סדרות

שיטות לתיאור סדרות

ישנן שתי גישות כלליות לתיאור סדרות: נוסחת איבר כללי ונוסחאות נסיגה.

נוסחת האיבר הכללי

נוסחת האיבר הכללי נותנת לנו את הערך של האיבר בסדרה כפונקציה של מיקומו בה. לדוגמא: $$a_n = \frac{1}{n^2} $$ הנוסחא שלעיל מתארת באופן מלא את הסדרה, מאחר והיא מאפשרת לנו לחשב את כל אחד מאיבריה. כל שצריך על מנת לחשב איבר מסויים הוא להציב את האינדקס שלו בתוך הנוסחא, לדוגמא: $$a_1 = \frac{1}{1^2} = 1 ~~ ; ~~ a_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} ~~ ; ~~ a_3 = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} $$

נוסחת נסיגה

נוסחת נסיגה, או בלועזית נוסחא רקורסיבית, היא נוסחא הנותנת קשר בין איברים הנמצאים במקומות שונים בסדרה, לדוגמא: $$a_{n+1} = 2a_n $$ נוסחא זו מתארת את הקשר בין איברים עוקבים בסדרה, היא קובעת שכל איבר בסדרה גדול פי 2 מהאיבר שלפניו. שימו לב כי נוסחא זו נכונה לכל ערך של n .
אם נציב ערכים שונים בנוסחא נקבל קשר בין איברים ספציפיים, לדוגמא: $$a_6 = 2a_5 ~~ ; ~~ a_8 = 2a_7 ~~ ; ~~ a_{23} = 2a_{22} $$ שימו לב שנוסחת נסיגה לבדה לא מתארת סדרה ספציפית. הנוסחא שראינו למעלה למשל לא תאפשר לנו לבדה לקבוע מהו הערך של אף אחד מאיברים הסדרה.
נוכל לתאר סדרה ספציפית באמצעות נוסחת נסיגה ואיבר בסדרה, לדוגמא: $$a_{n+1} = 2a_n ~~ ; ~~ a_1 = 1 $$ כעת נוכל לחשב את כל אחד מאיברים הסדרה .
נחשב לדוגמא את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה זו: $$a_1 = 1 $$ $$a_2 = 2a_1 = 2*1 = 2$$ $$a_3 = 2a_2 = 2*2 = 4 $$ $$a_4 = 2a_3 = 2*4 = 8 $$ שימו לב, שחישוב איברים באמצעות נוסחת נסיגה אינו יעיל, שכן על מנת לחשב איבר מסויים בסדרה עלינו לחשב את כל האיברים לפניו.
עבור הסדרה שלעיל נתנו את האיבר הראשון בסדרה, וכך נהוג בדר"כ כלל, אך אין שום דבר מיוחד באיבר הראשון והיינו יכולים בדיוק באותה המידה לתת כל איבר אחר.
שימו לב כי נוסחאות נסיגה לא חייבות לתאר קשר רק בין שני איברים עוקבים, הן יכולות לתאר קשר בין כל מספר של איברים בסדרה, לדוגמא: $$a_{n+2} = a_n + a_{n-2} $$ עד עכשיו דנו בסדרות באופן כללי לחלוטין, בחלקים הבאים נדון בסדרות ספציפיות: הסדרה החשבונית והסדרה ההנדסית.

סדרה חשבונית

הגדרת הסדרה החשבונית

סדרה חשבונית היא סדרה בה ישנו הפרש קבוע, אותו נהוג לכנות הפרש הסדרה, בין כל צמד איברים עוקבים. נוכל לנסח זאת בתמציתיות באמצעות נוסחת נסיגה: $$a_{n+1} - a_n = d $$ כאשר d הוא קבוע המהווה את הפרש הסדרה.
ניסוח שימושי יותר לנוסחא שלעיל הוא : $$a_{n+1} = a_n + d $$

דוגמא:

נתונה סדרה חשבונית a_n שההפרש שלה הוא 4 והאיבר הראשון שלה הוא 12. חשב את האיבר הרביעי.
$$a_1 = 12 $$ $$a_2 = a_1 + 4 = 12 + 4 = 16$$ $$a_3 = a_2 + 4 = 16 + 4 = 20 $$ $$a_4 = a_3 + 4 = 20 + 4 = 24 $$ שימו לב שכדי לחשב את האיבר הרביעי היה עלינו לחשב את כל האיברים שלפניו, זאת מאחר ויש לנו רק תיאור של הסדרה באמצעות נוסחת נסיגה.
נוכל לחשב איברים בסדרה באופן יעיל בהרבה באמצעות נוסחת האיבר הכללי.

נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית

נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית היא: $$a_n = a_1 + d(n-1) $$

דוגמא:

נתונה סדרה חשבונית a_n שההפרש שלה הוא 4 והאיבר הראשון שלה הוא 12. חשב את האיבר הרביעי.
נכתוב את נוסחת האיבר הכללי: $$a_n = 12 + 4(n-1) $$ נחשב את האיבר הרביעי : $$a_4 = 12 + 4(4-1) = 24 $$

סכום סדרה חשבונית

בספרים השונים או בחיפושים באינטרנט, תמצאו בדרך כלל נוסחאות של סכום n איברים ראשונים בסדרה. לנוסחאות אלה שימוש מוגבל לדעתי מאחר וברוב המקרים תתבקשו לחשב סכומים מורכבים יותר, אז הנוסחאות הללו עלולות להיות מבלבלות כפי שתגלו בעצמכם אם תנסו להתשמש בהן. לפיכך, אתחיל עם הנוסחאות הסטנדרטיות ואסיים עם גרסה שלי לנוסחא שהיא כללית לחלוטין ותהפוך חישוב של כל סכום לבעיה פשוטה.

סכום n האיברים הראשונים של סדרה חשבונית נתון בנוסחא: $$S_n = \frac{(a_1 + a_n )}{2}n $$ אם נשתמש בנוסחת האיבר הכללי נוכל לקבל שתי גרסאות נוספות של הנוסחא.
אם נציב בנוסחא שלעיל: $$a_n = a_1 + d(n-1) $$ נקבל: $$ S_n = \frac{[2a_1 + d(n-1)]}{2}n $$ נוכל להשתמש בנוסחת האיבר הכללי על מנת לבודד את האיבר הראשון: $$a_1 = a_n - d(n-1) $$ נציב ונקבל: $$S_n = \frac{[2a_n - d(n-1)]}{2}n $$ אלה הנוסחאות שתמצאו בכל הספרים. אך כמו שכבר ציינתי נוסחאות אלה יהיו קשות לשימוש עבור סכומים יותר מורכבים. לפיכך אני ממליץ לכם להתשמש בנוסחא הבאה:

סכום הסדרה = (איבר ראשון בסכום + איבר אחרון בסכום) * מספר האיברים בסכום/2

לנוסחה זו נתייחס בתור הנוסחא הכללית לחישוב סכום.
הנוסחא הכללית דומה למדי לנוסחה של חישוב סכום n האיברים הראשונים עם ההחלפות הבאות:
a₁ ← איבר ראשון בסכום
a_n ← איבר אחרון
n ← מספר איברים בסכום
הדמיון הוא כמובן לא מקרי. כאשר סוכמים את n האיברים הראשונים בסדרה האיבר הראשון בסכום יהיה a₁ האיבר האחרון בסכום יהיה a_n ומספר האיברים יהיה n.
לפיכך אם נשתמש בנוסחת הסכום הכללית היינו מקבלים שסכום n האיברים הראשונים הינו: $$ (a_1 + a_n)\frac{n}{2} $$ התוצאה זהה לנוסחה הראשונה שכתבנו לסכום n איברים ראשונים בסדרה.
נוסחה זו היא בסה"כ מקרה פרטי של הנוסחה הכללית.
אחד הדברים המטעים ביותר בנוסחה המקורית היא העובדה ש- n מופיע בנוסחה פעמיים אך למעשה מייצג שני גדלים שונים לחלוטין. ב- a_n הוא מייצג את האינדקס של האיבר האחרון וכשהוא מופיע פשוט בתור n הוא מייצג את מספר האיברים בסכום. רק במקרה של סכום של n איברים ראשונים שני הגדלים למעשה זהים כי מספר האיברים בסכום והאינדקס של האיבר האחרון זהים, אך זה לא המצב באופן כללי מה שיכול להיות מטעה מאד.

דוגמא 1

נתונה סדרה חשבונית a_n שהאיבר הראשון שלה הוא 4 והפרשה הוא 2. חשב את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה.

פתרון:

נשתמש בנוסחא הבאה לחישוב הסכום: $$ S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2}n $$ נציב את הנתונים ונקבל: $$S_10 = \frac{[2*4 + 2(10-1)]}{2}10 = 130 $$

דוגמא 2

נתונה סדרה עם 3n איברים.
בטא את סכום n האיברים האחרונים בסדרה.

פתרון:

האיבר הראשון בסכום הוא a_{2n + 1} .
האיבר האחרון בסכום הוא a_3n .
מספר האיברים בסכום הוא: n .
נשתמש בנוסחא: $$ S = (a_{2n+1} + a_{3n})\frac{n}{2} $$ שימו לב שמציאת הסכום באמצעות הנוסחא שהבאתי לכם היא פשוטה ביותר. נסו למצוא אותו באמצעות נוסחת הסכום הסטנדרטית.

סדרה הנדסית

הגדרת הסדרה ההנדסית

סדרה הנדסית היא סדרה בה היחס בין כל זוג איברים עוקבים, אותו נכנה מנת הסדרה, הוא קבוע. נוכל לנסח זאת בתמציתיות באמצעות נוסחת הנסיגה: $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q $$ כאשר q הוא קבוע המהווה את מנת הסדרה.
דרך שימושית יותר לניסוח נוסחת הנסיגה היא: $$a_{n+1} = qa_n $$

דוגמא

נתונה סדרה הנדסית שמנתה הוא 4 והאיבר הראשון שלה הוא 2. חשב את האיבר השלישי בסדרה.
$$a_1 = 2 $$ $$a_2 = 4a_1 = 4 * 2 = 8 $$ $$a_3 = 4a_2 = 4 * 8 = 32 $$

נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית

נוסחת האיבר הכללי של סדרה הנדסית הינה: $$a_n = a_1 q^{n-1} $$

דוגמא

נתונה סדרה הנדסית שמנתה הוא 4 והאיבר הראשון שלה הוא 2. חשב את האיבר השלישי בסדרה.
נוסחת האיבר הכללי של הסדרה היא: $$a_n = 2 * 4^{n-1} $$ נחשב את האיבר השלישי: $$a_3 = 2 * 4^{3-1} = 2 * 4^2 = 32 $$

סכום הסדרה ההנדסית

בדומה לסכום סדרה חשבונית גם כאן אביא את הנוסחה הסטנדרטית אותה תמצאו בכל הספרים של סכום n איברים ראשונים בסדרה, כמו גם נוסחא כללית יותר בה אני ממליץ לכם להשתמש בפועל.
סכום n האיברים הראשונים של סדרה הנדסית נתון בנוסחה הבאה: $$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} $$ הנוסחא הכללית תראה כך: $$ S = \frac{(איבר ~ ראשון ~ בסכום)(q^{מספר ~ איברים ~ בסכום} - 1)}{q - 1} $$ גם כאן ניתן לראות בקלות כי הנוסחא של סכום n איברים ראשונים היא בסה"כ מקרה פרטי של הנוסחא הכללית.

דוגמא 1

נתונה סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה הוא 4 ומנתה הוא 2.
חשבו את סכום עשרת האיברים הראשונים בסדרה:

פתרון:
$$S_10 = \frac{4(2^{10} - 1)}{2 - 1} = 4092 $$

דוגמא 2

נתונה סדרה הנדסית עם 3n איברים. בטא במונחים של איברי הסדרה ומנתה את סכום n האיברים האחרונים בסכום.

פתרון:
האיבר הראשון בסכום הוא a_2n+1 ומספר האיברים בסכום הוא n לפיכך אם נציב בנוסחא הכללית נקבל: $$ S = \frac{a_{2n+1} (q^n - 1) }{q - 1} $$

סדרה הנדסית אינסופית

בהינתן סדרה הנדסית סופית, היינו יכולים לחשב את הסכום של כל איברי הסדרה, אך האם הדבר אפשרי גם בסדרה הנדסית אינסופית?
התשובה לכך היא כמובן לא, שכן לא משנה כמה איברים נסכום מאחר והיא מכילה אינסוף איברים תמיד ישארו עוד אינסוף איברים שלא סכמנו.
אז אנחנו יודעים שלא נוכל בדומה לסדרה סופית לחשב את סכום כל הסדרה, אך האם נוכל אולי למצוא מספר שהסכום של הסדרה שואף אליו. כלומר שככל שנסכום יותר ויותר איברים כך הסכום יתקרב למספר הזה?
האינטואיציה האנושית שלנו נוטה לומר לא, אך למעשה התשובה היא כן.
לצורך כך נשתמש במושג הגבול הלקוח מתחום החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. במונחים מתמטיים נרצה לחשב את הביטוי הבא: $$ \lim \limits_{n \to \infty }\frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} $$ כלומר ברצוננו לחשב את המספר אליו מתקרב הסכום כאשר מספר האיברים שאנחנו סוכמים שואף לאינסוף.
נניח לרגע שהסדרה בה אנו עוסקים תמיד חיובית. ככל שנסכום יותר איברים כך ילך ויגדל הסכום. לפיכך נראה כאילו הגבול ילך לאינסוף. האינטואיציה האנושית המוטעית הזאת גרמה לבלבול גם אצל היוונים הקדמונים, שחיברו פרדוקסים הנובעים ממנה, כמו הפרדוקסים של זנון .
אם נניח ש: $ -1 < q < 1 $ אז הרי שיתקיים: $$ \lim \limits_{n \to \infty} q^n = 0 $$ שימו לב שזה מתקיים רק כאשר המנה של הסדרה היא שבר!
אם נחזור לגבול המקורי שרצינו לחשב: $$ \lim \limits_{n \to \infty }\frac{a_1(q^n - 1)}{q-1} = \lim \limits_{n \to \infty }\frac{a_1(0 - 1)}{q-1} = \frac{a_1}{1-q} $$ וקיבלנו שתחת ההנחה שמנת הסדרה היא שבר, ככל שנסכום יותר איברים כך ילך ויתקרב הסכום למספר סופי כלשהו. נגדיר את המספר הזה בתור הסכום של סדרה הנדסית אינסופית ונכתוב: $$ S = \frac{a_1}{1-q} $$ שימו לב שאם מנת הסדרה אינה שבר, הסכום באמת לא ישאף למספר סופי.
הרעיון של סכומים אינסופיים לא ייחודי רק לסדרות הנדסיות, והוא נושא חשוב מאד בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. כאשר הסכום האינסופי שואף למספר סופי, אנחנו אומרים שהסכום מתכנס בעוד שכאשר הוא אינו שואף למספר סופי אנחנו אומרים שהוא מתבדר.
התנאי להתכנסות הסכום האינסופי של סדרה הנדסית הוא שמנתה תהיה שבר.