משוואות
פירוק לפי טרינום
דוגמא 1:
פרק לפי טרינום את הביטוי: $$x^2 + x - 6$$פתרון:
ראשית נפתור את המשוואה: $$x^2 + x - 6 = 0$$ $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4*1*(-6)} }{2*1} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ והפתרונות יהיו: $$x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-1-5}{2} = -3$$ ולפיכך נוכל לפרק את הביטוי לפי טרינום באופן הבא: $$x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$$דוגמא 2:
פרק לפי טרינום את הביטוי הבא $$2x^2-12x+18$$פתרון:
ראשית נפתור את המשוואה: $$2x^2-12x+18 = 0$$ נחלק את המשוואה ב-2: $$x^2-6x+9 = 0$$ נשתמש בנוסחת השורשים: $$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 -4*1*9}}{2*1} = \frac{6 \pm 0 }{2} = 3$$ למשוואה יש פתרון יחיד ולכן הפירוק לפי טרינום יהיה: $$2x^2-12x+18 = 2(x-3)(x-3) = 2(x-3)^2$$דוגמא 3:
פרק לפי טרינום את הביטוי הבא: $$4x^2 + x + 1$$פתרון:
ראשית נפתור את המשוואה: $$4x^2 + x + 1 = 0$$ נשתמש בנוסחת השורשים: $$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 -4*4*1}}{2*4} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15} }{8} $$ למשוואה אין פתרון משום שהביטוי בתוך השורש שלילי , ומכאן שלא ניתן לפרק את הביטוי לפי טרינום.נוסחאות הכפל המקוצר
דוגמא 1:
פתח את הסוגריים בביטוי הבא: $$(2x - 4)^2 $$פתרון :
$$(2x - 4)^2 = (2x)^2 + 2*(2x)(-4) + (-4)^2 = 4x^2 - 16x + 16 $$דוגמא 2:
פתח את הסוגריים באמצעות נוסחאות הכפל המקוצר: $$(3x+1)(3x-1) $$פתרון:
$$(3x+1)(3x-1) = (3x)^2 - (1)^2 = 9x^2-1$$דוגמא 3:
השתמש בנוסחאות הכפל המקוצר על מנת לפרק את הביטוי $$4x^2-16$$פתרון:
ניתן לזהות שיש להשתמש בנוסחא: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$ וזאת משום שיש לנו חיסור בין שני איברים .נפרק את הביטוי על ידי הוצאת שורש משני האיברים: $$\sqrt{4x^2} = 2x $$ $$\sqrt{16} = 4 $$ ולפיכך: $$4x^2-16 = (2x + 4)(2x - 4)$$
שימו לב שניתן להשתמש בנוסחא זו כל עוד יש לנו חיסור בין שני איברים חיוביים. ברוב המקרים נשתמש בנוסחא כאשר השורש של המספרים הוא מספר שלם, אך ניתן לעשות זאת גם אם אין זה כך.
דוגמא 4:
השתמש בנוסחאות הכפל המקוצר על מנת לכתוב כמכפלה את הביטוי: $$x-5$$פתרון:
ניתן לזהות שיש להשתמש בנוסחא: $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$ משום שיש לנו חיסור בין שני איברים. ולפיכך: $$x-5 = (\sqrt{x} + \sqrt{5})(\sqrt{x} - \sqrt{5})$$ שימו לב שניתן לבצע את הפירוק גם כאשר למספר אין שורש עגול. בפועל, זה נדיר שתתקלו במצב בו תזדקקו לפירוק של ביטוי כזה, אבל חשוב לדעת שזה אפשרי.דוגמא 5:
השתמש בנוסחאות הכפל המקוצר על מנת לפרק את הביטוי $$4x^2 - 16x + 16$$פתרון:
נשתמש בנוסחא $$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$ ראשית נחשב את השורש של האיבר הראשון והאחרון: $$\sqrt{4x^2} = 2x $$ $$\sqrt{16} = 4 $$ ולכן נפרק את הביטוי באופן הבא: $$4x^2 - 16x + 16 = (2x - 4)^2$$ שני דברים חשובים:1. הסימן בין האיברים בסוגריים נקבע על מנת להתאים לסימן של האיבר האמצעי במקרה שלנו $-16x$ . 2. יש לבדוק שכאשר פותחים את הסוגריים עם הנוסחא באמת מתקבל האיבר האמצעי, במקרה שלנו $-16x$ .
שברים אלגבריים
חיבור/חיסור שברים אלגבריים
אם המכנה של שני שברים זהה נחבר אותם באופן הבא: $$\frac{m_1}{n} + \frac{m_2}{n} = \frac{m_1 + m_2}{n}$$דוגמא 1:
$$\frac{1}{x^2+1} + \frac{x^3}{x^2 + 1} = \frac{1 + x^3}{x^2 + 1}$$אם המכנה שונה נצטרך ליצור מכנה משותף על ידי הרחבה של אחד או של שני השברים.
דוגמא 2:
$$ \frac{x}{(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)} $$ $$ \frac{2x}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x-1)} $$ $$ \frac{2x + 1}{2(x-1)} $$ יצרנו מכנה משותף על ידי הרחבה של השבר הראשון. ברגע שיצרנו מכנה משותף יכולנו לחבר את שני השברים בקלות.דוגמא 3:
$$\frac{x}{x-1} + \frac{1}{x - 2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{1*(x-1)}{(x-1)(x-2)} $$ $$ = \frac{x(x-1)+1*(x-1) }{(x-1)(x-2) } = \frac{x^2 - 2x + x -1}{(x-1)(x-2) } = \frac{x^2 - x - 1}{(x-1)(x-2)} $$ברוב המקרים המכנה המשותף יהיה מכפלה של שני המכנים.
כפל/חילוק שברים אלגבריים
מכפלת שברים פועלת כך: $$\frac{m_1}{n_1} * \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2}$$דוגמא 1:
$$\frac{x}{x-1} * \frac{2}{x-4} = \frac{2x}{(x-1)(x-4)}$$חלוקת שברים מתבצעת כך: $$\frac{m_1}{n_1} : \frac{m_2}{n_2} = \frac{m_1}{n_1} * \frac{n_2}{m_2} = \frac{m_1 n_2}{n_1 m_2 } $$
דוגמא 2:
$$\frac{x}{x-1} : \frac{2}{x-4} = \frac{x}{x-1} * \frac{x-4}{2} = \frac{x(x-4)}{2(x-1)} $$צמצום שברים
דוגמא 1:
צמצם את השבר: $$\frac{x^2+x-6}{4x^2-16x+16}$$פתרון:
נפרק את המונה לפי טרינום. ראשית נפתור את המשוואה: $$x^2 + x - 6 = 0$$ נשתמש בנוסחת השורשים ונקבל את שני הפתרונות: $x_1=2$ ו- $x_2 = -3$ . לפיכך נוכל לפרק את הביטוי כך: $$x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3) $$ נפרק את המכנה לפי טרינום. ראשית נפתור את המשוואה: $$ 4x^2 - 16x + 16 = 0 $$ כדאי להתחיל בלחלק את המשוואה ב-4 : $$x^2-4x+4 = $$ נשתמש בנוסחת השורשים ונקבל: $$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4*1*4 } }{2*1} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2 $$ כלומר, למשוואה יש פתרון יחיד ולכן הפירוק לפי טרינום יראה כך: $$4x^2 - 16x + 16 = 4(x-2)(x-2) = 4(x-2)^2 $$ לפיכך נוכל לכתוב את השבר באופו הבא: $$\frac{(x-2)(x+3) }{4(x-2)^2} = \frac{x+3}{4(x-2)}$$דוגמא 2:
צמצם את השבר $$\frac{x^2-4}{x-2}$$פתרון:
נשתמש בנוסחת הכפל המקוצר : $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $$ על מנת לפרק את המונה.ניתן לפיכך לכתוב את השבר כך: $$\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x+2 $$
דוגמא 3:
צמצם את השבר $$\frac{3x^2-6x+9}{3x-3} $$פתרון:
נוציא גורם משותף במונה ובמכנה ונקבל: $$\frac{3x^2-6x+9}{3x-3} = \frac{3(x^2-2x+3)}{3(x-1)} = \frac{x^2-2x+3}{x-1} $$חוקי חזקות
דוגמא 1:
חשב את הביטוי $$\frac{a^2 b^6 a^7 b^9}{a^3 a^4 b^10 b^5}$$פתרון:
$$ \frac{a^2 b^6 a^7 b^9}{a^3 a^4 b^{10} b^5} = $$
$$ \frac{a^{2+7} b^{6+9}}{a^{3+4} b^{10+5}} = $$
$$ \frac{a^{9} b^{15}}{a^7 b^{15}} = $$
$$ \frac{a^{9-7}}{b^{15-15}} = $$
$$ \frac{a^2}{b^0} = $$
$$ \frac{a^2}{1} = $$
$$ a^2 $$
דוגמא 2:
חשב את הביטוי $$\frac{(a(b^3)^2)^3 (a^2b^4)^5}{a^7 (b^8)^4 a^2b}$$פתרון:
$$ \frac{(a(b^3)^2)^3 (a^2b^4)^5}{a^7 (b^8)^4 a^2b} $$
$$ \frac{(ab^6)^3 (a^2)^5 (b^4)^5}{a^9 b^32 b} = $$
$$ \frac{a^3 b^{18} a^{10} b^{20}}{a^9 b^{33}} = $$
$$ \frac{a^{13} b^{38}}{a^9 b^{33}} = $$
$$a^4b^5$$
דוגמא 3:
חשב את הביטוי $$\frac{72^{30} 20^{50} 25^{10} }{12^{60} 10^{70} }$$פתרון:
$$ \frac{72^{30} 20^{50} 25^{10} }{12^{60} 10^{70} } =$$
$$ \frac{ {(2 * 6^2)}^{30} {(2^2*5)}^{50} (5^2)^{10}}{(2*6)^{60} (2*5)^{70}}=$$
$$\frac{2^{30} * 6^{60} * 2^{100}*5^{50} * 5^{20} }{2^{60} * 6^{60} * 2^{70}*5^{70} }$$
$$ = \frac{2^{130} * 6^{60} * 5^{70} }{2^{130} * 6^{60} * 5^{70} }$$
$$ 1 $$