = 1$$ $$x + 2 - x + 2 = 1$$ $$0x = -3 $$ למשוואה זאת אין פתרון.
תחום שלישי $x \geq 2$
בתחום זה הביטוי הראשון יהפוך ל - $x+2$ והביטוי השני $x - 2$ המשוואה תהיה: $$x + 2 + x -2 = 1$$ $$2x = 1$$ $$x = \frac{1}{2}$$ הפתרון אינו נמצא בתחום ולכן נפסול אותו.
לסיכום, למשוואה אין שום פתרון.
מערכת משוואות
דוגמא 1:
פתור את המערכת: $$ \begin{cases} 2x + y = 10 \\ x + 2y = 8 \end{cases} $$פתרון:
נעביר את $2x$ במשוואה הראשונה מאגף ימין לאגף שמאל ונקבל $$ \begin{cases} y = 10 - 2x \\ x + 2y = 8 \end{cases} $$ שימו לב, שבודדנו במשוואה הראשונה את ה- y וביטאנו אותו במונחים של x . כעת נוכל להציב במשוואה השנייה במקום y את הביטוי 10-2x . נציב ונקבל: $$x + 2(10-2x) = 8$$ קיבלנו משוואה עם נעלם אחד, אותה נוכל לפתור בקלות. בשלב הראשון נפתח את הסוגריים ונקבל: $$x + 20 -4x = 8$$ נחבר איברים דומים: $$20-3x = 8$$ נעביר את 8 מאגף ימין לאגף שמאל, ואת $-3x$ מאגף שמאל לאגף ימין. נקבל: $$12 = 3x$$ נחלק את שני האגפים ב-3 ונקבל את הפתרון $$x= 4$$ שימו לב כי עבודתנו לא נגמרת כאן, מאחר ועלינו לחשב את ערכו של $y$ . נוכל לחשב את $y$ פשוט על ידי הצבה של $x =4$ באחת המשוואות. נציב במשוואה הראשונה: $$y = 10-2x$$ $$y=10 - 2*4 = 2$$ לסיכום, מצאנו שהפתרון הוא $x=4$ ו$y=2$ .דוגמא 2:
פתור את המערכת: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases} $$פתרון:
נכפול את המשוואה הראשונה ב- (-1) ונקבל : $$ \begin{cases} -3x - 2y = -6 \\ 4x + 2y = 8 \end{cases} $$ נחבר את המשוואות ונקבל: $$x = 2$$ נציב במשוואה הראשונה ונקבל: $$3*2+2*y=6$$ נפתור את המשוואה ונקבל: $$y = 0$$ כלומר יש למערכת פתרון יחיד.דוגמא 3:
פתור את המשוואה: $$ \begin{cases} y = 2x + 4 \\ 2y = 4x + 8 \end{cases} $$פתרון:
נציב את $y$ מהמשוואה הראשונה, במשוואה השנייה: $$ 2(2x + 4) = 4x + 8 $$ נפתח סוגריים: $$4x + 8 = 4x + 8$$ נעביר אגפים ונקבל: $$0x = 0$$ למשוואה זו יש אינסוף פתרונות, ומכאן שלמערכת יש אינסוף פתרונות.שימו לב! למשוואה יש אינסוף פתרונות, אך זה לא אומר שכל זוג מספרים שנציב במקום $x$ ו- $y$ יהיה פתרון של המשוואה. לכל ערך של $x$ יהיה ערך $y$ שיתאים לו כך שהצמד יהווה פיתרון. לדוגמא, אם נבחר $x= 1$ נוכל לחשב את שיעור ה- $y$ שיהיה פתרון פשוט על ידי הצבה באחת המשוואות: $$y= 2*1 + 4 =6$$ ומכאן שהצמד $x=1$ ו- $y=6$ הוא אחד מאינסוף הפתרונות של המשוואה.