סדרות- תרגילים

תרגיל 1

נוסחת האיבר הכללי של הסדרה a_n $$ a_n = 6n - 4 $$

1. הוכח שהסדרה היא סדרה חשבונית ומצא את הפרש הסדרה.
2. אם בסדרה יש 30 איברים מהו סכום האיברים במקומות האי-זוגיים?
3. אם בסדרה יש 31 איברים מהו סכום האיברים במקומות הזוגיים?

תרגיל 2

נתונה סדרה חשבונית a_n שההפרש שלה הוא 4. נתונה סדרה שנייה b_n המקיימת: $$ b_n = a_n - 2 $$

1. הוכח כי הסדרה b_n היא סדרה חשבונית ומצא את ההפרש שלה.
2. נתון סכום 20 האיברים הראשונים של הסדרה a_n הוא 225 חשב את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה b_n .

תרגיל 3

נתונה הסדרה החשבונית a_n שהפרשה 4.
בנוסף נתונה הסדרה b_n המוגדרת כך: $$ b_n = a_n + a_{n+1} $$

1. הוכח כי הסדרה b_n היא סדרה חשבונית ומצא את ההפרש שלה.
2. נסמן את סכום 25 האיברים הראשונים של הסדרה a_n ב- A , ואת הסכום של 25 האיברים הראשונים של הסדרה b_n ב- B. בטא את B במונחים של A .

תרגיל 4

נתונה סדרה a _n שהסכום שלה נתון בנוסחא: $$ S_n = -n^2 + 4n $$

1. חשב את האיבר הראשון של הסדרה
2. חשב את האיבר השני של הסדרה
3. מצא את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה
4. הוכח שהסדרה היא סדרה חשבונית ומצא את ההפרש שלה

תרגיל 5

נתונה סדרה המקיימת: $$ a_{n+1} = a_n + 4 $$

1. האם הסדרה חשבונית? אם כן מצא את הפרש הסדרה.
2. נתון כי: $ a_7 = 12 $ מצא את האיבר הראשון של הסדרה.
3. נתון כי בסדרה יש 35 איברים. חשב את האיבר האמצעי של הסדרה.
4. חשב את סכום 10 האיברים האחרונים בסדרה.

תרגיל 6

נתונות שתי סדרות: $$ a_{n+1} = a_{n} - 1$$ $$ b_n = a_n + 2n $$

1. הוכח שהסדרה b_n חשבונית ומצא את ההפרש שלה.
2. נתון כי $a_1 = 5$ , מצא את נוסחת האיבר הכללי של b_n
3. בסדרה b_n יש 33 איברים חשב את סכום האיברים במקומות הזוגיים.

תרגיל 7

נתונה סדרה חשבונית a_n המקיימת: $$ a_2 a_4 = a_3^2 - 16 $$

1. מצא את שני הערכים האפשריים של הפרש הסדרה
2. נתון כי הפרש הסדרה חיובי. בסדרה יש 47 איברים ונתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים שווה 2300 חשב את האיבר הראשון של הסדרה.

תרגיל 8

בסדרה חשבונית בה מספר זוגי של איברים שווה האיבר האחרון לסכום שני האיברים האמצעיים.

1. מצא את האיבר הראשון בסדרה
2. מצא אם מספר איברי הסדרה אם נתון כי סכומה גדול פי 7 מהאיבר האחרון

תרגיל 1

נתונה סדרה חשבונית a_n שהאיבר הראשון שלה הוא 33 וההפרש שלה הוא 4 . לוקחים סדרה שנייה b_n ומציבים את איברי הסדרה בין איברי הסדרה a_n ליצירת סדרה חשבונית חדשה אותה נסמן ב- c_n .
הסדרה c_n תראה כך: $$ a_1, b_1, a_2, b_2, ... , a_n, b_n $$

1. האם הסדרה b_n סדרה חשבונית? אם כן מצא את ההפרש שלה.
2. מצא את נוסחת האיבר הכללי של הסדרות a_n , b_n ו- c_n .
3. נתון כי לסדרה c_n יש 36 איברים חשב את סכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה

תרגיל 2

נתונה סדרה חשבונית a_n שהאיבר הראשון שלה הוא 12 וההפרש שלה הוא 3 . בסדרה יש 84 איברים.

1. חשב את סכום האיברים במקומות הזוגיים
2. חשב את סכום 25 האיברים האחרונים בסדרה.
3. חשב את סכום האיברים במקומות הזוגיים שנמצאים ב-25 האיברים האחרונים בסדרה.
4. חשב את סכום האיברים המתחלקים ב-6.

תרגיל 3

1. הוכח שסכום סדרה חשבונית בעלת מספר אי זוגי של איברים שווה למכפלת האיבר האיבר האמצעי במספר איברי הסדרה.
2. הוכח כי סכום סדרה חשבונית עם מספר זוגי של איברים שווה למכפלת ממוצע האיברים האמצעיים במספר האיברים.
3. נתונה סדרה חשבונית a_n שלה יש מספר אי זוגי של איברים. נתון כי סכום איברי הסדרה הוא 100 והאיבר האמצעי של הסדרה הוא 10. חשב את מספר האיברים בסדרה.
4. נתונות שתי סדרות חשבוניות a_n ו- b_n .
   נתון כי $ a_1 = b_1 $ . בסדרה יש b_n $ 4k + 1 $   איברים . לסדרה a_n $ 2k + 1 $   איברים , והפרשה כפול מזה של הסדרה b_n . חשב את היחס בין סכום הסדרה b_n ו- a_n .

תרגיל 4

נתונה סדרה חשבונית a_n שהפרשה הוא d .
ניצור סדרה חדשה b_n על ידי חיבור של k איברים סמוכים בסדרה a _n כלומר: $$ b_1 = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k $$ $$ b_2 = a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_{k+1} $$ $$ b_3 = a_3 + a_4 + a_5 + ... + a_{k+2} $$

1. מצא את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה b_n במונחים של d, a₁ ו- k .
2. הוכח שהסדרה b_n חשבונית , והבע את ההפרש שלה במונחים של הפרמטרים של הבעיה.
3. נסמן את מספר האיברים בסדרה a_n ב- N. הבע את מספר איברי הסדרה b_n .
4. בין כל צמד איברים של הסדרה b_n הכניסו $ k-1 $   איברים, כך שהסדרה החדשה שנוצרה היא סדרה חשבונית. הבע את ההפרש שלה.

תרגיל 5

1. נתונה סדרה חשבונית עם מספר זוגי של איברים, בה סכום האיברים במקומות הזוגיים שווה לסכום איברי הסדרה במקומות האי זוגיים. האם סדרה זו עולה, יורדת או קבועה?
2. נתונה סדרה חשבונית בה 2n + 1   איברים. האם ייתכן כי סכום האיברים במקומות הזוגיים שווה לסכום האיברים במקומות האי זוגיים? אם כן מצא את התנאי לכך, ואם לא הוכח זאת.
3. נתונה סדרה חשבונית שמספר איבריה אי זוגי. נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים שווה לסכום במקומות האי זוגיים. אם ידוע כי האיבר הראשון מתאפס מצא את נוסחת האיבר הכללי של הסדרה.
4. נתונה סדרה חשבונית בה מספר אי זוגי של איברים. נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול מסכום האיברים במקומות האי-זוגיים. האם סכום הסדרה חיובי או שלילי?
5. בהמשך לסעיף הקודם נתון כי האיבר הראשון בסדרה חיובי. האם הסדרה יורדת עולה או קבועה?

תרגיל 1

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא 14 והמנה שלה היא 3 .
מצא את האיבר ה-8 של הסדרה.

תרגיל 2

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא 10 והאיבר החמישי שלה הוא 160. מצא את מנת הסדרה.

תרגיל 3

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר השישי שלה הוא 2048. בנוסף ידוע כי מנת הסדרה היא 4. חשב את האיבר הראשון של הסדרה.

תרגיל 4

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא 3 ומנתה 2. מהו המיקום של האיבר ששווה 768.

תרגיל 5

נתונה סדרה הנדסית שאיבר הראשון שלה הוא 1, המנה שלה היא 3 והאיבר האחרון שלה הוא 19683.
כמה איברים יש בסדרה?

תרגיל 6

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא 2, המנה שלה היא 3 ושיש בה 7 איברים.
חשב את סכום הסדרה.

תרגיל 7

נתונה סדרה הנדסית שהמנה שלה היא 2 ושמכילה 10 איברים. סכום הסדרה היא 7161.
מצא את האיבר הראשון בסדרה.

תרגיל 8

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא 2 והאיבר האחרון שלה הוא 512. הסכום של הסדרה הוא 682. מצא את מנת הסדרה.

תרגיל 9

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא 4 ומנתה היא 2. סכום הסדרה הוא 16,380 .
כמה איברים יש בסדרה?

תרגיל 10

נתונה סדרה הנדסית בת 4 איברים שהאיבר הראשון שלה הוא -3 . אם נתון שסכום איברי הסדרה הוא -777 מהי מנת הסדרה?

תרגיל 1

נתונה נוסחת האיבר הכללי: $$ a_n = 2 3^{n-1} $$

1. הוכח ש- a_n היא סדרה הנדסית ומצא את המנה שלה.
2. נתון לנו שבסדרה יש 13 איברים.
   חשב את סכום האיברים במקומות האי-זוגיים.

תרגיל 2

נתונה נוסחת האיבר הכללי: $$ a_n = \frac{1}{2} ^{n-1} $$

1. הוכח שזוהי סדרה הנדסית ומצא את מנתה.
2. ידוע ש- a_n סדרה אינסופית.
   האם היא סדרה מתכנסת? הסבר!
3. חשב את היחס בין סכום האיברים במקומות הזוגיים לסכום האיברים במקומות האי-זוגיים.

תרגיל 3

נתונה סדרה הנדסית אינסופית שהמנה שלה היא 0.5 . נתון כי סכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא 112 .

1. מצא את a₁ .
2. חשב את סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה.
3. חשב את סכום כל איברי הסדרה.

תרגיל 4

נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית: $$ 1, 2x, 4x^2, 8x^3, ... ~~~ x \neq 0 $$

1. בטא את מנת הסדרה במונחים של x.
2. בטא את סכום האיברים במקומות הזוגיים במונחים של x.
3. סכום האיברים במקומות האי-זוגיים הוא 0.75 חשב את x (שני ערכים אפשריים) .

תרגיל 5

נתונה סדרה הנדסית a_n . מתקיים: $$ a_6 a_8 = 8 a_{12} a_5 $$

1. חשב את מנת הסדרה.
2. נתון כי האיבר הראשון שלילי. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?
3. הסכום של הסדרה שווה ל- -44 . חשב את האיבר הראשון בסדרה.

תרגיל 6

נתונה סדרה הנדסית שסכום 8 האיברים הראשונים שלה גדול פי 82 מסכום 4 האיברים הראשונים שלה.

1. מצא את מנת הסדרה
2. נתון כי סכום 8 האיברים הראשונים הוא 6560 . חשב את האיבר הראשון של הסדרה.

תרגיל 7

נתונה סדרה הנדסית בה סכום האיברים השלישי והרביעי הוא 8, וסכום האיברים השישי והשביעי הוא 64.
חשב את מנת הסדרה ואת האיבר הראשון שלה.

תרגיל 1

נתונה הסדרה ההנדסית: $$ a_n = 3 \cdot 4^{n-1} $$ וסדרה נוספת לה נקרא b_n .
יצרו סדרה חדשה c_n על ידי הכנסה של איברי הסדרה b_n בין איברי הסדרה a_n באופן הבא: $$ a_1 , b_1, a_2, b_2, a_3, b_3... $$ וכך הלאה.

1. נתון שהסדרה החדשה c_n היא סדרה הנדסית. מהי מנת הסדרה?
2. האם הסדרה b_n הנדסית? אם כן מצא את נוסחת האיבר הכללי שלה.
3. לקחו את הסדרה a_n והכניסו בין כל שני איברים שלה k - 1 איברים חדשים ליצירת סדרה הנדסית חדשה אותה נסמן ב- d_n . הבע המנה של הסדרה החדשה במונחים של $k$ .

תרגיל 2

נתונה סדרה הנדסית a_n שמנתנה q , וסדרה הנדסית b_n שמנתנה p , ויוצרים מהן סדרה חדשה c_n באופן הבא: $$ c_n = k \cdot a_n + l \cdot b_n $$ כאשר $k$   ו- $l$ הם פרמטרים.

1. חשב את היחס $ \frac{q}{p} $   עבורו $ c_n $   סדרה הנדסית.
2. נתון כי $ c_n $   סדרה הנדסית שמנתה 3 והאיבר הראשון שלה הוא 6 . בנוסף ידוע כי
   $a_1 = k=l=2 $   מצא את נוסחת האיבר הכללי של $ b_n $
3. נתון ש- c_n סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. נסמן את סכום הסדרה a_n ב- A , b_n ב- B ו- c_n ב- C והוכח כי מתקיים. $C = k \cdot A + l \cdot B$

תרגיל 3

נתונה סדרה הנדסית המקיימת: $ a_4 \cdot a_9 = -1 $ .

1. האם הסדרה עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת?
2. חשב את המכפלה: $ a_3 \cdot a_{10} $ .
3. מה יהיה סימנו של הביטוי: $ a_3 \cdot a_{9} $ ?
4. מה יהיה הסימן של הביטוי: $ a_4 \cdot a_{10} $ ?
5. נסמן את הסכום של n האיברים הראשונים במקומות האי-זוגיים בתור $ A_n $ , ואת הסכום של n האיברים הראשונים במקומות הזוגיים בתור $ B_n $ . מה יהיה הסימן של הביטוי: $ A_n \cdot B_n $ ?
6. נניח שהסדרה אינסופית ומתכנסת, ושהאיבר הראשון שלה שלילי. מה יהיה הסימן של:
   1. סכום הסדרה
   2. סכום האיברים במקומות הזוגיים
   3. סכום האיברים במקומות האי-זוגיים
7. נתונה סדרה הנדסית b_n , מה יהיה הסימן של המכפלה $ b_3 \cdot b_7 $ ?

תרגיל 4

נתונה סדרה a_n שסכום n האיברים הראשונים בה נתון בנוסחה: $$ S_n = 3^{n} - 1 $$

1. הוכח כי הסדרה הנדסית ומצא את המנה שלה.
2. נגדיר סדרה חדשה: $$ b_n = \frac{1}{a_n} $$ הוכח כי הסדרה הנדסית ומצא את מנתה.
3. נתון כי בסדרה b_n יש 32 איברים. חשב את היחס בין סכום האיברים במקומות המתחלקים ב-3 לבין אלה במקומות המתחלקים ב-5.

תרגיל 5

נתונה סדרה הנדסית שהמנה שלה היא $ q $ . נגדיר סדרה חדשה: $$ b_n = a_n + a_{n+1} $$

1. הוכח כי b_n סדרה הנדסית ומצא את המנה שלה במונחים של $ q $ .
2. נתון כי בסדרה a_n יש $ 2k + 1 $ איברים. הבע במונחים של $ q $ ו- $ k $ את היחס בין סכום האיברים של הסדרה b_n לסכום האיברים במקומות הזוגיים של הסדרה a_n .